【推荐精选】2018年高中数学 黄金100题系列 第63题 空间平行关系的证明 文

第63题 空间平行关系的证明
I ．题源探究·黄金母题
【例1】如图，在空间四边形ABCD 中，,,E F G 分别是
,,AB BC CD 的中点，求证：
（1）BD P 平面EFG ； （2）AC P 平面EFG ；．
【解析】（1）∵E F 、分别为BC CD 、的中点， ∴EF 为BCD ∆的中位线，∴EF
BD ，
∵EF ⊂平面EFG ，BD ⊄平面EFG ， ∴BD P 平面EFG ．
（2）∵G F 、分别为AD CD 、的中点 ∴GF 为ACD ∆的中位线，∴GF
AC ．
∵GF ⊂平面EFG ，AC ⊄平面EFG ， ∴AC P 平面EFG ． II ．考场精彩·真题回放
【例2】【2017课标II 文18】如图，四棱锥P ABCD -中，
侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面
ABCD ,01
,90.2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠= （1）证明：直线
//BC 平面PAD ;
（2）若△
PAD 面积为，求四棱锥P ABCD -的体积.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】分析：（1）先由平几知识得BC∥AD，再利用线面平行判定定理证结论，（2）取AD 的中点M ，利用面面垂直性质定理证明PM⊥底面ABCD ，
得四棱锥的高，再通过平几计算得底面直角梯形面积，最后代入椎体体积得体积.
解析：（1）在平面ABCD 内，因为∠BA
D=∠ABC=90°，所以
BC∥AD.又
BC PAD ⊄平面，AD PAD ⊂平面，故BC∥
平面PAD.
（2）取AD 的中点M ，连结PM ，CM ，由
1
2
A B B C A D ==
及BC∥AD，∠ABC=90°得四边形ABCM 为正方形，则CM⊥AD.
因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，
平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD，因为CM ABCD
⊂底面，所以PM⊥CM.，设BC=x，则CM=x，CD=，PM=，PC=PD=2x.取CD的中点N，连结PN，则
PN⊥CD，所以因为△PCD
的面积为
，所以
，解得x=-2（舍去），x=2，于是
AB=BC=2，AD=4，
PM=，所以四棱锥P-ABCD
的体积
.
【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常
见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
【例3】【2016年全国Ⅲ卷】如图，四棱锥P ABC
-中，
PA⊥平面ABCD，AD BC，3
AB AD AC
===，
4
PA BC
==，M为线段AD上一点，2
AM MD
=，N
为PC的中点．
（1）证明MN P平面PAB；
（2）求四面体N BCM
-的体积.
【解析】（1）由已知得2
3
2
=
=AD
AM，取BP的中点T，
连接TN
AT,，由N为PC中点知BC
TN//，
2
2
1
=
=BC
TN．又BC
AD//，故TN AM，四边形
AMNT为平行四边形，于是MN AT．
因为⊂
AT平面PAB，⊄
MN平面PAB，所以//
MN平
面PAB．
（2）因为⊥
PA平面ABCD，N为PC的中点，
所以N到平面ABCD的距离为PA
2
1
．
取BC的中点E，连结AE.
由3
=
=AC
AB得BC
AE⊥，
5
2
2=
-
=BE
AB
AE．
由BC
AM∥得M到BC的距离为5，故
5
2
5
4
2
1
=
⨯
⨯
=
∆B C M
S，
所以四面体B C M
N-的体积
3
5
4
2
3
1
=
⨯
⨯
=
∆
-
PA
S
V
BCM
BCM
N
．
【例4】【2016年江苏高考】如图，在直三棱柱
111
ABC A B C
-中，D E
，分别为AB BC
，的中
点，点F在侧棱
1
B B上，且
11
B D A F
⊥，
1111
AC A B
⊥
.
求证：（1）直线DE P平面
11
AC F；
（2）平面
1
B DE⊥平面
11
AC F．
【解析】1）在直三棱柱
111
ABC A B C
-中，
11
AC AC．在三角形ABC中，因为,D E分别
为,
AB BC的中点，所以//
DE AC，于是
11DE
AC ．
又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F ， 所以直线DE
平面11AC F ．
（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA ⊥平面A B C ． 因为11AC ⊂平面111A B C ，所以111AA ⊥A C ． 又因为1111111AC A B AA ABB A ⊥⊂，平面，
1111A B ABB A ⊂平面，11
11A B AA A =，
所以11AC ⊥平面11ABB A ，
因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥． 又因为111111B D A F AC AC F ⊥⊂，平面，
111A F AC F ⊂平面，11
11AC A F A =，
所以111C F B D A ⊥平面．
因为直线11B D B DE ⊂平面， 所以1B DE 平面11AC F ⊥平面． 精彩解读
【试题来源】人教版A 版必修二第79页复习参考题B 组第2题．
【母题评析】本题是以正方体为载体考查空间直线与平面的垂直关系，这种题型能充分考查学生的逻辑思维能力与空间想象能力，以及综合分析与解决问题的能力．这在高考中常常出现在解答题的第1小题位置．
【思路方法】两平面平行（或垂直）问题常转化为直线与直线平行（或垂直），而直线与平面平行（或垂直）又可转化为直线与直线平行（或垂直），所以在解题时应注意“转化思想”的运用。

这种转化实质上就是：将“高维问题”转化为“低维问题”，将“空间问题”转化为“平面问题”．
【命题意图】本类题主要考查空间空间直线、平面间的平行与垂直关系的证明和判断，以及考查逻辑思维能力、空间想象能力、转化能力．
【考试方向】这类试题在选择题中，主要考查空间直线、平面间的平行与垂直的概念、定理、公理、推论等的辨析及位置判断；在解答题中主要考查直线与平面间的平行与垂直，主要出现在第1小题中．
【难点中心】求空间直线、平面间位置关系的证明的主要难点：（1）对几何体结构认识不透，空间想象能力较差，难以下手；（2）不能正确利用条件中中点、垂直关系实施有效的转化．
III ．理论基础·解题原理
考点 直线、平面平行的判定及其性质
,////b P a βα
=⇒b
β=
,
//a b a b γγ==⇒
IV 【考试方向】
在选择题中，主要考查空间直线、平面间的平行与垂直的概念、定理、公理、推论等的辨析及位置判断；在解答题中主要考查直线与平面间的平行与垂直，主要出现在第1小题中． 【技能方法】
（1）证明线线平行转化为证明线面平行或面面平行； （2）证明线面平行转化为证明线线平行（垂直）或面面平行； （3）证明面面平行转化为证明线线平行（垂直）或线面平行． 【易错指导】
（1）忽视定理的关键条件，如忽视平面与平面平行的判定定理中，两条直线相交的条件； （2）胡乱推广平面几何的结论而用于证明空间问题； （3）受定势思维的影响，凭直觉思维主观臆断而误导结论． V ．举一反三·触类旁通
考向1 空间直线与平面平行的证明
【例1】【2017课标1文6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【例2】【2017宁夏石嘴山三中上期月考】 如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，,E F 分别是,PA PD 边上的中点，且PD AB ==2．
（1）求EF P 平面PBC ；
（2）求四棱锥P ABCD -的表面积．
【解析】（1） △PDA 中，,E F 分别是,PA PD 边上的中点，EF
AD ∴，又AD BC
EF BC ∴ 又EF ⊄面PBC ，BC ⊂面PBC ，//EF ∴平面PBC
（2） 连接BD ．因为 PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，
从而△PDA ，△PDC 为全等的直角三角形，所以 PA PC ==
PB =， 所以 22222AB PA PB BC PC +==+，
从而 △PAB ，△PCB 为全等的直角三角形.
所以，四棱锥P ABCD -的表面积22PDA PAB ABCD S S S S ∆∆=++正方形
211
2222
AD PD AB PA AB =⨯⋅+⨯⋅+8=+
【解法指导】一般地，对于用判定定理证明，即证明平面内的某条直线与已知直线平行，可根据题设条件去寻找这条“目标直线”，从而达到线线与线面的转化．若借助面面平行的性质来证明线面平行，则先要确定一个平面经过该直线且与已知平面平行，此“目标平面”的寻找多借助“中位线”来完成． 【跟踪练习】
1.【2017广东海珠区上期调研】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，点,E F 分别为AB 和PD 的中点．
（1）求证：直线//AF 平面PEC ； （2）求三棱锥P BEF -的体积.
∵AF ⊄平面PEC ，EM ⊂平面PEC ，∴直线//AF 平面PEC .
（2）连接ED ，在ADE ∆中，1AD =，1
2
AE =
，60DAE ∠=，
∴222221113
2cos601()212224
ED AD AE AD AE =+-⨯⨯=+-⨯⨯⨯
=，
∴2
ED =
，∴222AE ED AD +=，∴ED AB ⊥. PD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PD AB ⊥，
PD ED D =，PD ⊂平面PEF ，ED ⊂平面PEF ，∴AB ⊥平面PEF .
11122228
PEF S PF ED ∆=
⨯⨯=⨯⨯=，
∴三棱锥P BEF -的体积P BEF B PEF V V --==1
3
PEF S BE ∆=⨯⨯11382=⨯
48=． 考向2 空间平面与平面平行的证明
【例1】（2017山西省临汾一中高三3月月考）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA 是四棱锥P ABCD -的高，2PA AB ==，点,,M N E 分别是,,PD AD CD 的中点．
（1）求证：平面MNE
ACP 平面；
（2）求四面体AMBC 的体积．
（2）因为PA 是四棱锥P ABCD -的高，
由,MN PA ∥知MN 是三棱锥M ABC -的高，且1
12
MN PA ==， 所以111213323
A MBC M ABC ABC V V S MN A
B B
C --∆==
⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=
【点睛】面面平行问题其实质是将其转化为线面平行或线线平行问题，而线面问题可转化为线线平行的问题或面面平行问题，线线平行问题又可转化为线面平行或面面平行问题．因此，线线平行、线面平行、面面平行三者之间关系非常紧密，它们可相互进行转化证明． 【跟踪练习】
1.【2016郑州一中考前冲刺三】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD
BC ，
90BAD ∠=︒，2BC AD =，AC 与BD 交于点O ，点M N ，分别在线段PC AB ，上，
2==NA
BN
MP CM .
（1）求证：平面MNO
平面PAD ；
（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，60PDA ∠=︒，且2PD DC BC ===，求几何体M ABC -的体积.
（2）在PAD ∆中，3cos 2222=∠⋅-+=PDA AD PD AD PD PA ， ∴2
2
2
PD AD PA =+，即PA AD ⊥．
又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥平面ABCD ． 又由（1）知OM
AP ，∴MO ⊥平面ABC ，且3
3232==
AP MO ． 在梯形ABCD 中，22CD BC AD ===，
90=∠BAD ，∴3=AB ，
∴ABC ∆的面积321=⋅=
BC AB S ，∴几何体M ABC -的体积3
231=⋅=S MO V ． 考向3 空间垂直与平行综合
【例1】【2017山东，文18】由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD ,
（Ⅰ）证明：1A O ∥平面B 1CD 1;
（Ⅱ）设M 是OD 的中点,证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.
【答案】①证明见解析.②证明见解析.
(II)因为AC BD ⊥,E ，M 分别为AD 和OD 的中点,所以EM BD ⊥, 因为ABCD 为正方形,所以AO BD ⊥, 又1A E ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD 所以1,A E BD ⊥因为11//,B D BD
所以11111,,EM B D A E B D ⊥⊥又1,A E EM ⊂平面1A EM
，
1A E
EM E =.
所以11B D ⊥平面1,A EM 又11B D ⊂平面11B CD ,所以平面1A EM ⊥平面11B CD .
【例2】【2017太原市高三二模】 如图，在多面体111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是正方形，1A CB ∆是正三角形，1AC AB ==， 11//B C BC ，112BC B C =.
（1）求证：1//AB 平面11AC C ； （2）求多面体111ABC A B C -的体积.
（2）在正方形1ABB A 中，1A B =1A BC ∆是等边三角形，所以1AC BC ==所以222
11AC AA A C +=，222AB AC BC +=，
于是1AA AC ⊥，AC AB ⊥，又1AA AB ⊥，∴1AA ⊥平面ABC ，∴1AA CD ⊥， 又CD AD ⊥，1AD
AA A =，∴CD ⊥平面11ADC A ，
于是多面体111ABC A B C -是由直三棱柱111ABD A B C -和四棱锥11C ADC A -组成. 又直三棱柱111ABD A B C -的体积为111(11)1224
⨯⨯⨯⨯=，
四棱锥11C ADC A -的体积为1113226
⨯⨯=， 故多面体111ABC A B C -的体积为
1154612
+=.
【点睛】圆柱与圆锥的组合主要有两种方式：（1）圆柱内有一棱锥，圆柱与圆锥底面重合、圆锥顶点为圆柱底面中点，解答时抓住它们有相同的高和底面即可建立相关关系；（2）圆锥内接一个圆柱，圆柱一底面在圆锥底面上，另一底面在圆锥侧面上，解答时主要作轴截面，通常利用三角形相似等知识来解决．
【跟踪练习】
1.【2016湖南长郡中学一检】如图，在直角三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ====，点D 是AB 的中点．
（1）求证：1AC BC ⊥；
（2）求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值.
（2）连接11,AB AC ，由题意知，点,M N 分别为1AB 和11B C 的中点，1MN
AC ∴．
又MN ⊄平面11,A ACC 1AC ⊂平面11,A ACC MN ∴平面11A ACC ．
2.【2017北京文18】如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．
（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；
（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；
（Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积．
【答案】详见解析
解析：证明：（I ）因为PA AB ⊥，PA BC ⊥，所以PA ⊥平面ABC ，
又因为BD ⊂平面ABC ，所以PA BD ⊥.
（II ）因为AB BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥，
由（I ）知，PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAC ，所以平面BDE ⊥平面PAC .
（III ）因为PA ∥平面BDE ，平面PAC 平面BDE DE =，
所以PA DE ∥.因为D 为AC 的中点，所以112
DE PA ==，BD DC ==由（I ）知，PA ⊥平面PAC ，所以DE ⊥平面PAC . 所以三棱锥E BCD -的体积1163
V BD DC DE =
⋅⋅=. 3.【2018衡水金卷】如图1，平行四边形ABCD 中， AC BC ⊥， 1BC AC ==，现将△DAC 沿AC 折起，得到三棱锥D ABC - (如图2)，且DA BC ⊥，点E 为侧棱DC 的中点.
（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面DBC ；
（Ⅱ）求三棱锥E ABC -的体积；
（Ⅲ）在ACB ∠的角平分线上是否存在点F ，使得DF ∥平面ABE ？若存在，求DF 的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 112
B ACE V -=；（Ⅲ） DF =
解析：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，有AD BC AC ==，
又因为E 为侧棱DC 的中点，所以AE CD ⊥；
又因为AC BC ⊥， AD BC ⊥，且AC AD A ⋂=，所以BC ⊥平面ACD .
又因为AE ⊂平面ACD ，所以AE BC ⊥；
因为BC CD C ⋂=，所以AE ⊥平面BCD ，
又因为AE ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面BCD ．
（Ⅱ）解：因为E ABC B ACE V V --=， BC ⊥平面ACD ，所以BC 是三棱锥的高，
故13
B ACE ACE V B
C S -∆=⨯⨯， 又因为1BC ， AE =
所以111122222ACE S AE CD ∆=
⨯⨯⨯ 所以有 11312
B ACE ACE V B
C S -∆=
⨯⨯. （Ⅲ）解：取AB 中点O ，连接CO 并延长至点F ，使CO OF =，
连接AF ， DF ， BF .因为BC AC =，所以射线CO 是角ACB ∠的角分线.
又因为点E 是的CD 中点，所以OE ∥DF ， 因为OE ⊂平面ABE ， DF ⊄平面ABE ，
所以DF ∥平面ABE . 因为AB 、FC 互相平分， 故四边形ACBF 为平行四边形，有BC ∥AF . 又因为DA BC ⊥，所以有AF AD ⊥，
又因为1AF AD ==，故DF =。