八年级上册数学 全等三角形单元测试卷(含答案解析)

八年级上册数学全等三角形单元测试卷（含答案解析）
一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为______cm．
-
【答案】10310
【解析】
解：连接BD，在菱形ABCD中，
∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，分三种情况讨论：
①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10；
②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP
-；
最小，最小值为10310
③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；
-（cm）．
综上所述，PA的最小值为10310
-．
故答案为：10310
点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
∆的边长为8，E是中线AD上一点，以CE为一边在CE下方作2．如图，已知等边ABC
等边CEF
∆，连接BF并延长至点,N M为BN上一点，且5
CM CN
==，则MN的长为_________．
【答案】6
【解析】
【分析】
作CG⊥MN于G，证△ACE≌△BCF，求出∠CBF=∠CAE=30°，则可以得出
1
2
4
CG BC
==，在Rt△CMG中，由勾股定理求出MG，即可得到MN的长．
【详解】
解：如图示：作CG⊥MN于G，
∵△ABC和△CEF是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CF，∠ACB=∠ECF=60°，
∴∠ACB-∠BCE=∠ECF-∠BCE，
即∠ACE=∠BCF，
在△ACE与△BCF中
AC BC
ACE BCF
CE CF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△ACE≌△BCF（SAS），
又∵AD是三角形△ABC的中线
∴∠CBF=∠CAE=30°，
∴
1
2
4
CG BC
==，
在Rt△CMG中，2222
543
MG CM CG
=-=-，
∴MN=2MG=6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ACF≌△BCF．
3．如图，△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ，则△ADE 的周长为_____．
【答案】14．
【解析】
【分析】
先根据角平分线的定义及平行线的性质得BD ＝DF ，CE ＝EF ，则△ADE 的周长＝AB +AC ＝14．
【详解】
∵BF 平分∠ABC ，
∴∠DBF ＝∠CBF ，
∵DE ∥BC ，
∴∠CBF ＝∠DFB ，
∴∠DBF ＝∠DFB ，
∴BD ＝DF ，
同理FE ＝EC ，
∴△AED 的周长＝AD +AE +ED ＝AB +AC ＝8+6＝14．
故答案为：14．
【点睛】
此题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的等角对等边的性质.
4．如图，在△ABC 中，AB 的中垂线交BC 于D ，AC 的中垂线交BC 于E ，若∠BAC=126°，则∠EAD=_____°.
【答案】72°
【解析】
【分析】
根据AB 的中垂线可得BAD ∠，再根据AC 的中垂线可得EAC ∠，再结合∠BAC=126°即可计
算出∠EAD .
【详解】
根据AB 的中垂线可得BAD ∠=B
根据AC 的中垂线可得EAC ∠=C ∠
18012654B C ︒︒︒∠+∠=-=
又 126BAD DAE EAC BAC ︒∠+∠+∠=∠=
+C+126B DAE ︒∴∠∠∠=
72DAE ︒∴∠=
【点睛】
本题主要考查中垂线的性质，重点在于等量替换表示角度.
5．如图，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D 下列结论：①EF BE CF =+；
②点O 到ABC ∆各边的距离相等；③1902
BOC A ∠=+∠；④设OD m =，AE AF n +=，则AEF S mn ∆=；⑤1()2
AD AB AC BC =+-.其中正确的结论是.__________．
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】
由在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③∠BOC =90°+12
∠A 正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO 和△CFO 是等腰三角形得出EF =BE +CF 故①正确；由角平分线的性质得出点O 到△ABC 各边的距离相等，故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得④设OD =m ，AE +AF =n ，则S △AEF =12
mn ，故④错误，根据HL 证明△AMO ≌△ADO 得到
AM =AD ，同理可证BM =BN ，CD =CN ，变形即可得到⑤正确．
【详解】
∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC =
12∠ABC ，∠OCB =12∠ACB ，∠A +∠ABC +∠ACB =180°，∴∠OBC +∠OCB =90°﹣12
∠A ，∴∠BOC =180°﹣（∠OBC +∠OCB ）=90°+12
∠A ；故③正确； ∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC =∠OBE ，∠OCB =∠OCF ． ∵EF ∥BC ，∴∠OBC =∠EOB ，∠OCB =∠FOC ，∴∠EOB =∠OBE ，∠FOC =∠OCF ，∴BE =OE ，CF =OF ，∴EF =OE +OF =BE +CF ，故①正确；
过点O 作OM ⊥AB 于M ，作ON ⊥BC 于N ，连接OA ．
∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴ON =OD =OM =m ，
∴S △AEF =S △AOE +S △AOF =12AE •OM +12AF •OD =12OD •（AE +AF ）=12
mn ；故④错误； ∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴点O 到△ABC 各边的距离相等，故②正确；
∵AO =AO ，MO =DO ，∴△AMO ≌△ADO （HL ），∴AM =AD ；
同理可证：BM =BN ，CD =CN ．
∵AM +BM =AB ，AD +CD =AC ，BN +CN =BC ，∴AD =
12
（AB +AC ﹣BC ）故⑤正确． 故答案为：①②③⑤．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
6．如图，在直角坐标系中，点()8,8B -，点()2,0C -，若动点P 从坐标原点出发，沿y 轴正方向匀速运动，运动速度为1/cm s ，设点P 运动时间为t 秒，当BCP ∆是以BC 为腰的等腰三角形时，直接写出t 的所有值__________________．
【答案】2秒或46秒或14秒
【解析】
【分析】
分两种情况：PC为腰或BP为腰.分别作出符合条件的图形，计算出OP的长度，即可求出t的值．
【详解】
解：如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D，作BE⊥y轴于点E，分别以点B和点C为圆心，以BC长为半径画弧交y轴正半轴于点F，点H和点G
∵点B（-8，8），点C（-2，0），
∴DC=6cm，BD=8cm，由勾股定理得：BC=10cm
∴在直角三角形COG中，OC=2cm，CG=BC=10cm，
∴22
-=，
10246(cm)
当点P运动到点F或点H时，BE=8cm，BH=BF=10cm，
∴EF=EH=6cm
∴OP=OF=8-6=2（cm）或OP=OH=8+6=14（cm），
故答案为：2秒，6秒或14秒．
【点睛】
本题综合考查了勾股定理和等腰三角形在平面直角坐标系中的应用，通过作图找出要求的点的位置，利用勾股定理来求解是本题的关键．
7．如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当AP＝CQ时，PQ交AC于D，则DE的长为______．
【答案】1 2
【解析】
过点Q作AD的延长线的垂线于点F.
因为△ABC是等边三角形，所以∠A=∠ACB=60°.
因为∠ACB=∠QCF，所以∠QCF=60°.
因为PE⊥AC，QF⊥AC，所以∠AEP=∠CFQ=90°，
又因为AP=CQ，所以△AEP≌△CFQ，所以AE=CF，PE=QC.同理可证，△DEP≌△DFQ，所以DE=DF.
所以AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，所以DE=1
2
AC=
1
2
.
故答案为1 2 .
8．如图，在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线DE交AC于点D．已知△BDC的周长为14，BC=6，则AB=___．
【答案】8
【解析】
试题分析：根据线段垂直平分线的性质，可知AD=BD，然后根据△BDC的周长为
BC+CD+BD=14，可得AC+BC=14，再由BC=6可得AC=8，即AB=8.
故答案为8.
点睛：此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，解题时，先利用线段的垂直平分线求出BD=AD，然后根据三角形的周长互相代换，即可其解.
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为_________
【答案】8 5
【解析】
【分析】
首先根据折叠可得CD=AC=6，B′C=BC=8，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF=4.8，由勾股定理求出AE，得出BF 的长，即B′F的长．
【详解】
解：根据折叠的性质可知：DE=AE，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，B′F=BF，
∴B′D=8-6=2，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF=CE，∠EFC=45°，
∴∠BFC=∠B′FC=135°，
∴∠B′FE=90°，
∵S△ABC=1
2
AC•BC=
1
2
AB•CE，
∴AC•BC=AB•CE，
∵根据勾股定理得：22226810AB
AC BC ∴ 4.8AC BC CE AB
⋅== ∴EF=4.8，22 3.6AE AC EC =-=
∴B′F=BF=AB -AE-EF=10-3.6-4.8=1.6=8
5，
故答案是：85
.
【点睛】
此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由直角三角形的性质和勾股定理求出CE 、AE 是解决问题的关键．
10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，AD ＝8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC +PQ 的最小值是_____．
【答案】9.6．
【解析】
【分析】
由等腰三角形的三线合一可得出AD 垂直平分BC ，过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，BQ 交AD 于点P ，则此时PC +PQ 取最小值，最小值为BQ 的长．在△ABC 中，利用面积法可求出BQ 的长度，此题得解．
【详解】
∵AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD 垂直平分BC ，∴BP ＝CP ．
过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，BQ 交AD 于点P ，则此时PC +PQ 取最小值，最小值为BQ 的长，如图所示．
∵S △ABC 12=
BC •AD 12=AC •BQ ，∴BQ 12810
BC AD AC ⋅⨯===9.6． 故答案为：9.6．
【点睛】
本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出PC+PQ的最小值为BQ是解题的关键．
二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）
11．如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是（）
A．32°B．64°C．65°D．70°
【答案】B
【解析】
【分析】
此题涉及的知识点是三角形的翻折问题，根据翻折后的图形相等关系，利用三角形全等的性质得到角的关系，然后利用等量代换思想就可以得到答案
【详解】
如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置
∠B=∠D=32° ∠BEH=∠DEH
∠1=180︒-∠BEH -∠DEH=180︒-2∠DEH
∠2=180︒-∠D -∠DEH -∠EHF
=180︒-∠B -∠DEH -(∠B+∠BEH)
=180︒-∠B -∠DEH -（∠B+∠DEH）
=180︒-32°-∠DEH -32°-∠DEH
=180︒-64°-2∠DEH
∴∠1-∠2=180︒-2∠DEH -(180︒-64°-2∠DEH)
=180︒-2∠DEH -180︒+64°+2∠DEH
=64°
故选B
【点睛】
此题重点考察学生对图形翻折问题的实际应用能力，等量代换是解本题的关键
12．已知40MON ∠=︒，P 为MON ∠内一定点，OM 上有一点A ，ON 上有一点B ，当PAB ∆的周长取最小值时，APB ∠的度数是( )
A ．40︒
B ．50︒
C ．100︒
D ．140︒
【答案】C
【解析】
【分析】 设点P 关于OM 、ON 对称点分别为P '、P ''，当点A 、B 在P P '''上时，PAB ∆周长为PA AB BP P P ++='''，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出APB ∠的度数．
【详解】
分别作点P 关于OM 、ON 的对称点P '、P ''，连接OP '、OP ''、P P '''，P P '''交OM 、ON 于点A 、B ，连接PA 、PB ，此时PAB ∆周长的最小值等于P P '''．
由轴对称性质可得，OP OP OP '=''=，P OA POA ∠'=∠，P OB POB ∠''=∠，
224080P OP MON ∴∠'''=∠=⨯︒=︒，
(18080)250OP P OP P ∴∠'''=∠'''=︒-︒÷=︒，
又50BPO OP B ∠=∠''=︒，50APO AP O ∠=∠'=︒，
100APB APO BPO ∴∠=∠+∠=︒．
故选：C ．
【点睛】
此题考查轴对称作图，最短路径问题，将三角形周长最小转化为最短路径问题，根据轴对称作图是解题的关键.
13．如图，AOB α∠=，点P 是AOB ∠内的一定点，点,M N 分别在OA OB 、上移动，当PMN ∆的周长最小时，MPN ∠的值为（ ）
A ．90α+
B ．1902α+
C ．180α-
D ．1802α-
【答案】D
【解析】
【分析】 过P 点作角的两边的对称点，在连接两个对称点，此时线段与角两边的交点，构成的三角形周长最小.再根据角的关系求解.
【详解】
解：
过P 点作OB 的对称点1P ，过P 作OA 的对称点2P ,连接12PP ，交点为M,N ，则此时PMN 的周长最小，且△1P NP 和△2PMP 为等腰三角形.
此时∠12P PP =180°-α；设∠NPM=x°，则180°-x°=2（∠12P PP -x°
） 所以 x°
=180°-2α 【点睛】
求出M,N 在什么位子△PMN 周长最小是解此题的关键.
14．如图，60AOB ∠=，OC 平分AOB ∠，如果射线OA 上的点E 满足OCE ∆是等腰三角形，那么OEC ∠的度数不可能为（ ）
A ．120°
B ．75°
C ．60°
D ．30°
【答案】C
【解析】
【分析】 分别以每个点为顶角的顶点，根据等腰三角形的定义确定∠OEC 是度数即可得到答案.
【详解】
∵60AOB ∠=，OC 平分AOB ∠，
∠AOC=30︒，
当OC=CE 时，∠OEC=∠AOC=30︒，
当OE=CE 时，∠OEC=180OCE COE ∠∠︒--=120︒，
当OC=OE 时，∠OEC=12
（180COE ∠︒- ）=75︒， ∴∠OEC 的度数不能是60°，
故选：C.
【点睛】
此题考查等腰三角形的定义，角平分线的定义，根据题意正确画出符合题意的图形是解题的关键.
15．如图，在四边形ABCD 中，AB AC =，60ABD ∠=，75ADB ∠=，
30BDC ∠=，则DBC ∠=（
）°
A ．15
B ．18
C ．20
D ．25
【答案】A
【解析】
【分析】 延长BD 到M 使得DM =DC ，由△ADM ≌△ADC ，得AM =AC =AB ，得△AMB 是等边三角形，得∠ACD =∠M =60°，再求出∠BAO 即可解决问题.
【详解】
如图，延长BD 到M 使得DM =DC.
∵∠ADB =75°，
∴∠ADM =180°﹣∠ADB =105°.
∵∠ADB =75°，∠BDC =30°，
∴∠ADC =∠ADB +∠BDC =105°，
∴∠ADM =∠ADC.
在△ADM 和△ADC 中，
∵AD AD ADM ADC DM DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADM ≌△ADC ，
∴AM =AC.
∵AC =AB ，
∴AM =AC =AB ，∠ABC =∠ACB.
∵∠ABD =60°，
∴△AMB是等边三角形，
∴∠M=∠DCA=60°.
∵∠DOC=∠AOB，∠DCO=∠ABO=60°，
∴∠BAO=∠ODC=30°.
∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，
∴30°+2(60°+∠CBD)=180°，
∴∠CBD=15°.
故选：A.
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是添加辅助线构造全等三角形，题目有一定难度.
16．如图，△ABC是等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，则下列结论：①AP⊥BC；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP.正确的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC，根据等腰三角形“三线合一”的性质判断出①正确；根据HL证明Rt△APR≌Rt△APS，即可判断②正确；根据等边对等角的性质可得∠APQ=∠PAQ，根据三角形外角的性质得到然后得到
∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行可得QP∥AB，从而判断出③正确，④由③易证△QPC是等边三角形，得到PQ=PC，等量代换得到BP=PQ，用HL证明Rt△BRP≌Rt△QSP，即可得到④正确．
【详解】
∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，∴P在∠A的平分线上．
∵AB =AC ，∴AP ⊥BC ，故①正确；
∵PA =PA ，PR =PS ，∴Rt △APR ≌Rt △APS ，∴AS =AR ，故②正确；
∵AQ =PQ ，∴∠APQ =∠PAQ ，∴∠PQC =2∠PAC =60°=∠BAC ，∴PQ ∥AR ，故③正确； 由③得：△PQC 是等边三角形，∴△PQS ≌△PCS ，∴PQ =PC ．
又∵AB =AC ，AP ⊥BC ，∴BP =PC ，∴BP =PQ ．
∵PR =PS ，∴Rt △BRP ≌Rt △QSP ，故④也正确．
∵①②③④都正确．
故选D ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．
17．如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=6,∠BAC=120°，点P 、Q 分别是线段BC 、射线BA 上一点，则CQ+PQ 的最小值为（ ）
A ．6
B ．7.5
C ．9
D ．12
【答案】C
【解析】
【分析】 通过作点C 关于直线AB 的对称点，利用点到直线的距离垂线段最短，即可求解.
【详解】
解：如图，作点C 关于直线AB 的对称点1C ，1CC 交射线BA 于
H ，过点1C 作BC 的垂线，垂足为P ，与AB 交于点Q ，CQ+PQ 的长即为1PC 的长.
∵AB=AC=6,∠BAC=120°，
∴∠ABC=30°，
易得BC=3
在Rt △BHC 中，∠ABC=30°，
∴HC=33，∠BCH=60°，
∴163CC =，
在1Rt △PCC 中，1PCC ∠=60°，
∴19PC =
∴CQ+PQ 的最小值为9，
故选：C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及利用对称点求最小值的问题，认真审题作出辅助线是解题的关键.
18．如图，ABC △是等边三角形，ABD △是等腰直角三角形，∠BAD =90°，AE ⊥BD 于点E ．连CD 分别交AE ，AB 于点F ，G ，过点A 做AH ⊥CD 交BD 于点H ，则下列结论：
①∠ADC =15°；②AF =AG ；③AH =DF ；④△ADF ≌△BAH ；⑤DF =2EH .其中正确结论的个数为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
【答案】B
【解析】
【分析】 ①根据△ABC 为等边三角形，△ABD 为等腰直角三角形，可以得出各角的度数以及DA=AC ，即可作出判断；②分别求出∠AFG 和∠AGD 的度数，即可作出判断；④根据三角形内角和定理求出∠HAB 的度数，求证EHG DFA ∠=∠，利用AAS 即可证出两个三角形全等；③根据④证出的全等即可作出判断；⑤证明∠EAH=30°，即可得到AH=2EH ，又由③可知AH DF =，即可作出判断.
【详解】
①正确：∵ABC △是等边三角形，
∴60BAC ︒∠=，∴CA AB =．
∵ABD △是等腰直角三角形，∴DA AB =．
又∵90BAD ︒∠=，∴150CAD BAD BAC ︒∠=∠+∠=，
∴DA CA =，∴()
1180150152ADC ACD ︒︒︒∠=∠=
-=； ②错误：∵∠EDF=∠ADB-∠ADC=30°
∴∠DFE=90°-∠EDF=90°-30°=60°=∠AFG
∵∠AGD=90°-∠ADG=90°-15°=75°
∠AFG≠∠AGD
∴AF≠AG
③，④正确，由题意可得45
DAF ABH︒
∠=∠=，DA AB
=，
∵AE BD
⊥，AH CD
⊥．∴180
EHG EFG︒
∠+∠=．
又∵180?
DFA EFG
∠+∠=，∴EHG DFA
∠=∠，
在DAF
△和ABH中
()
AFD BHA
DAF ABH AAS
DA AB
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴DAF
△≌ABH．∴DF AH
=．
⑤正确：∵150
CAD︒
∠=，AH CD
⊥，
∴75
DAH︒
∠=，又∵45
DAF︒
∠=，∴754530
EAH︒︒︒
∠=-=
又∵AE DB
⊥，∴2
AH EH
=，又∵=
AH DF，∴2
DF EH
=
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，综合性较强，属于较难题目.
19．已知等边△ABC中，在射线BA上有一点D，连接CD，并以CD为边向上作等边△CDE，连接BE和AE，试判断下列结论：①AE=BD；②AE与AB所夹锐夹角为60°；③当D在线段AB或BA延长线上时，总有∠BDE-∠AED=2∠BDC；④∠BCD=90°时，CE2+AD2=AC2+DE2，正确的序号有（）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
由∠BCD=∠ACD+60°，∠ACE=∠ACD+60°可得∠BCD=∠ACE，利用SAS可证明
△BCD≌△ACE，可得AE=BD，①正确；∠CBD=∠CAE=60°，进而可得∠EAD=60°，②正确，当∠BCD=90°时，可得∠ACD=∠ADC=30°，可得AD=AC，即可得CE2+AD2=AC2+DE2，④正确；当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，根据△BCD≌△ACE可得∠AEC=∠BDC，进而可得∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，即可证明∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED，即∠BDE-∠AED=2∠BDC，当点D在AB上时可证明∠BDE-∠AED=120°，③错误，综上即可
得答案.
【详解】
∵∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
又∵AC=BC，CE=CD，
∴△BCD≌△ACE，
∴AE=BD，∠CBA=∠CAE=60°，∠AEC=∠BDC，①正确，
∴∠BAE=120°，
∴∠EAD=60°，②正确，
∵∠BCD=90°，∠BCA=60°，
∴∠ACD=∠ADC=30°，
∴AC=AD，
∵CE=DE，
∴CE2+AD2=AC2+DE2，④正确，
当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，
∵∠AEC=∠BDC，
∴∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，
∴∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED
∴∠BDE-∠AED=2∠BDC，
如图，当点D在AB上时，
∵△BCD≌△∠ACE，
∴∠CAE=∠CBD=60°，
∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=120°，
∴∠BDE-∠AED=∠DAE=120°，③错误
故正确的结论有①②④，
故选C.
【点睛】
此题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握
20．如图，ABC △中，60BAC ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线交于E ，D 是AE 延长线上一点，且120BDC ∠=︒．下列结论：
①120BEC ∠=︒；②DB DE =；③2BDE BCE ∠=∠．其中所有正确结论的序号有（ ）．
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
【答案】D
【解析】 分析：根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB ，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB ，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D 作DF ⊥AB 于F ，DG ⊥AC 的延长线于G ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG ，再求出
∠BDF=∠CDG ，然后利用“角边角”证明△BDF 和△CDG 全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD ，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB ，根据等角对等边可得BD=DE ，判断②正确，再求出B ，C ，E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE ，判断③正确．
详解：∵60BAC ∠=︒，
∴18060120ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒，
∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，
∴12EBC ABC ∠=∠，12
ECB ACB ∠=∠， ∴11()1206022
EBC ECB ABC ACB ∠+∠=
∠+∠=⨯︒=︒， ∴180()18060120BEC EBC ECB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒， 故①正确．
如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，DG AC ⊥的延长线于G ，
∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，
∴AD 为BAC ∠的平分线，
∴DF DG =，
∴36090260120FDG ∠=︒-︒⨯-︒=︒，
又∵120BDC ∠=︒，
∴120BDF CDF ∠+∠=︒，120CDG CDF ∠+∠=︒．
∴BDF CDG ∠=∠， ∵在BDF 和CDG △中，
90BFD CGD DF DG
BDF CDG ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴BDF ≌()CDG ASA ，
∴DB CD =，
∴1(180120)302
DBC ∠=︒-︒=︒， ∴30DBC DBC CBE CBE ∠=∠+∠=︒+∠，
∵BE 平分ABC ∠，AE 平分BAC ∠，
∴ABE CBE ∠=∠，1302
BAE BAC ∠=
∠=︒， 根据三角形的外角性质， 30DEB ABE BAE ABE ∠=∠+∠=∠+︒，
∴DEB DBE ∠=∠，
∴DB DE =，故②正确．
∵DB DE DC ==，
∴B 、C 、E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，
∴2BDE BCE ∠=∠，故③正确，
综上所述，正确结论有①②③，
故选：D ．
点睛：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，圆内接四边形的判定，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质，综合性较强，难度较大，特
别是③的证明．。