2016-2017学年高中数学配套课件：第一章 解三角形 章末复习提升

①
②
第二十七页，编辑于星期五：解十七析点答四十案二分。
跟踪训练4 在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A＝
sin2B＋cos2C＋sin Asin B. (1)求角C的大小； 解 由题意知1－sin2A＝sin2B＋1－sin2C＋sin Asin B， 即sin2A＋sin2B－sin2C＝－sin Asin B， 由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab， 由余弦定理得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝－2aabb＝－12， 又∵0<C<π，∴C＝23π.
在△ABC中，C＝180°－A－B＝120°－B.
由已知条件，应用正弦定理得
12＋
3＝bc＝ssiinn
CB＝sin1s2in0°B－B＝sin
120°cos
B－cos sin B
120°sin
B＝2tan3
B＋12，
从而 tan B＝12.
第十页，编辑于星期五：十七解点 析四十答二分案。
题型二 判断三角形的形状 1.利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状的两种方法 方法一：通过边之间的关系判断形状； 方法二：通过角之间的关系判断形状.
第三十页，编辑于星期五：十七点 四十二分。
例1 在△ABC中，已知A>B>C，且A＝2C，b＝4，a＋c＝8，求a，c的长.
第三十一页，编辑于星期五：解十七析点答四十案二分。
2.分类讨论思想 某些问题在一定条件下的解有多种情况，在解题过程中，应分析条件及 在每个条件下所产生的结果.分类讨论思想在历年高考中是必考的，在讨 论时应做到不重不漏，并注意各种情况包含的交叉内容.
所以静止目标P到海防警戒线a的距离为17.71 km.
第二十页，编辑于星期五：十解七点析四答十案二分。
跟踪训练3 如图所示，A，B两个小岛相距21 n mile，B岛在A岛的正南方 ，现在甲船从A岛出发，以9 n mile/h的速度向B岛行驶，而乙船同时以6 n mile/h的速度离开B岛向南偏东60°方向行驶，则行驶多少时间后，两船相距
已知条件 应用定理
一般解法
一边和两角
Leabharlann Baidu
由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定
正弦定理
(如a，B，C)
理求出b与c，在有解时只有一解.
由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出 两边和夹角 余弦定理、
一边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求 (如a，b，C) 正弦定理
出另一角，在有解时只有一解.
第四页，编辑于星期五：十七点 四十二分。
最近？并求出两船的最近距离.
解析答案 第二十一页，编辑于星期五：十七点 四十二分。
题型四 与三角形有关的综合问题
该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三角形的一些边角关系，由于正 弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现 边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等.
第二十八页，编辑于星期五：十解七析点答四案十二分。
(2)若 c＝ 3，求△ABC 周长的取值范围. 解 由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C＝2，
∴a＝2sin A，b＝2sin B， 则△ABC 的周长为 L＝a＋b＋c＝2(sin A＋sin B)＋ 3＝2[sin A＋sin(π3－A)] ＋ 3＝2sin(A＋π3)＋ 3. ∵0<A<π3，∴π3<A＋π3<23π， ∴ 23<sin(A＋π3)≤1，∴2 3<2sin(A＋π3)＋ 3≤2＋ 3， ∴△ABC 周长的取值范围是(2 3，2＋ 3].
测点B收到发自静止目标P的一个声
波信号，8 s后监测点A,20 s后监测点C相继收到
这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传
播速度是1.5 km/s.
(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；
解析答案 第十八页，编辑于星期五：十七点 四十二分。
(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(精确到0.01 km). 解 作PD⊥a于D， 在Rt△PDA中 ， PD＝PAcos∠APD ＝PAcos∠PAB＝x·3x＋5x32＝3×17352＋32≈17.71(km).
第三十四页，编辑于星期五：十七点 四十二分。
第三十五页，编辑于星期五：解十七析点答四十案二分。
课堂小结 1.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的
角也较大，即在△ABC中，A＞B等价于a＞b等价于sin A＞sin B.
2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角； (2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.
(2)设AB中点为D，求中线CD的长. 解 由余弦定理得
c2＝(3 2)2＋( 10)2－2×3 2× 10×255＝4， 所以c＝2，又因为D为AB的中点，所以BD＝1.
在△BCD中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2×BD×BC×cos B
＝12＋(3 2)2－2×1×3 2× 22＝13， ∴CD＝ 13.
将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形；
(4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量 减少计算中误差的积累；
(5)按照题目中已有的精确度计算，并根据题目要求的精确度确定答案并注明单位.
第十七页，编辑于星期五：十七点 四十二分。
例3 如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声 监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20 km和54 km处.某时刻，监
第一章 解三角形
章末复习提升
第一页，编辑于星期五：十七点 四十二分。
栏目 索引
一、本章知识网络 二、题型探究 三、思想方法总结
第二页，编辑于星期五：十七点 四十二分。
一、本章知识网络
返回 第三页，编辑于星期五：十七点 四十二分。
二、题型探究
题型一 利用正弦、余弦定理解三角形
1.解三角形的四种类型
第九页，编辑于星期五：十七解点 析四十答二案分。
跟踪训练 1 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设 a，b，
c 满足条件 b2＋c2－bc＝a2 和bc＝12＋ 3，求 A 和 tan B 的值. 解 由余弦定理 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝12>0，
∴A∈(0°，90°)，∴A＝60°.
第解二十析九答页，案编辑于星期五：十七点返四十回二分。
三、思想方法总结
1.函数与方程思想的应用 与函数思想相联系的就是方程思想.所谓方程思想，就是在解决问题时，用事先 设定的未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系，列出方程(组)，从而求出未 知数及各量的值，使问题获得解决，所设的未知数沟通了变量之间的联系.方程 可以看做未知量与已知量相互制约的条件，它架设了由已知探索未知的桥梁.本 章在利用正弦、余弦定理求角或边长时，往往渗透着函数与方程思想.
由余弦定理求出角A，B；再利用A＋B＋C＝ 三边(a，b，c) 余弦定理
180°求出角C，在有解时只有一解.
两边和其中一
由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°求
正弦定理、
边的对角(如a，
出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c，可
余弦定理
b，A)
有两解、一解或无解.
2.三角形解的个数的判断 已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出
第三十七页，编辑于星期五：十七点 四十二分。
3.正弦定理是一个关于边角关系的连比等式，在运用此定理时，只要知 道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要 学会灵活运用.运用余弦定理时，要注意整体思想的运用. 4.思想方法：
(1)函数与方程思想；(2)分类讨论思想.
第三十八页，编辑于星期五：十七点 返四十回二分。
，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两个不 同正数解，则三角形有两解.
第六页，编辑于星期五：十七点 四十二分。
例 1 如图，在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，B＝45°，b ＝ 10，cos C＝255. (1)求边长a；
第七页，编辑于星期五：十七解点 析四十答二分案。
现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”，此时一
般用正弦定理，但也可用余弦定理.
第五页，编辑于星期五：十七点 四十二分。
(1)利用正弦定理讨论：若已知 a、b、A，由正弦定理sina A＝sinb B，得 sin B＝bsian A.若 sin B>1，无解； 若sin B＝1，一解；若sin B<1，两解. (2)利用余弦定理讨论：已知a、b、A.由余弦定理a2＝c2＋b2－2cbcos A，即c2 －(2bcos A)c＋b2－a2＝0，这是关于c的一元二次方程.若方程无解或无正数解
第二十四页，编辑于星期五：十七点 四十二分。
例 4 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 (2a－b)cos C＝ccos B，△ABC 的面积 S＝10 3，c＝7.
(1)求角C；
解析答案 第二十五页，编辑于星期五：十七点 四十二分。
(2)求a，b的值.
解 由 S＝12absin C＝10 3，C＝π3得 ab＝40. 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C， 即 c2＝(a＋b)2－2ab(1＋cos π3)， ∴72＝(a＋b)2－2×40×1＋12. ∴a＋b＝13. 由①②得a＝8，b＝5或a＝5，b＝8.
利用正弦、余弦定理可以将已知条件中的边、角互化，把条件化为边的 关系或化为角的关系.
第十一页，编辑于星期五：十七点 四十二分。
2.判断三角形的形状时常用的结论
(1)在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B. (2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋B＝π－C，则cos(A＋B)＝－cos C，sin(A ＋B)＝sin C. (3)在△ABC 中，a2＋b2<c2⇔π2<C<π，a2＋b2＝c2⇔cos C＝0⇔C＝π2，a2＋ b2>c2⇔cos C>0⇔0<C<π2.
第十二页，编辑于星期五：十七点 四十二分。
第十三页，编辑于星期五：十解七点析四答十二案分。
跟踪训练2 在△ABC中，若(a2＋b2)·sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，请判断 三角形的形状.
第十四页，编辑于星期五：十解七点析四答十案二分。
题型三 正弦、余弦定理的实际应用
正弦、余弦定理的实际应用应注意的问题 (1)认真分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图； (2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等； (3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，