现代设计方法5 优化设计

(2)约束条件与可行域 约束条件：对设计变量取值时的限制条件。
分为：等式约束： hv(X)=0 (v=1,2, …,p) 不等式约束：gu(X)≤0 (u=1,2, …,m)
约束边界所包围的区域是设计空间中满足所有不 等式约束条件的部分，在这个区域中所选择的设计变 量是允许的，称为设计可行域。
由是否满足约束条件将设计点分为可行点(内点)和 非可行点(外点)。
1 2
X

X (1) T
2
f
( X (1) ) X

X (1)

1 2
x1
1
x2
1
12

0
0 x1 1
0

x2
1
6(x1 1)2
❖ 简化的二次函数：
❖ f(X)=3x2−6+6(x1−1)2=6x12−12x1+3x2 ❖ X(1)=[1,1]T代入线性二次函数都等于−3， 与原函数相等。
例：
x2
g3(x) = 0
g2(x)
g2(x) = 0
❖ g1(X)=–x1+x2–2≤0 ❖ g2(X)=x12–x2+1≤0 ❖ g3(X)=–x1≤0
g1(x) = 0
可行域
x1
(3)目标函数与等值域
将所追求的设计目标用设计变量的形式表达出来， 称为建立目标函数。一组设计变量值在设计空间确定 一个设计点，对应这一点有确定的函数值。反之，当 函数为某一定值时，如f (X ) = c,则可有无限多组设计 变量X1, X2, …, Xn值与之对应，即有无限多个设计点时 对应着相同的函数值。因此这些点在设计空间中将组 成一个点集，将此点集称为等值曲面或等值超曲面(若 为二维设计空间则称为等值域)。
M
2 f (X (k))
xnx1
2 f (X (k)) x1x2
2 f (X (k)) x22 M
2 f (X (k)) xnx2
L
2 f (X (k))
x1xn

L
2 f (X (k))
x2xn
M
M

L
2 f (X (k)) xn2

x1

x2

1 1

x1 1

x2
1
❖ 代入得简化的线性函数：
f ( X ) f ( X (1) ) f ( X (1) )T X X (1)
3 0
3
x1 1

x2
1
3x2 6
二次项：
❖(c)齿轮副满足接触疲劳强度要求；
❖(d)齿宽系数要求；
❖(e)最小齿数要求。
例 问题的数学表达
❖ 设计变量： x = [m z b]T
❖ 设计目标：min W=rpb[(mz)2+(miz)2]/4
❖ 约束条件： g1(x)=sF1–[s]F1≤0
❖
g2(x)=sF2– [s]F2≤0
❖
g3(x)=sH – [s]H1≤0
f (X ) [ f x1
f x2
K
f xn
]T X


0
❖ 即在极值点处函数的梯度为n维零向量。
❖ 为了判断从上述必要条件求得的 X*是否是极值点，需建立极
值的充分条件。
❖ 根据函数在 X*点处的泰勒展开式，考虑上述极值必
要条件，可得相应的充分条件。
X*处取得极值充分条件
2 f (X *)
5.2.3.二次函数：
❖ 形式：f (X ) = X T H X / 2 + B X + C ❖ H—22阶常数矩阵 ❖ C—常数向量 ❖ XTHX称为二次型，H称二次型矩阵，相当于
函数的二阶导数矩阵。
矩阵的正定负定分类：
❖ 对于非零向量X： 若 XTHX >0 H 正定
XTHX≥0 H 半正定 XTHX<0 H 负定 XTHX≤0 H 半负定 XTHX=0 H 不定 ❖ 若H是正定的，f(X)称正定二次函数。
❖ 函数的二阶偏导值对于变量的偏导次序无关，
是一nn阶实对称矩阵。取其前二项，可得函
数的泰勒线性近似式：
❖ f(X)≈f(X(k))+[f(X(k))]T[X−X(k)]
例：用泰勒展开将函数f(X)=x13−x23+3x12+3x22−9x1在点 X(1)=[1，1]T 简化成线性函数和二次函数。
❖对应目标函数：
f(X(0)) > f(X(1)) > … > f(X(k)) > f(X(k+1))… (下降)
且 lim X(k)= X*(目标函数极小点)[满足此条件的下 降迭代算法具有收敛性]，称点列收敛于极小点X*。
x2
g3(x)
g2(x)
4
g1(x)
3
2
X* = [0.58, 1.34]T
1
f (X ) = 1
图解法
❖min f (X )=x12+x22– 4x1+4
❖ s.t. g1(X) = –x1+x2–2≤0
❖
g2(X) = x12–x2+1≤0
❖
g3(X) = –x1≤0
0 1 2 34 5 6
x1
5.1.3 优化问题的图解法
❖ 简单二维问题，在平面内作出约束可行域，画出目标函数的 等值域，找出最优点。
❖ 步骤： 确定设计空间→约束可行域→目标函数等值线→最优点
❖ 例： min f(X)=x12+x22–4x1+4 s.t. g1(X) = –x1+x2–2≤0 g2(X) = x12–x2+1≤0 g3(X) = –x1≤0
函数的梯度f具有如下几个性质：
❖ (3)负梯度向量−f (X(k))是函数在X(k)点的最 速下降方向。
❖ 例：求二元函数f (x1, x2)= x12+x22−4x1+2x2+5 在 X0=[2，2]T处的梯度及梯度的模。
5.2.2 多元函数的泰勒展开(函数的近似表达式)
f ( X ) f ( X (k) ) [f ( X (k) )]T [ X X (k) )] 1 [ X X (k) )]T 2 f ( X (k) )[ X X (k) )] 2
f (X ) = 9
f (X ) = 16
5.2 优化方法的数学基础
5.2.1 梯度(求解出数的最速下降方向)
❖定义下列向量：
f
(
X
(k
)
)


f
(X (k) x1
)
,
f
(X (k x2
)
)
,...,
f
(X (k xn
)
)
T
为函数f(X)在X(k)点的梯度，简记为f，也 可记作grad f(X(k))。
❖
g4(x)=b – 1.2mz≤0
❖
g5(x)=17 – z≤0
建立优化设计问题的数学模型步骤
❖ 1)根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等， 对优化对象进行分析。必要时，需要对传统设计中的公 式进行改进，并尽可以反映该专业范围内的现代技术进 步的成果。
❖ 2)对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、设 计常数和设计变量
❖ 3)根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条 件，有时要构造多目标函数
❖ 4)必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由 于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响
5.1.1. 数学模型的一般形式：
优化设计的数学模型由设计变量、目标函数和 约束条件三部分组成。统一形式：
求变量： 使极小化函数：
❖ 解：f (X(1)) = −3
f
(X
(1) )

3x31x2 22
6
x1 6x2
9
1

0 3
1
2 f ( X (1) )
6x1 6 0

0
6x2 61

12

0
0 0
1
X

X (1)

x12
2 f (X *)
2
f
(
X
*
)


x2x1

M
2 f (X *)
xnx1
2 f (X *) x1x2
2 f (X *) x22 M
2 f (X *) xnx2
L
2 f (X *)
x1xn

L
2 f (X *)
x2xn

正定
M
M

L
2 f (X *) xn2
❖ 即要求H(X*)各阶主子式均大于零。
5.2.4 下降迭代法：
(1)概念： ❖对于多变量、多约束非线性优化问题，采用数值迭 代法；对于极小化问题，采用下降迭代法。初始X(0) 产生点列：
X(0), X(1), X(2)…, X(k), X(k+1)…
x1, x2, …, xn f (x1, x2,…, xn)
满足约束条件：gu(x1, x2, …, xn)≤0 (u=1,2, …,m)
……不等式约束条件
hv(x1, x2, …, xn)=0 (v=1,2, … ,p) ……等式约束条件
❖ 设计变量可用向量表示：
❖
X=[ x1, x2, …, xn]T
5.1.2. 优化设计的基本要素：
(1) 设计变量与设计空间 ❖ 选择与目标函数、约束函数密切相关，能
表达设计对象特征的独立参数和尺寸。 ❖ n个设计变量x1, x2, …, xn，相互独立，形成
向量X=[x1, x2, …, xn]T的全体集合构成一个n 维实欧氏空间，称设计空间xn，n称为设计 空间的维数。n=2时设计空间为二维平面。
例:直齿圆柱齿轮副的优化设计
❖ 已知：传动比i, 转速n, 传动功率P，大小齿轮的材料，设计该 齿轮副，使其重量最轻。
❖ 分析：(1) 圆柱齿轮的体积(V)与重量(W)的表达；
❖
(2)设计参数确定：模数(m)，齿宽(b)，齿数(z)。
❖
(3)设计约束条件：
❖(a)大齿轮满足弯曲强度要求；
❖(b)小齿轮满足弯曲强度要求；
❖下面举例说明： 用薄钢板制造一体积为5m3，长度不小于
4m不带上盖的货箱，要求该货箱的钢板耗费量 最小，试确定货箱的长X1，宽X2，高X3。
wenku.baidu.comX3
X1
X2
❖ 解：钢板的耗费量与货箱的表面积成正比，优化设计的目标是 钢板的耗费量最少，即货箱的表面积S最小，不带盖的货箱表面积
❖ S=X1*X2+2(X2*X3+X1*X3) ❖ S是X1、X2和X3的函数，称为目标函数。 ❖ 参数X1、X2和X3称为设计变量。 ❖ 优化设计就是恰当地选择这些参数(设计变量)，使货箱表面积 S(目标函数)达到最小。 ❖ 选择这些参数受到货箱体积和长、宽、高限制： ❖ X1*X2*X3=5， X1≥4,X2≥ 0,X3≥ 0 ❖ 以上限制设计变量X1,X2,X3的表达式，称为约束条件。
优化设计
第五章 优 化 设 计
传统机械设计中，存在选优的思想，受时间、 条件的限制，计算机应用前用数学极小化处理 简单问题。随着1946年第一台计算机问世，传 统设计转化为优化设计方法。优化设计是以数 学规划理论为基础，以计算机为工具优选设计 参数的一种现代设计方法。
5.1 优 化 设 计 的 数 学 模 型
❖ f(X) 的泰勒二阶近式。 ❖ 其中2f(X(k))是由函数在点X(k)的所有二阶偏 导组成的矩阵，称为函数f(X)在点X(k)的二阶导 数矩阵或Hessian矩阵[H(X(k))]。

2 f (X (k))

x12
2 f (X (k))
2
f
(
X
(k)
)


x2x1

函数的梯度f具有如下几个性质：
❖(1)函数在一点的梯度是对设计变量Xi(i=1, 2,…, n)一阶偏导组成的列向量。表示函数在X(k)点的 最陡上升方向，是函数的一种局部性质。反映 X(k)邻近函数的性质，梯度大小是其模长。 ❖(2)梯度向量f (X(k))与过X(k)点的等值线(或等 值面)的切线是正交的。
❖
X∈Rn 向量X属于n维实欧氏空间
❖ s.t. (subject to)表示 “满足于” 。
❖ 优化设计的数学模型可表达为如下的标准形式：
min f (X ) X∈Rn
s.t. gu(X )≤0 (u=1,2, …,m) hv(X ) = 0 (v=1,2, …,p)
▲说明：
❖ 求极大时将目标函数写为−f(X)即可。同样， 当不等式约束条件中的不等号为“≥0”时，只要 将不等式两端同时乘以“−1”，即可得到上述标 准形式。 ❖ 最优化问题也称数学规划问题，若目标函数 和约束函数均为设计变量的线性函数时，称此 设计问题为线性优化问题或线性规划问题。
❖ 判定矩阵正定或负定的方法一般是检验矩阵H的各主 子式的行列式之值，若各阶主子式值均大于0，则正 定；若各阶主子式值呈负正交替变化，则负定。
❖ 例：
H
(
x*
)

2 0
0 2
❖ 2>0
20 0
02
❖ 各阶主子式大于0是正定矩阵。
无约束优化问题的极值条件
❖ 在 X*处取得极值，其必要条件是: