高考数学(理)创新大一轮人教A全国通用讲义：第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第3节 Word含解

第3节 二项式定理

最新考纲 1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题

.

知 识 梳 理

1.二项式定理

(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *

)； (2)通项公式：T r ＋1＝C r n a

n －r b r ，它表示第r ＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C 0n ，C 1n ，…，C n n .

2.二项式系数的性质

3.各二项式系数和

(1)(a ＋b )n 展开式的各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n

.

(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2

n －1. [常用结论与微点提醒]

1.二项展开式共有n ＋1项；各项的次数都等于二项式的幂指数n ，等于a 与b 的指数的和n .

2.通项T k ＋1＝C k n a

n －k b k 是(a ＋b )n 的展开式的第k ＋1项，而不是第k 项，这里k ＝0，1，…，n .

3.区别(a ＋b )n 的展开式中“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的

系数与a ，b 有关，可正可负，第k ＋1项的二项式系数是C k n ，只与n 和k 有关，恒为正.

诊 断 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)C k n a

n －k b k 是二项展开式的第k 项.( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关.( )

(4)(a ＋b )n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.( )

解析 二项式展开式中C k n a

n －k b k 是第k ＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√

2.(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是( ) A.C m n

B.C m ＋1

n

C.C m －1n

D.(－1)m －1C m －1n

解析 (x －y )n 展开式中第m 项的系数为C m －1n

(－1)m －1. 答案 D

3.(选修2－3P35练习A1(3)改编)

C 02 017＋C 12 017＋C 22 017＋…＋C 2 017

2 017

C 02 016＋C 22 016＋C 42 016＋…＋C 2 0162 016

的值为( ) A.2 B.4

C.2 017

D.2 016×2 017

解析 原式＝22 017

2

2 016－1

＝22＝4.

答案 B

4.已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7

的展开式的第4项等于5，则x 等于( )

A.17

B.－17

C.7

D.－7

解析 由T 4＝C 37x 4⎝

⎛⎭

⎪

⎫－1x 3

＝5，得x ＝－17.

答案 B

5.(2018·石家庄调研)(1＋x )n 的二项展开式中，仅第6项的系数最大，则n ＝________.

解析 (1＋x )n 的二项展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以n

2＋1＝6，n ＝10. 答案

10

考点一 展开式中的特定项或项的系数(多维探究) 命题角度1 求二项展开式中的特定项

【例1－1】 (1)(2016·广东卷)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6

的展开式中，常数项是( )

A.－5

4

B.54

C.－1516

D.1516

(2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x 10

的展开式中所有的有理项为________. 解析

(1)T r ＋1＝C r 6(x 2)

6－r ⎝

⎛⎭⎪⎫－12x r

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 6x 12－3r

，令12－3r ＝0，解得r ＝4，∴常数项为⎝ ⎛⎭

⎪⎫－124C 46＝15

16.

(2)二项展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 10⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x 10－2k 3

.

由题意10－2k

3∈Z ，且0≤k ≤10，k ∈N . 令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ， ∵k ∈N ，∴r 应为偶数.

∴r 可取2，0，－2，即k 可取2，5，8，

∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为45

4x 2， －638，45256x －2.

答案 (1)D (2)454x 2，－638，45

256x －2

命题角度2 求二项展开式中特定项的系数

【例1－2】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)⎝ ⎛

⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为( )

A.15

B.20

C.30

D.35

(2)(2018·江西赣州十四县联考)若⎝ ⎛

⎭⎪⎫x ＋13x n 的展开式中前三项的系数分别为A ，B ，

C ，且满足4A ＝9(C －B )，则展开式中x 2的系数为________. 解析 (1)因为(1＋x )

6

的通项为C r 6x r ，所以⎝

⎛⎭

⎪⎫1＋1x

2(1＋x )6展开式中含x 2的项为1·C 2

6x 2和1x 2·C 46x 4，因为C 26＋C 46＝2C 2

6

＝2×6×52×1＝30， 所以⎝ ⎛

⎭

⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为30.

(2)易得A ＝1，B ＝n 3，C ＝C 2n

9＝n （n －1）18，所以有4＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－n 18

－n 3，即n 2－7n －8＝0，解得n ＝8或n ＝－1(舍).在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x 8中，因为通项T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x r ＝C r 83r ·

x 8－2r ，令8－2r ＝2，得r ＝3，所以展开式中x 2的系数为56

27. 答案 (1)C (2)

5627

命题角度3 多项式的展开问题

【例1－3】 (一题多解)(2015·全国Ⅰ卷)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A.10

B.20

C.30

D.60

解析 法一 (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，