一道高考题的解答探究与推广

２ ０ １ ６ 年 ｌ １ 月
且 满足 条件 ： ／ ’ （ ＆ ＋一 ’ ） 一Ｌ 厂 （ 以 一ｚ ） ， 则 函数
一
．
于点 （
厶
， ） 对 称．
厶
／ 、 （ ） 的图像关 于 直线 ｚ 一以对 称．
推论 １ — ２ 若 函数 一厂（ ｚ） 定 义 域 为 Ｒ， 且 满 足条 件 ： ． ， ’ （ ｚ ） 一＿ 厂 （ ２ ａ －ｘ ） ， 则 函数 Ｙ
解法 １ 要求我们必须熟悉抽象函数的对
称性 ， 事实上 ， 抽 象 函数 的对称 性常 用 的有 如
下结论 ：
定理 ｌ 若 函数 一－ 厂 （ ） 定义域为 Ｒ ， 且满足条件 ： ｆ （ ａ ＋ｚ ） ：厂 （ ６ 一ｚ ） ， 则 函数 Ｙ 一－ 厂 （ ｚ ） 的图像关于直线 ： ＝ ＝ 对称．
一
１
故选 Ｂ ．
Ｙ ｉ ）一 （
） ．
解 法 ２ 构 造 特 殊 函数 法 ． 根 据 抽 象 函
（ Ｃ） ２ ｍ （ Ｄ） ４ ｍ
（ Ａ） ０
（ Ｂ） ｍ
数的对称性 ， 由厂 （ －ｘ ） 一２ 一， （ ｚ ） 可构造函 数Ｌ 厂 （ ） 一 十１ ， 显然满足此条件． 此时 （ ）
１ 一题 多解
本题 条件 中 ＿ 厂 （ － ｚ ） （ ｚ∈ Ｒ） 为 抽 象 函数 ，
且满足 Ｉ 厂 （ ～－ ｚ ） ＝ ＝ ＝ ２ －ｆ （ ｘ ） ， 而题 目要求我们
～
与． ｙ 一等 的交点为（ １ ， ２ ） 和（ 一１ ， ｏ ） ， 所以
上
１
求． ｙ 一厂（ ） 与 一
一－１ ’
＋ｚ —Ｏ ， Ｙ ＋ ＝ ＝ ＝ ２ ， 所 以
∑（ ＋３ ， ） 一∑． ２ Ｅ ＋∑ Ｙ
１ ｌ —ｌ ＝１
—
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若函 数Ｙ 一兰 ＿ 与Ｙ 一厂 （ ｚ ） 图像的交点为
旦
０＋ ２． ｍ — ，
（ Ｘ ｌ ， Ｙ １ ） ， （ ｚ ２ ， ２ ） ， …， （ ｚ ， Ｙ ） ， 则∑ （ ｘ ｌ ＋
（ 如对 称性 、 奇偶 性 、 周 期性 等 ） ． 基本思 路是 ：
且 满足 条 件 ： Ｌ 厂 （ ｎ ＋ ） 一／ ’ （ ６ 一ｚ ） ＝ ＝ ＝ ｃ （ 口 ， ｂ ， ｃ 为常数 ） ， 则 函 数 — Ｌ ／ ． ’ （ ） 的 图 像 关 于 点 （
的关 系 ， 灵活 使 用题 目的 已知 条 件构 造 符 合
相 加除 以 ２ ， 可得 对称 轴方 程． 推论 ｌ 一 ３ 若 函数 Ｙ＝ ＝ ＝ ＿ ／ ’ （ ｚ） 定 义 域 为
题 意 的特殊 函数 ， 从而 寻求解 题途 径 ， 这 就要 求我们 非 常熟悉 常见 的初 等 函数 及其特 点．
一
－
推论 ４ — １ 函数 一＿ ／ ’ （ ＆ ＋ ） 与 函数 —
Ｌ…
ｆ （ ｂ －ｘ ） 图像关 于 点 （
， ｏ ） 对称．
／ ’ （ ） 的 图像 关 于直线 ｚ一以对 称． 总结 ｚ的 系 数 一 个 为 １ ， 一个为 一１ ，
解 法 ２要仔 细观察 分析所 求 与 已知 条件
－ 厂 （ Ｌ ｚ ） 关于（ ０ ， １ ） 对称， 而 一 等 一 １ ＋ － １ － ￣
关于 （ ０ ， １ ） 对称 ， 所 以对 于 每 一 组 对 称 点 ｚ
收稿 日期 ： ２ ０ １ ６ — ０ ６ — １ ２
推论 １ ＿ １ 若 函 数 ＝ ＝ ＝ 厂（ ） 定 义 域 为
Ｒ， 且满足 条件 ： ． ， ’ （ ｎ ＋ ） 一厂 （ 丑 －ｘ ） ， 又若方
程． 厂 （ ｚ ） ＝０有 个 根 ， 则 此 咒个 根 的 和 为
７ ７ ｎ．
另外 ， 本题的两种解法 ， 体现了解决抽象
函数 问题 的两个重 要解 题策 略 ：
１ ） 数形结合法 ， 就是根据抽象函数 的特 定理 ２ 若 函数 Ｙ 一＿ 厂 （ ） 定义域为 Ｒ ， 征画出或想象 出函数 的大致图像 ， 然后根据 函数 图像 的特征 猜想 函数 的相关性 质 的方法
交 点横 坐标 与纵 坐标
∑（ ｚ Ｊ Ｆ ３ ￣ ｉ ） 一∑ ＋∑Ｙ
一
１
ｉ 一１
一１
的和． 那 么我 们 就要 弄清 它 们 交 点 之 间 的关 系， 显然 一兰 这 个 反 比例 型 函数 自身关
于点 （ Ｏ ， １ ） 中心对 称 ， 这 时我 们 就要 由 － 厂 （ ）
—
０＋ ２ ．
一
故选 Ｂ ．
２ 一 题 多 思
（ ｘ ＥＲ ） 的条件 （ －ｘ ） 一２ －ｆ （ ｘ ） 判断其是
否也关 于点 （ Ｏ ， １ ） 中心对 称 ， 这样 就必 须熟悉 抽象 函数 的对 称性 ． 基 于选 择题 的特 点 ， 那 么
不难发 现 ， 解 法 １和解 法 ２的本 质 是 一
样 的， 只是解法 １ 具有一般性 ， 而解法 ２ 具有
特殊性 ．
方向不外乎两个 ： 一是利用两 函数 的对称性 理论求解 ； 二是利用选择题答案 的唯一性可
构造特殊 函数 求解 ． 解 法 ｌ 利 用 函数 的 对 称 性 求 解 ． 根 据 抽象 函数 的对 称性 ， 由厂 （ －ｘ ） 一２ 一－ 厂 （ ） 得
第３ ５卷第 ｌ １ 期
２ ０ １ ６年 ｌ １ 月
数 学教 学研究
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一
道高 考题 的解答 探 究 与推广
侯 有 岐 白丽 萍
（ 陕西省汉中市 ４ ０ ５ 学校 ７ ２ ３ ３ １ ２ ）
题目 （ ２ ０ １ ６年 全 国卷 二 理 科 １ ２ ） 已知 函数 ＿ 厂 （ ） （ ｘＥ Ｒ） 满足 ＿ 厂 （ －ｘ ） 一２ －ｆ （ ｘ ） ，
作者简介 ： 侯有 岐 ， 男， 陕西扶风人 ， 理学学士 ， 中学高级教师 ， 汉 中市高中数学学科带头人 ， 省级骨干教 师 ， 主要从事 高中数
学教学 与研究 工作．
ｇ － ｍａ ｉ ｌ ： ｈ ｚ ｈ ｙ ｑ ４ ０ ５ ＠ｓ ｉ ｎ ａ ． ｃ ｏ ｎ ｒ
数学教学研究
第 ３ ５卷第 １ １ 期