上海市西中学数学平面图形的认识(一)易错题(Word版 含答案)

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）
1．如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D．
（1）若，，求∠D的度数；
（2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD= ∠ABC= ×75°=37.5°，
∵CD平分△ABC的外角，
∴∠DCA= (180°-∠ACB)= (180°-45°)=67.5°，
∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-37.5°-67.5°-45°=30°.
（2）解：猜想：∠ D = ( ∠ M + ∠ N − 180 ° ).
∵∠M+∠N+∠CBM+∠NCB=360°,
∴∠D=180°- ∠CBM-∠NCB- ∠NCE.
=180°- (360°-∠NCB-∠M-∠N)- ∠NCB- ∠NCE.
=180°-180°+ ∠NCB+ ∠M+ ∠N-∠NCB- ∠NCE.
= ∠M+ ∠N- ∠NCB- ∠NCE= ,
或写成
【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠DBC=37.5°，根据邻补角定义以及角平分线定义求得∠DCA的度数为67.5°，最后根据三角形内角和定理即可求得∠D的度数；
(2)由四边形内角和与角平分线性质即可求解.
2．如图1，直线MN与直线AB，CD分别交于点E，F，∠1与∠2互补
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH
（3）如图3，在(2)的条件下，连结PH，在GH上取一点K，使得∠PKG=2∠HPK，过点P 作PQ平分∠EPK交EF于点Q，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．(温馨提示：三角形的三个内角和为180°．)
【答案】（1）解：如图，
∵∠1和∠2互补，∠2和∠3互补，
∴∠1=∠3
∴AB∥CD
（2）解：如图，
由(1)得AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP= (∠BEF+∠EFD)=90°，
∴∠EPF=90°，即EG⊥PF
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH．
（3）解：∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：
∵EG⊥HG，∴∠KGP=90°
∴∠EPK=180°-∠4=180°-(180-∠3-∠KGP)=90°+∠3
∵∠3=2∠6，
∴∠EPK=90°+2∠6
∵PQ平分∠EPK，
∴∠QPK= ∠EPK=45°+∠6
∴∠HPQ=∠QPK-∠6=45°
∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°
【解析】【分析】（1）利用邻补角的定义可证得∠2与∠3互补，再根据同角的补角相等，可证得∠1=∠3，然后利用同位角相等，两直线平行，可证得结论。

（2）利用两直线平行，同旁内角互补，可证得∠BEF+∠EFD=180°，再利用角平分线的定义去证明∠EPF=90°可得到EG⊥PF，然后利用同垂直于一条直线的两直线平行，可证得结论。

（3）利用垂直的定义可证得∠KGP=90°，利用邻补角的定义可证得∠EPK=90°+∠3，再由∠3=2∠6，可得到∠EPK=90°+2∠6，再利用角平分线的定义，可推出∠QPK=45°+∠6，由∠HPQ=∠QPK-∠6，即可求出∠HPQ的度数。

3．已知，AB//CD,（1）如图，若E 为DC 延长线上一点，AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE 的平分线.
（1）求证：AF//CG.
（2）若 E 为线段 DC 上一点（E 不与 C 重合），AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE的平分线，画出图形，试判断 AF，CG 的位置关系，并证明你的结论.
【答案】（1）证明：∵AB//CD
∴∠BAC=∠ACE，
∵AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE的平分线，
∴∠CAF= ∠BAC, ∠ACG= ∠ACE,
∴∠CAF=∠ACG
∴AF//CG.
（2）解：AF⊥CG，理由如下：
如图，AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE的平分线，
∴∠1= ∠BAC,∠2= ∠ACD,
∵AB//CD,
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠1+∠2= ∠BAC+ ∠ACD= （∠BAC+∠ACD）=90°，
∴∠3=180°-（∠1+∠2）=90°，
∴AF⊥CG.
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，内错角相等得出∠BAC=∠ACE，根据角平分线的定义得出∠CAF=∠ACG ，进而根据内错角相等，二直线平行得出AF∥CG；
（2）根据题意作出图形，根据角平分线的定义得出∠1= ∠BAC,∠2= ∠ACD, 根据二直线平行，同旁内角互补得出∠BAC+∠ACD=180°，从而即可得出∠1+∠2= 90°，根据三角形的内角和定理得出∠3=90°，进而根据垂直的定义得出AF⊥CG.
4．已知：如图1，在平面直角坐标系中，点A，B，E分别是x轴和y轴上的任意点．BD是∠ABE的平分线，BD的反向延长线与∠OAB的平分线交于点C．
（1）探究：
求∠C的度数．
（2）发现：当点A，点B分别在x轴和y轴的正半轴上移动时，∠C的大小是否发生变化？若不变，请直接写出结论；若发生变化，请求出∠C的变化范围．
（3）应用：如图2在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝310°，CF平分∠DCB，CF的反向延长线与∠EDC外角的平分线相交于点P，求∠P的度数．
【答案】（1）解：∵∠ABE＝∠OAB+∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠ABE＝∠OAB+90°，
∵BD是∠ABE的平分线，AC平分∠OAB，
∴∠ABE＝2∠ABD，∠OAB＝2∠BAC，
∴2∠ABD＝2∠BAC+90°，
∴∠ABD＝∠BAC+45°，
又∵∠ABD＝∠BAC+∠C，
∴∠C＝45°
（2）解：不变．
理由如下：∵∠ABE＝∠OAB+∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠ABE＝∠OAB+90°，
∵BD是∠ABE的平分线，AC平分∠OAB，
∴∠ABE＝2∠ABD，∠OAB＝2∠BAC，
∴2∠ABD＝2∠BAC+∠AOB，
∴∠ABD＝∠BAC+ ∠AOB，
又∵∠ABD＝∠BAC+∠C，
∴∠C＝∠AOB＝45°
（3）解：延长ED，BC相交于点G．
在四边形ABGE中，
∵∠G＝360°﹣（∠A+∠B+∠E）＝50°，
∴∠P＝∠FCD﹣∠CDP＝（∠DCB﹣∠CDG）
＝∠G＝ ×50°＝25°
【解析】【分析】（1）（2）根据三角形外角的性质和角平分线的性质进行解答；
（3）延长ED，BC相交于点G，根据四边形形内角和为360°求得∠G的度数，再根据三角形外角的性质和角平分线的性质求∠P的度数.
5．
（1）如图，请证明∠A+∠B+∠C＝180°
（2）如图的图形我们把它称为“8字形”，请证明∠A+∠B＝∠C+∠D
（3）如图，E在DC的延长线上，AP平分∠BAD，CP平分∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D之间的关系，并证明
（4）如图，AB∥CD，PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，过点P作PM、PE交CD于M，交AB于E，则①∠1+∠2+∠3+∠4不变；②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变，选择正确的并给予证明.
【答案】（1）证明：如图1，延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∵BA∥CE，
∴∠B＝∠1，
∠A＝∠2，
又∵∠BCD＝∠BCA+∠2+∠1＝180°，
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°；
（2）证明：如图2，在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，
在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
（3）解：如图3，
∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵（∠1+∠2）+∠B＝（180°﹣2∠3）+∠D，
∠2+∠P＝（180°﹣∠3）+∠D，
∴2∠P＝180°+∠D+∠B，
∴∠P＝90°+ （∠B+∠D）；
（4）解：②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变正确.
理由如下：
作PQ∥AB，如图4，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
由AB∥PQ得∠APQ+∠3+∠4＝180°，即∠APQ＝180°﹣∠3﹣∠4，
由PQ∥CD得∠5＝∠2，
∵∠APQ+∠5+∠1＝90°，
∴180°﹣∠3﹣∠4+∠2+∠1＝90°，
∴∠3+∠4﹣∠1﹣∠2＝90°.
【解析】【分析】（1）如图1，延长BC到D，过点C作CE∥BA，根据二直线平行，同位角相等、内错角相等得出∠B＝∠1，∠A＝∠2，根据平角的定义得∠BCA+∠2+∠1＝180°，再等量代换即可得出结论：∠A+∠B+∠ACB＝180°；
（2）根据三角形的内角和得出：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，根据对顶角相等得出∠AOB＝∠COD，根据等式的性质得出∠A+∠B＝∠C+∠D；
（3）∠P＝90°+ （∠B+∠D），理由如下：根据角平分线的定义得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，根据（2）的结论得出（∠1+∠2）+∠B＝（180°﹣2∠3）+∠D ①，∠2+∠P＝（180°﹣∠3）+∠D ②，由①得 180°﹣2∠3=∠1+∠2+∠B -∠D ③，②×2得：
2∠2+2∠P＝2（180°﹣∠3）+2∠D ④，将③代入④即可得出结论：∠P＝90°+ （∠B+∠D）；
（4）②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变正确. 理由如下：作PQ∥AB，如图4，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出PQ∥CD，根据平行线的性质得出∠APQ+∠3+∠4＝180°，即∠APQ＝180°﹣∠3﹣∠4，∠5＝∠2，根据角的和差得出∠APQ+∠5+∠1＝90°，再整体替换即可得出∠3+∠4﹣∠1﹣∠2＝90°.
6．以直线AB上点O为端点作射线OC，使∠BOC=60°，将直角△DOE的直角顶点放在点O 处.
（1）如图1，若直角△DOE的边OD放在射线OB上，则∠COE=________；
（2）如图2，将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得OE平分∠AOC，说明OD所在射线是∠BOC的平分线；
（3）如图3，将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得∠COD= ∠AOE.求∠BOD的度数.
【答案】（1）30
（2）解：∵OE平分∠AOC，
∴∠COE=∠AOE= ∠COA，
∵∠EOD=90°，
∴∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，
∴∠COD=∠DOB，
∴OD所在射线是∠BOC的平分线
（3）解：设∠COD=x°，则∠AOE=5x°，
∵∠DOE=90°，∠BOC=60°，
∴6x=30或5x+90﹣x=120，
∴x=5或7.5，
即∠COD=65°或37.5°，
∴∠BOD=65°或52.5°
【解析】【解答】（1）∵∠BOE=∠COE+∠COB=90°，
又∵∠COB=60°，
∴∠COE=∠BOE-∠COB=30°，
故答案为30；
【分析】（1）根据图形得出∠COE=∠BOE-∠COB，代入求出即可；（2）根据角平分线定
义求出∠COE=∠AOE= ∠COA，再根据∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，可得∠COD=∠DOB，从而问题得证；（3）设∠COD=x°，则∠AOE=5x°，根据题意则可得6x=30或5x+90﹣x=120，解方程即可得.
7．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE 和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n.
（1）如图①，已知∠ABE=50°，∠DCE=25°，则∠BEC = ________°；
（2）如图②，若∠BEC=140°，求∠BE1C的度数；
（3）猜想：若∠BEC＝α度，则∠BE n C = ________ °.
【答案】（1）75
（2）解：如图2，
∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴由（1）可得，
∠BE1C=∠ABE1+∠DCE1= ∠ABE+ ∠DCE= ∠BEC；
∵∠BEC=140°，
∴∠BE1C=70°；
（3）
【解析】【解答】解：（1）如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE=75°；
故答案为：75；
（ 3 ）如图2，
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴由（1）可得，
∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2= ∠ABE1+ ∠DCE1= ∠CE1B= ∠BEC；
∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3= ∠ABE2+ ∠DCE2= ∠CE2B= ∠BEC；
…
以此类推，∠E n= ∠BEC，
∴当∠BEC=α度时，∠BE n C等于 °.
故答案为： .
【分析】（1）先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE=75°；（2）先根据∠ABE和
∠DCE的平分线交点为E1，运用（1）中的结论，得出∠BE1C=∠ABE1+∠DCE1= ∠ABE+ ∠DCE= ∠BEC；（3）根据∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，得出∠BE2C= ∠BEC；根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C= ∠BEC；…据此得到规律∠E n= ∠BEC，最后求得∠BE n C的度数.
8．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起（其中，，），固定三角板，另一三角板的边从边开始绕点顺时针旋转，设旋转的角度为．
（1）当时；
若，则的度数为________；
（2）若，求的度数；
（3）由（1）（2）猜想与的数量关系，并说明理由；
（4）当时，这两块三角尺是否存在一组边互相垂直？若存在，请直接写出所有可能的值，并指出哪两边互相垂直（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．【答案】（1）150°
（2）∵∠ACB=130°，∠ACD=90°，
∴∠DCB=130°−90°=40°，
∴∠DCE=90°−40°=50°；
（3）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：
①当时，如图1，
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB，
∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°；
②当时，如图2，∠ACB+∠DCE=180°，显然成立；
③当时，如图3，∠ACB+∠DCE=360°-90°-90°=180°．
综上所述：∠ACB+∠DCE=180°；
（4）存在，理由如下：
①若AD⊥CE时，如图4，则 =90°-∠A=90°-60°=30°，
②若AC⊥CE时，如图5，则 =∠ACE=90°，
③若AD⊥BE时，如图6，则∠EMC=90°+30°=120°，
∵∠E=45°，
∴∠ECD=180°-45°-120°=15°，
∴ =90°-15°=75°，
④若CD⊥BE时，如图7，则AC∥BE，
∴ =∠E=45°．
综上所述：当 =30°时，AD⊥CE，当 =90°时，AC⊥CE，当 =75°时，AD⊥BE，当
=45°时，CD⊥BE．
【解析】【解答】（1）①∵∠ECB=90°，∠DCE=30°，
∴∠DCB=90°−30°=60°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+60°=150°，
故答案是150°；
【分析】（1）①先根据直角三角板的性质求出∠DCB的度数，进而可得出∠ACB的度数；②由∠ACB=130°，∠ACD=90°，可得出∠DCB的度数，进而得出∠DCE的度数；（2）根据（1）中的结论可提出猜想，再分3种情况：①当时，②当时，③当时，分别证明∠ACB与∠DCE的数量关系，即可；（3）分4种情况：①若AD⊥CE时，②若AC⊥CE时，③若AD⊥BE时，④若CD⊥BE 时，分别求出的值，即可．
9．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC的度数为x，∠BOE=90°，OF平分∠AOD.
（1）当x=19°48′，求∠EOC与∠FOD的度数.
（2）当x=60°，射线OE、OF分别以10°/s，4°/s的速度同时绕点O顺时针转动，求当射线OE与射线OF重合时至少需要多少时间？
（3）当x=60°，射线OE以10°/s的速度绕点O顺时针转动，同时射线OF也以4°/s的速度绕点O逆时针转动，当射线OE转动一周时射线OF也停止转动.射线OE在转动一周的过程中当∠EOF=90°时，求射线OE转动的时间.
【答案】（1）解：∵∠BOE=90°，
∴∠AOE=90°，
∵∠AOC=x=19°48′，
∴∠EOC=90°-19°48′=89°60°-19°48′=70°12′，
∠AOD=180°-19°48′=160°12′，
∵OF平分∠AOD，
∴∠FOD= ∠AOD= ×160°12′=80°6′；
（2）解：当x=60°，∠EOF=90°+60°=150°
设当射线OE与射线OF重合时至少需要t秒，
10t-4t=360-150，
t=35，
答：当射线OE与射线OF重合时至少需要35秒
（3）解：设射线OE转动的时间为t秒，
分三种情况：①OE不经过OF时，得10t+90+4t=360-150，
解得，t= ；
②OE经过OF，但OF在OB的下方时，得10t-（360-150）+4t=90
解得，t= ;
③OF在OB的上方时，得：360-10t=4t-120
解得，t= .
所以，射线OE转动的时间为t= 或或 .
【解析】【分析】（1）利用互余和互补的定义可得：∠EOC与∠FOD的度数；
（2）先根据x=60°，求∠EOF=150°，则射线OE、OF第一次重合时，则OE运动的度数-OF 运动的度数=360-150，列方程解出即可；
（3）分三种情况：①OE不经过OF时，②OE经过OF，但OF在OB的下方时；③OF在OB的上方时；根据其夹角列方程可得时间.
10．已知：∠1＝∠2，EG 平分∠AEC.
（1）如图1，∠MAE＝50°，∠FEG＝15°，∠NCE＝80°.试判断EF 与CD 的位置关系，并说明理由.
（2）如图2，∠MAE＝135°，∠FEG＝30°，当 AB∥CD 时，求∠NCE 的度数；
（3）如图2，试写出∠MAE、∠FEG、∠NCE 之间满足什么关系时，AB∥CD.
【答案】（1）解：
∵
∴
∴
∴
∵EG 平分∠AEC
∴
∴
∴
∴；
（2）解：∵
∴
∵∠MAE＝135°
∴
∵∠FEG＝30°
∴
∵EG 平分∠AEC
∴
∵
∴；
（3）解：
∵
∴
∴
∴
∴
∵EG 平分∠AEC
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴ .
【解析】【分析】（1）根据可得，根据角的和差关系和角平分线的性质可得，从而得证；（2）根据可得，根据平行线的性质以及角平分线的性质可得；（3）根据可得，根据平行线的性质可得
，再根据角平分线的性质可得
，再根据平行线的性质即可得
.
11．直线AB与直线CD相交于点O，OE平分 .
（1）如图①，若，求的度数；
（2）如图②，射线OF在内部.
①若，判断OF是否为的平分线，并说明理由；
②若OF平分，，求的度数.
【答案】（1）解：∵∠BOC=130°
∴∠BOD=180°-∠BOC=180°-130°=50°
∵OE平分∠BOD
∴
∴∠AOD=∠BOC=130°
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=130°+25°=155°
（2）解：①∵OE平分∠BOD
∴∠BOE=∠DOE
∵OF⊥OE
∴∠EOF=90°
∴∠DOF=90°-∠DOE
∵∠AOF=180°-∠EOF-∠BOE
=180°-90°-∠BOE
=90°-∠BOE
∴∠AOF=∠DOF
∴DF平分∠AOD
②∵
∴设∠DOF=3x，则∠AOF=5x
∵OF平分∠AOE
∴∠EOF=∠AOF=5x，∠AOE=10x
∴∠DOE=∠EOF-∠DOF=5x-3x=2x
∵OE平分∠BOD
∴∠BOE=∠DOE=2x，∠BOD=4x
∵∠BOE+∠AOE=180°
∴2x+10x=180°
∴x=15°
∴∠BOD=4×15°=60°
【解析】【分析】（1）由∠BOC=130°可得∠BOD=50°根据OE平分∠BOD得
，根据对顶角相等可得∠AOD=∠BOC=130°即可求出∠AOE的度
数；（2）①由OE平分∠BOD可得∠BOE=∠DOE由OF⊥OE可得∠EOF=90°，故∠DOF=90°-∠DOE由图形可计算出：∠AOF=90°-∠BOE，故∠AOF=∠DOF可证DF平分∠AOD②依题意设∠DOF=3x，则∠AOF=5x由OF平分∠AOE，可得∠EOF=∠AOF=5x，∠AOE=10x，可得：∠DOE=∠EOF-∠DOF=5x-3x=2x由OE平分∠BOD可得∠BOE=∠DOE=2x，∠BOD=4x由图形可知∠BOE+∠AOE=180°，列出方程求出x即可
12．如图，∠AOB是平角，OD是∠AOC的角平分线，∠COE＝∠BOE．
（1）若∠AOC＝ 50 ，则∠DOE＝________ ；
（2）若∠AOC＝ 50 ，则图中与∠COD互补的角为________；
（3）当∠AOC的大小发生改变时，∠DOE的大小是否发生改变？为什么？
【答案】（1）
（2）∠BOD
（3）解：不发生改变，
设∠AOC＝2x .
∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠AOD ＝∠COD＝x，
∴∠BOC＝180 ̶2x，
∵∠COE＝∠BOE，
∴∠COE＝＝90 +x，
∴∠DOE＝90 +x ̶x＝90
【解析】【解答】（1）解：∵∠AOC=50 ，
∴∠BOC=180 130 ，
∵OD是∠AOC的角平分线，
∴∠AOD=∠COD=25 ，
∴∠COE＝∠BOE= ，
∴∠DOE=115 ；
故答案为：90
（ 2 ）解：由（1）知∠AOD=∠COD=25 ，
∴∠BOD=155 ，
∴图中与∠COD互补的角为∠BOD；
故答案为：∠BOD
【分析】（1）由∠AOC=50 ，得到∠AOD=∠COD=25 ，∠BOC=130 ，求得∠COE＝∠BOE=115 ．即可求出∠DOE；（2）由（1）得∠AOD=∠COD=25 ，则∠BOD=155 ，即可得到答案；（3）设∠AOC＝2x，则∠AOD ＝∠COD ＝x，得到∠COE=90 +x，即可得到∠DOE＝90 .。