基于区间数可能度的决策方法及应用

基于区间数可能度的决策方法及应用
摘要
随着社会、经济的发展，人们所可虑问题的复杂性，不确定性以及人类思维的模糊性在不断增强。

在实际决策问题中，决策信息有时以区间数形式来表示。

论文介绍了区间数之间比较的可能度公式以及可能度之间的关系，主要对区间数的大小排序进行了一个详细的讨论。

但是在这些讨论当中难免会丢失一些重要的信息，从各项研究表明，迄今为止尚未发现一种排序方法在所有情况下都能被公认是最好的排序方法。

关键词：模糊性；不确定多属性决策；区间数；可能度。

一、多属性决策思想
根据决策空间的不同，经典的多准则决策可以划分为两个重要的领域：决策空间是离散的（备选方案的个数是有限的）称为多属性决策，决策空间是连续的（备选方案的个数是无限的）称为多目标决策一般认为前者是研究已知方案的评价选择问题，后者是研究未知方案的规划设计问题。

经典的多属性决策问题可以描述为：给定一组可能的备选方案，对于每个方案，都需要从若干个属性（每个属性有不同的评价标准）去对其进行综合评价。

决策的目的就是要从这一组备选方案中找到一个使决策者感到最满意的方案，或者对这一组方案进行综合评价排序，且排序结果能够反映决策者的意图。

多属性决策是现代决策科学的一个重要组成部分，它的理论和方法广泛应用于社会、经济、管理和军事等诸多领域。

1.1不确定性的产生
经典（即确定的环境下）决策是指决策信息是实数。

然而，由于客观事物的复杂性、未知性和人类思维的模糊性，大部分多属性决策问题是不确定的，称之为不确定多属性决策。

不确定多属性决策问题主要变现在属性值取值的模糊性、灰色性和随机性。

1.2模糊性
模糊性是由于评判信息中如（区间数、三角模糊数、梯形模糊数）、语音信息（如语言变量、不确定语言变量）或直觉模糊信息（如直觉模糊数、区间直觉模糊数）等。

1.3灰色性
灰色性由于信息不完全、不充分所造成的客观不确定性，表现为信息量少，不充分、灰色信息经过不断深化，可变成“白信息”。

如：对月球上的相关物体、以及黑洞的认识。

只要用区间数等表示。

其中“灰色”指客观不确定性；而“模糊”指人的思维模糊性。

二者并非是对同一概念的描述。

1.4随机性
随机性是由于事件未来发生的不易确知性，环境变化的难预测性而导致方案的属性值是随机变量，它会随着自然状态的不同而变化，决策者无法确知将来的
真实状态，但可以给出各种可能的自然状态，并通过设定概率分布来量化这种随机性。

2、属性值模糊性表示 模糊数表示
区间数：区间数是一种最不简单的不确定信息表达方式。

例如：电脑购买：消费者依据品牌、价格和配置三个指标购买电脑，在选择决策过程中，首先消费者在价格方面已有了自己的心里最高8000元的价位和心里最低5000元的价位，进而形成了一个可接受价格区间[5000,8000]。

二、区间数比较的可能度公式
记},,|{],[~
R a a a x a x a a a U
L U L U L ∈≤≤==,称~
a 为区间数，特别地，当
U
L
a a =是，~
a 退化成一个实数。

先给出区间数的运算法则。

设],[~
U
L a a a =和],[~
U L b b b =，且0≥β，则 （1）~
~
b a =当且仅当L L b a =和U U b a = （2）],[~
~U U L L b a b a b a ++=+
（3）],[~
U
L a a a βββ=,Q 其中，0≥β，特别地，若0=β，则0~
=a β 定义1 当~
~
,b a 均为实数是，则称
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧<=>=>~~
~~~~~~01/2,1)(时当，时当，时当b a b a b a b a p
为~
~
b a >的可能度。

定义2 当~
~
,b a 至少有一个为区间数时，且记L U b
L U a
b b l a a l -=-=~~,，则称
~
~~~)}
0,max(,min{)(~
~b
a
L U b
a
l l b a l l b a P +-+=
>
为~
~
b a >的可能度。

定义3 当~
~
,b a 至少有一个为区间数时，且记L U b
L U a
b b l a a l -=-=~~,，则称
}1),0,min{max(
)(~
~~
~
b
a
L
U l l b a b a P +-=>
为~
~b a >的可能度。

定义4 ~
~
,b a 至少有一个为区间数时，且记L U b
L U a
b b l a a l -=-=~~,，则称
~
~~~)}
0,max(,0max{)(~
~b
a
L U b
a
l l b a l l b a P +--+=
>
为~
~
b a >的可能度。

定义5 ~
~
,b a 至少有一个为区间数时，且记L U b
L U a
b b l a a l -=-=~~,，则称
}0),0,max(1max{
)(~
~~
~
b
a
L
U l l b a b a P +--=> 为~
~b a >的可能度。

由上述定义，可得到如下结论
定理 1 设L U b
L U a
b b l a a l -=-=~~,则
（1）1)(0~
~≤>≤b a p
（2）1)(~
~=>b a p 当且仅当L U a b ≤ （3）0)(~
~=>b a p 当且仅当L U b a ≤
（4）（互补性）1)()(~~~~=≤+>b a p b a p ，特别地，2/1)(~
~=>a a p
（5）2/1)(~
~≥>b a p 当且仅当L
U L U b b a a +≤+,T 特别地，2/1)(~
~=>b a p ，当且仅当L U L U b b a a +=+
（6）（传递性）对于3个区间数~
~~,,c b a ，若2/1)(~~≥>b a p 且2/1)(~
~≥>c b p 则
2/1)(~
~
≥>c a p
定义6 设模糊判断矩阵n n ij b B ⨯=)(，若有5.0,1==+ii ji ij b b b ，则称矩阵B 是模糊互补判断矩阵 例
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=5.09
.02.08.01.05.07.04.08.03.05.06
.02.06.04.05.0B 为模糊互补判断矩阵 定理2 设模糊互补判断矩阵n n ij b B ⨯=)(，对矩阵B 按行求和得 n i b b n
j ij i ,,2,1,1 ==∑=
则可依据),,2,1(n i b i =的序关系对区间),,2,1(],[~
n i a a a U L ==进行排序。

设p b a p =>)(~
~
，则记~
~
,b a 的次序关系为~
~b a p
>
三、案例分析：
比较下列5个区间的大小：
1a =[0.1888,0.1972],2a =[0.2068,0.2198],3a =[0.1988,0.2070] 4a =[0.1874,0.1970],5a =[0.1874,0.1962] 解：方法一：由可能度公式
}1),0,min{max(
)(~
~~
~
b
a
L
U l l b a b a P +-=> 可能度矩阵
⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=5.04783.0004302.05217.05.0004556
.0115.00094.01
119906.05.015698.05444.0005
.0p 对于矩阵P 按行求和
5,,2,1,5
1 ==∑=i p p j ij i
得到
1p =1.6142，2p =4.4906，3p =3.5094，4p =1.4773，5p =1.4085 即
55217
.045444
.011
39906
.02a a a a a ≥≥≥≥
方法二：比较每两个区间的范围，如果两个区间有交集，则合并它们。

最后所有区间会合并成几个离散的大区间，结果为这些区间大小之和。

这种方法的时间复杂度是O(n^2)。

方法三：引入线性函数将区间数转化为实数，引入一种反映决策心态的指标，并借此将区间数转化未实数来比较大小区间数的一种排序方法，从数学意义和实际应用的角度出发，提出了区间数序关系的公理化定义，将区间数的比较转化未实数大小比较。

方法四：通过构造各种形式的区间数全序、偏序、拟序关系来比较区间数的大小。

可以利用区间数、模糊数的比较的赋值序关系转换函数，也可以利用三角模型构造一类偏序包含度，建立区间数比较的包含度度量及构造方法。

例如：可以把一个区间看成一个均匀分布，利用均匀分布的均值和方差的比较转化为其区间的比较。

总体来说，区间数的比较的一般处理方法就是将区间数与实数轴上的某一个实数对应，但在区间数到实数的转化过程中，某些重要的信息可能会丢失，导致排序与人们的直观判断有偏差。

四、学习总结：
在实际决策问题中，决策信息有时以区间数形式来表示。

区间数的可能度比较是区间数排序的主要方法之一。

很多学生也在课堂上回答了许多排序区间数的各种方法，其中自己思维方面受到了或多或少的刺激。

通过对区间数排序的相关学习，使我了解了区间决策的重要性。

五、参考文献：
[1]许树柏.实用决策方法——层次分析法原理[M].天津:天津大学出版社,1998.
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