2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(2)学案 新人教A版必修4

1.2.1 任意角的三角函数(二)

学习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域(重点).2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切(重点).3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题(难点)．

知识点1 三角函数的定义域

正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R ；正切函数y ＝tan

x 的定义域是{x |x ∈R 且x ≠k π＋π

2

，k ∈Z }．

【预习评价】

函数y ＝cos x 的定义域为________．

解析 由cos x ≥0得{x |2k π－π2≤x ≤2k π＋π

2，k ∈Z }．

答案 {x |2k π－π2≤x ≤2k π＋π

2，k ∈Z }

知识点2 三角函数线 1．相关概念 (1)单位圆：

以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆． (2)有向线段：

带有方向(规定了起点和终点)的线段．

规定：方向与x 轴或y 轴的正方向一致的为正值，反之为负值． 2．三角函数线

题型一 三角函数线及其作法

【例1】 分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线． (1)π4；(2)2π3；(3)－3π4；(4)11π6．

解 作图，如图所示：

图(1)，(2)，(3)，(4)中的MP ，OM ，AT 分别表示各个角的正弦线、余弦线、正切线． 规律方法 三角函数线的画法

(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．

(2)作正切线时，应从A (1,0)点引x 轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T ，即可得到正切线AT ．

【训练1】 (1)作出－π3的正弦线；(2)作出4π

3的正切线．

解 (1)作出－π

3

的正弦线MP 如图所示．

(2)作出4

3

π的正切线AT 如图所示．

考查

题型二 三角函数线的应用

方向

方向1 利用三角函数线比较大小

【例2-1】 利用三角函数线比较下列各组数的大小： (1)sin 2π3与sin 4π5；(2)tan 2π3与tan 4π5

．

解 如图所示，角2π

3的终边与单位圆的交点为P ，其反向延长线与单位圆的过点A 的

切线的交点为T ，作PM ⊥x 轴，垂足为M ，sin 2π3＝MP ，tan 2π

3

＝AT ；

4π

5

的终边与单位圆的交点为P ′，其反向延长线与单位圆的过点A 的切线的交点为T ′，作P ′M ′⊥x 轴，垂足为M ′，则sin 4π5＝M ′P ′，tan 4π

5

＝AT ′，

由图可见，MP >M ′P ′>0，AT <AT ′<0， 所以(1)sin 2π3>sin 4π5，(2)tan 2π3<tan 4π

5．

方向2 利用三角函数线解不等式

【例2-2】 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：

(1)sin α≥

3

2

；(2)tan α≥－1． 解 (1)作直线y ＝

3

2

交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，如图所示，故满足条件的角α的集合为

⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a |2k π＋π3≤α≤2k π＋2

3π，k ∈Z ．

(2)在单位圆过点A (1,0)的切线上取AT ＝－1，连接OT ，OT 所在直线与单位圆交于P 1，

P 2两点，则图中阴影部分即为角α终边的范围，如图所示，所以α的取值集合是

⎩⎨⎧⎭

⎬⎫α|－π4＋k π≤α<π

2＋k π，k ∈Z ．

规律方法 1.利用三角函数线比较大小的两个注意点 (1)角的终边的位置要找准；

(2)比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向． 2．利用三角函数线解不等式的方法

(1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角α满足条件的终边范围．

(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值．

(3)写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求． 【训练2】 解不等式cos α≤－12

．

解 作直线x ＝－1

2交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中

阴影部分)即为角α终边的范围，如图所示，故满足条件的角α的集合为

⎩⎨⎧⎭

⎬⎫α|2k π＋23π≤α≤2k π＋4

3π，k ∈Z ．

题型三 求三角函数的定义域 【例3】 求下列函数的定义域： (1)f (x )＝sin x ·tan x ； (2)f (x )＝lg sin x ＋9－x 2

． 解 (1)∵要使函数f (x )有意义， ∴sin x ·tan x ≥0，

∴sin x 与tan x 同号或sin x ·tan x ＝0，

故x 是第一、四象限的角或终边在x 轴上的角． ∴函数的定义域为{x |2k π－

π2<x <2k π＋π2

或 x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z }．

(2)由题意，要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪

⎧

sin x >0，9－x 2

≥0.

由sin x >0得2k π<x <2k π＋π(k ∈Z )， ① 由9－x 2

≥0得－3≤x ≤3，

②

由①②得：f (x )的定义域为{x |0＜x ≤3}． 规律方法 求三角函数定义域的方法

(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．

(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以用取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．

【训练3】 求下列函数的定义域： (1)y ＝2cos x －1；(2)y ＝lg(3－4sin 2

x )． 解 (1)∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥1

2．

如图，

∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )． ∴函数的定义域为

⎩⎨⎧⎭

⎬⎫2k π－π3≤x ≤2k π＋π

3 (k ∈Z )．

(2)∵3－4sin 2x >0，∴sin 2

x <34，

∴－

32<sin x <3

2

.如图，