两角和与差的正弦、余弦和正切公式--知识点与题型归纳

●高考明方向
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2.能利用两角差的余弦公式
推导出两角差的正弦、正切公式．
3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，
了解它们的内在联系.
★备考知考情
1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
进行化简、求值是高考考查的热点．
2.常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结合
命题．
3.题型以选择题、填空题为主，属中低档题.
一、知识梳理《名师一号》P52
知识点
1、（补充）两角差的余弦公式的推导
利用向量的数量积推导----必修4 课本P125
2、（补充）公式之间的关系及导出过程
3、和、差、倍角公式《名师一号》P52
注意：
《名师一号》P53 问题探究 问题1
两角和与差的正切公式对任意角α，β都成立吗？
其适用条件是什么？
在公式T (α＋β)与T (α－β)中，α，β，α±β都不等于k π＋π2
(k ∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；
若α，β中有一角是k π＋π2
(k ∈Z)，可利用诱导公式化简．
小结：
一、公式的逆用与变形运用
《名师一号》P53知识点二2
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
(2)cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2
； (3)1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin2α＝(sin α－cos α)2；
(4)sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α±π4.
二、三角恒等变换须关注以下三方面
《名师一号》P53 问题探究 问题2
(补充)
1、角：
角的变换：注意拆角、拼角技巧
如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，(α＋β)＋(α－β)＝2α，
β＝α＋β2－α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2＋β，75°＝45°＋30°等
注意倍角的相对性：
如α是2α的二倍角等； 3α是2
3α的二倍角等；
2、函数名：
异名化同名---正余互化，切化弦，弦化切
正余互化（利用诱导公式、平方关系）
切化弦，弦化切（利用sin tan cos ααα
=、 α
ααααcos 1sin sin cos 12tan +=-=）等； 3、式子结构：
（1）1的变换
（注意145tan =︒，22sin cos 1+=αα）、
（2）幂的变换
（升幂角减半221cos 22cos ,1cos 22sin αααα+=-=；
降幂角加倍221cos 21cos 2cos ,sin 22
αααα+-==）、 （3）合一变换（)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a ）
-----《名师一号》P53 知识点三
要时时关注角的范围的讨论！
二、例题分析：
（一）公式的直接应用
例1．（1）《名师一号》P53 对点自测1、2、3、4
cos33°cos87°＋sin33°cos177°的值为( )
A.12 B ．－12 C.32 D ．－32
解析 cos33°cos87°＋sin33°cos177°
＝cos33°sin3°－sin33°cos3°＝sin(3°－33°)
＝－sin30°＝－12
. 2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋π4 ＝( )
A ．－7210 B.7210 C ．－210 D.210
解析 由于α是第三象限角且cos α＝－45
， ∴sin α＝－35
. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4
＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－45＝－7210
.
3.若sin α2＝33
，则cos α＝( ) A ．－23 B ．－13 C.13 D.23
解析 因为sin α2＝33
， 所以cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝13.
4．化简：11＋tan α－11－tan α
＝________.
解析 原式＝－2tan α(1＋tan α)(1－tan α)
＝－2tan α1－tan 2α
＝－tan2α.
例1．（2）(补充)
计算cos15sin15cos15sin15︒︒
︒︒
-+
答案: 33
例2．《名师一号》P53 高频考点 例1（2）
（2）(2014·新课标全国卷Ⅰ)设α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2， β∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2 B ．3α＋β＝π2
C ．2α－β＝π2
D ．2α＋β＝π2
解析：(2)由已知，得
sin αcos α＝1＋sin βcos β
， ∴sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，
∴sin αcos β－cos αsin β＝cos α.
∴sin(α－β)＝cos α.
∴sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－α. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2. ∴－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2
. ∴α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2
.故选C.
练习1：3－sin70°2－cos 210°
＝( ) A.12 B.22 C ．2 D.32
分析：观察角可以发现70°与20°互余，20°是10°的二倍，故可用诱导公式和倍角公式(或降幂)化简
解析：原式＝3－cos20°2－cos 210°＝3－(2cos 210°－1)2－cos 210°
＝2. 练习2：已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43
， 则tan α＝________.
分析：
用诱导公式可将条件化为tan2α的函数值，
用二倍角公式解方程可求得tan α.
解析：由tan(π＋2α)＝－43得tan2α＝－43
，由tan2α＝2tan α1－tan 2α
＝－43，解得tan α＝－12或tan α＝2，又α是第二象限的角，所以tan α＝－12
.
练习3：设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4
等于( ) A.1＋a 2 B.1－a 2
C ．－1＋a 2
D ．－1－a 2
解析：∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sin θ4
<0， ∵a ＝cos θ2＝1－2sin 2θ4，∴sin θ4＝－1－a 2
.
点评：不要求记忆半角公式，只要熟记二倍角公式，
熟练进行角的范围与三角函数值符号的讨论，求半角的三角函数值时，可利用倍角公式通过开方求解．
（二）公式的变形应用
例1．（1）(补充)计算:tan20°+tan40°＋3tan20°tan40°=
答案:3
例1．(2) (补充)化简：tan(18°－x)tan(12°＋x) ＋3[tan(18°－x)＋tan(12°＋x)]＝________.
答案: 1
解析：∵tan[(18°－x)＋(12°＋x)]
＝
tan(18°－x)＋tan(12°＋x)
1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)
＝tan30°＝3
3
∴tan(18°－x)＋tan(12°＋x)
＝3
3[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)] 于是原式＝tan(18°－x)tan(12°＋x)
＋3·3
3[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]＝1.
变式:
计算(1+tan1°) (1+tan2°) (1+tan3°) …(1+tan44°) (1+tan45°)
答案:23
2
注意:公式的逆用与变形运用
练习：计算
13 sin10sin80
︒︒
-=
答案:4
例2．（1）《名师一号》P54 高频考点例2
(2)sin110°sin20°
cos2155°－sin2155°
的值为()
A ．－12 B.12 C.32 D ．－32
sin110°sin20°cos 2155°－sin 2155°
＝sin70°sin20°cos310° ＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12
.
例2．（2）(补充)
化简: ()1*
cos cos 2cos 4cos 2n n N αααα-⋅⋅⋅
⋅∈
温故知新P50 知识(5) 1cos 20cos 40cos60cos8016
︒︒︒︒⋅⋅⋅=
答案: ()*sin 22sin n n n N ∈αα
注意:公式的逆用与变形运用
例3．《名师一号》P53 对点自测5、6
5.如果α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝45
，那么 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋π4＝( ) A.425 B ．－425 C.325 D ．－325
解析 因为sin α＝45，π2<α<π，所以cos α＝－35
. 而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝2cos α＝－325
.
6．已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R ，若f (x )≥1，
则x 的取值范围为( )
A ．{x |k π＋π3
≤x ≤k π＋π，k ∈Z} B ．{x |2k π＋π3
≤x ≤2k π＋π，k ∈Z}
C ．{x |k π＋π6≤x ≤k π＋5π6
，k ∈Z} D ．{x |2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6
，k ∈Z}
解析 根据题意，得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π6，f (x )≥1， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6≥1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6≥12
. 由图象可知满足π6＋2k π≤x －π6≤5π6
＋2k π(k ∈Z)， 解得π3
＋2k π≤x ≤π＋2k π(k ∈Z)．
注意:公式的逆用与变形运用
合一变换
a sin α＋
b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，
其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b
2，tan φ＝b a . φ的终边所在象限由a ，b 的符号来确定．
拓展：温故P59第7题
（三）角的代换
例1．（1）(补充)若sin(π6－α)＝13
， 则cos(2π3
＋2α)的值为( ) A.13 B ．－13 C.79 D ．－79
[答案] D
[解析] cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3
＋α)－1 ＝2cos 2[π2－(π6
－α)]－1 ＝2sin 2(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79
.
变式: 已知12sin()cos(2)633
ππαα+=-=，则 。

练习:
函数2sin cos ,3622y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=--+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭
ππππ 的值域是
答案: cos 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π;值域是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
角的变换---用已知角和特殊角拆、拼
例1．(2) 《名师一号》P54 高频考点 例3（1） 已知12cos ,sin 2923
⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭βααβ, 且
,022<<<<ππαπβ,求()cos +αβ的值.
(1)∵0<β<π2
<α<π， ∴－π4<α2－β<π2，π4<α－β2
<π. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53
，
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝459
. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2·sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2－β ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527
， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2
－1 ＝2×49×5729－1＝－239729
.
注意：《名师一号》P54 高频考点 例3 规律方法
(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出
相应角的三角函数值，代入展开式即可．
角的变换：注意拆角、拼角技巧
如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，(α＋β)＋(α－β)＝2α，
β＝α＋β2－α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2＋β，75°＝45°＋30°等
(补充)注意倍角的相对性：如3α是2
3α的倍角等； 角的变换---关注“待求角”与“已知角”和“特殊角”的内在
联系
本例是用已知角拆、拼的类型
例1．(3)《名师一号》P54 高频考点例3（2）
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝1
2，tanβ＝－
1
7，
求2α－β的值．
解析：
(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tan(α－β)＋tanβ
1－tan(α－β)tanβ
＝
1
2－
1
7
1＋
1
2×
1
7
＝
1
3>0，∴0<α<
π
2.
又∵tan2α＝
2tanα
1－tan2α
＝
2×
1
3
1－⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
32
＝
3
4>0，
∴0<2α<π2.
∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17
＝1. ∵tan β＝－17<0，∴π2
<β<π，－π<2α－β<0. ∴2α－β＝－3π4
.
注意：《名师一号》P54 高频考点 例3 规律方法
(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若
角的范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，选正弦较好． (补充)
知三角函数值求角的方法
----先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数 要注意选择，其标准有二：
一是此三角函数在角的范围内具有单调性；
二是根据条件易求出此三角函数值
例2．(1) (补充)
sin7°＋cos15°·sin8°cos7°－sin15°·sin8°
的值为( ) A ．2＋3 B.2＋32 C ．2－ 3 D.2－32
解析：sin7°＝sin(15°－8°)＝sin15°cos8°－cos15°sin8°，
cos7°＝cos(15°－8°)＝cos15°cos8°＋sin15°sin8°，
∴原式＝tan15°＝tan(45°－30°)＝1－tan30°1＋tan30°
＝2－3，
故选C.
例2．(2) (补充)
12sin170°
－2sin70°的值等于( ) A ．1 B ．－1
C.12 D ．－12
解析：
1
2sin170°
－2sin70°＝1
2sin10°
－2cos20°
＝1－4sin10°cos20°
2sin10°
＝
1－4sin10°cos(30°－10°)
2sin10°
＝1－4sin10°(
3
2cos10°＋
1
2sin10°)
2sin10°
＝1－3sin20°－2sin210°
2sin10°
＝
cos20°－3sin20°
2sin10°
＝sin(30°－20°)
sin10°
＝1.故选A.
角的变换---用特殊角拆、拼
计时双基练P245 基础4
练习1：《名师一号》P54 高频考点例1（1）(1)4cos50°－tan40°＝()
A. 2
B.2＋3
2 C.
3 D．22－1
解析：
(1)4cos50°－tan40°＝4sin40°cos40°－sin40°
cos40°
＝2sin80°－sin40°cos40°＝2sin100°－sin40°cos40°
＝2sin (60°＋40°)－sin40°cos40°
练习2：求sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°的值．
解析：因为40°＝30°＋10°，于是
原式＝sin 210°＋cos 2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)
＝sin 210°＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫32cos10°－12sin10°2＋sin10° ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫32cos10°－12sin10°＝34(sin 210°＋cos 210°)＝34. 思考:
(1)求sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)的值
(2)若x ＋y ＝2k π＋π3
(k ∈Z)，则sin 2x ＋sin 2y ＋sin x sin y 为定值34
；
（四）函数与方程的思想
例1．(补充)
已知cos(α＋β)＝1
5，cos(α－β)＝
3
5，则tanαtanβ的值
为________．
分析：由Cα±β展开式可知，条件式展开后是关于cosαcosβ与sinαsinβ的方程组，可通过解二元一次方程组求得sinαsinβ和cosαcosβ的值相除即得．
解析：由cos(α＋β)＝1
5
展开可得cosαcosβ－sinαsinβ＝1
5
①
由cos(α－β)＝3
5展开得cosαcosβ＋sinαsinβ＝3
5
②
由①②相加得cosαcosβ＝2
5
，
∴sinαsinβ＝1
5，∴tanαtanβ＝1
2.
例2．(补充)
已知sin x＋sin y＝1
3，求sin x－cos
2y的最大、最小值．
分析：消去sin x 得u ＝13
－sin y －cos 2y 可转化为二次函数最值，关键是消元后sin x 的范围同时要转化为sin y 的取值范围．
解析：由sin x ＝13
－sin y 及－1≤sin x ≤1 得－23
≤sin y ≤1. 而sin x －cos 2y ＝sin 2y －sin y －23
＝(sin y －12)2－1112
所以当sin y ＝12时，最小值为－1112
， 当sin y ＝－23时，最大值为49
. 点评：求二元函数最大值时，一般需将函数转化为一
元函数，故首先要消去一个字母，而sin x ＝13
－sin y 能提供两种功能，其一是消元，其二是要从此消元式中解出sin y 的范围，即二次函数的“定义域”，这是本题的难点及易错点，切不可盲目认定－1≤sin y ≤1.
（五）公式的综合应用
例1．《名师一号》P54 特色专题 典例
大题巧突破系列之(二)
利用三角恒等变换研究三角函数的性质
【典例】(2014·福建卷)已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)
－1
2.
(1)若0<α<
π
2，且sinα＝
2
2，求f(α)的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
【规范解答】(1)∵0<α<
π
2，sinα＝
2
2，∴cosα＝
2
2.
∴f(α)＝
2
2×⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
2
2＋
2
2
－
1
2＝
1
2.
(2)∵f(x)＝sin x cos x＋cos2x－
1
2
＝
1
2sin2x＋
1＋cos2x
2－
1
2
＝
1
2sin2x＋
1
2cos2x＝
2
2sin⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
2x＋
π
4.
∴T＝
2π
2＝π.
由2kπ－
π
2≤2x＋
π
4≤2kπ＋
π
2，k∈Z得
k π－38π≤x ≤k π＋π8
，k ∈Z. ∴f (x )的单调递增区间为
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤k π－38π，k π＋π8k ∈Z. 【名师点评】 本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和与差的三角函数公式及三角函数的图象及性质．熟记三角函数的图象及性质是解决此类题的关键，同时应注意在求单调区间时结果要写成区间的形式．
练习：
设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x ＋m )．
(1)求函数f (x )的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间．
(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π6时，－4<f (x )<4恒成立，求实数m 的取值范围．
[解析] (1)f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋m
＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π6＋m ＋1. ∴函数f (x )最小正周期T ＝π，
在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6、⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2π3，π. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π6时，∵f (x )递增， ∴当x ＝π6
时，f (x )取最大值m ＋3. 当x ＝0时，f (x )取最小值m ＋2.
由题设知⎩⎪⎨⎪⎧
m ＋3<4m ＋2>－4
解之得，－6<m <1.
课后作业
计时双基练P245 基础1-11、培优1-4
课本P53变式思考1、2、3； 对应训练1、2 期末复习
（补充）两角差的余弦公式的推导
利用向量的数量积推导必修4 课本P125
证明两角和的余弦公式
由三角函数定义得：
()()()()()()121,0,cos ,sin ,cos ,sin ,
cos ,sin A P P P ααββαβαβ-++
由12POA POP ∆≅∆得12PA PP =
由两点间距离公式可证得
()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-
练习： 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α、β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2， 则β＝________.
解析：∵α、β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)， ∴sin α＝437，sin(α＋β)＝5314
， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
y x
A(1,0)P 2P 1P o β-βα
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12
， ∵0<β<π2，∴β＝π3
.
练习1:
练习: 已知0,2x
，求函数5cos()cos()1212y x x 的值域。

（1）求a 的值
（2）求使()0f x 成立的x 的范围
练习1: 已知α，β∈3(,)4ππ，sin(α＋β)＝－35，sin()4πβ-＝1213，则cos()4
πα+＝________ 答案: 5665
-
练习2:已知
77(0)cos 2,sin()2299ππαβπβαβ∈∈=-+=，，（，），．
（Ⅰ）求βcos 的值； （Ⅱ）求αsin 的值．
已知α是锐角,1sin 63⎛⎫-= ⎪⎝
⎭πα,则cos =α ;
练习1:
已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)．
(1)若a ∥b ，求tan θ的值；
(2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．
[解析] (1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，
于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14. (2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.
从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，
即sin2θ＋cos2θ＝－1，
于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22
. 又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，
所以2θ＋π4＝5π4，或2θ＋π4＝7π4
. 因此θ＝π2或θ＝3π4
.
练习2:
已知A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010
， 求A ＋B 的值．
[解析] ∵A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010
， ∴cos A ＝－1－sin 2A ＝－25＝－255， cos B ＝－1－sin 2B ＝－310＝－31010， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝－255×(－31010)－55×1010＝22
， 又∵π2<A <π，π2
<B <π，
∴π<A ＋B <2π，∴A ＋B ＝7π4
. →若()0αβπ∈、，，且tan tan αβ、是方程 2560x x -+=的两根，则αβ+的值是
【答案】34
π。