广东省清远市清新县第一中学2021-2022学年高一数学理期末试卷含解析

广东省清远市清新县第一中学2021-2022学年高一数学理期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设有直线m、n和平面、，下列四个命题中，正确的是
A．若m∥，n∥，则m∥n
B．若，，m∥，n∥，则∥
C．若，，则
D．若，，，则 m∥
参考答案：
D
2. sin18°cos12°+cos18°sin12°=（）
A．﹣B．﹣C．D．
参考答案：
D
【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．
【分析】根据题意和两角和的正弦函数化简，由特殊角的三角函数值求值．
【解答】解：sin18°cos12°+cos18°sin12°
=sin（18°+12°）=sin30°=，
故选D．
3. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，
，则直线PB与平面PCD所成角的大小为( ) A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
取中点，中点，连接，先证明为所求角，再计算其大小.
【详解】取中点，中点，连接.
设
易知：平面
平面
易知：四边形为平行四边形平面，即为直线与平面所成角
故答案选A
【点睛】本题考查了线面夹角，先找出线面夹角是解题的关键.
4. 面积为Q的正方形，绕其一边旋转一周，则所得旋转体表面积为（）
A、Q
B、2Q
C、3Q
D、4Q
参考答案：
D
5. 设全集，，则A=（）....
参考答案：
B
6. 方程(x+y-1)=0所表示的曲线是( )
A. B.
C. D.
参考答案：
D
试题分析：由题意得方程，得或，且
，所以方程所表示的曲线为选项D，故选D．
考点：曲线与方程．
7. 已知两条直线y=ax﹣2和y=（a+2）x+1互相垂直，则a等于（）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
参考答案：
D
【考点】IA：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．
【分析】两直线ax+by+c=0与mx+ny+d=0垂直?am+bn=0解之即可．
【解答】解：由y=ax﹣2，y=（a+2）x+1得ax﹣y﹣2=0，（a+2）x﹣y+1=0
因为直线y=ax﹣2和y=（a+2）x+1互相垂直，
所以a（a+2）+1=0，解得a=﹣1．故选D．
8. △ABC中，已知60°，如果△ABC 有两组解，则x的取值范围
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
9. 设扇形的弧长为2，面积为2，则扇形中心角的弧度数是（）
A．1 B．4 C．1或4 D．π
参考答案：
A
【考点】扇形面积公式．
【分析】设扇形中心角的弧度数为α，半径为r．利用弧长公式、扇形的面积计算公式可得αr=2，
=2，解出即可．
【解答】解：设扇形中心角的弧度数为α，半径为r．
则αr=2，=2，
解得α=1．
故选：A．
10. 下列各式中成立的一项（）
A．B．
C．D．
参考答案：
D
【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
【分析】由指数的运算法则和根式与分数指数幂的互化，A中应为；B中等式左侧为正数，右侧为负数；C中x=y=1时不成立，排除法即可得答案．
【解答】解：A中应为；
B中等式左侧为正数，右侧为负数；
C中x=y=1时不成立；
D正确．
故选D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数f（x）=|x2﹣4|﹣a恰有两个零点，则实数a的取值范围为．
参考答案：
a=0或a＞4
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】画出函数y=|x2﹣4|，与y=a的图象，利用函数的两个零点，写出结果即可．
【解答】解：函数g（x）=|x2﹣4|的图象如图所示，
∵函数f（x）=|x2﹣4|﹣a恰有两个零点，
∴a=0或a＞4．
故答案为：a=0或a＞4．
【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键．
12. .函数的定义域是________
参考答案：
[0,2]
【分析】利用反函数定义域直接求解即可
【详解】由题
故答案为
【点睛】本题考查反三角函数的定义域问题，准确计算是关键，是基础题
13. 在中，角所对的边分别为，若成等差数列，则角的取值范
围是__________(角用弧度表示).
参考答案：
14.
已知为第三象限的角，,则
参考答案：
15. 函数f（x）=的值域为．
参考答案：
（﹣∞，﹣2]
【考点】对数函数的值域与最值．
【分析】先求出对数的真数的范围，再由对数函数的单调性求出函数的值域．
【解答】解：设t=x2﹣2x+5=（x﹣1）2+4，∴t≥4，
∵在定义域上是减函数，∴y≤﹣2，
∴函数的值域是（﹣∞，﹣2]．
故答案为：（﹣∞，﹣2]．
【点评】本题考查了有关对数复合函数的值域的求法，需要把真数作为一个整体，求出真数的范围，再由对数函数的单调性求出原函数的值域．
16. 如图，过原点O的直线AB与函数的图像交于A，B两点，过A，B分别作x轴的垂线，与函数的图像分别交于D，C两点．若BD平行于x轴，则四边形ABCD的面积为
__________．
参考答案：
因为点D和点B的纵坐标相等，设点D的横坐标为a，点B的横坐标为b，则有．∵，∴．
又，在一条过原点的直线上，
∴，∴，∴．
，，，，所以
．
17. 函数在区间上的最小值为_______________
参考答案：
1
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知：以点C (t, )(t∈R , t≠ 0)为圆心的圆与轴交于点O, A，与y轴交于点O, B，其中O为原点．
（Ⅰ）求证：△OAB的面积为定值；
（Ⅱ）设直线y =–2x +4与圆C交于点M, N，若|OM |= |ON|，求圆C的方程．
参考答案：（1），．
设圆的方程是
令，得；令，得
，即：的面积为定值．（2）垂直平分线段．
，直线的方程是．
，解得：
当时，圆心的坐标为，，
此时到直线的距离，
圆与直线相交于两点．
当时，圆心的坐标为，，
此时到直线的距离
圆与直线不相交，
不符合题意舍去．
圆的方程为．
19. 如图，已知正三棱柱ABC﹣A'B'C'棱长均为2，E为AB中点．点D在侧棱BB'上．
（Ⅰ）求AD+DC'的最小值；
（Ⅱ）当AD+DC'取最小值时，在CC'上找一点F，使得EF∥面ADC'．
参考答案：
【考点】直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）将三棱柱的侧面展开，由题意知当D为BB′中点时，AD+DC′最小，由此能求出AD+DC′的最小值．
（Ⅱ）过点E作EM∥AD交BB′于M，M为BD中点，过点M作MF∥DC′交CC′于F，由面MEF∥面ADC′，得EF∥面ADC′．
【解答】解：（Ⅰ）如图，将三棱柱的侧面展开，
由题意知当D为BB′中点时，AD+DC′最小，
最小值为d=．
（Ⅱ）过点E作EM∥AD交BB′于M，所以M为BD中点，
过点M作MF∥DC′交CC′于F，
∴，
∵EM∩MF=M，
∴面MEF∥面ADC′，∴EF∥面ADC′．
20. 已知的定义域为,
（1）求集合A.（2）若,求的取值范围.
参考答案：
略
21.
某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，
成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，后得到如图4的频率分布直方图．
（1）求图中实数的值；
（2）在随机抽取40名学生中，分别估计成绩不低于60分的人数、成绩在分及分的人数;
（3）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
参考答案：
1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，
所以．………………2分
解得．……………3分
（2）解：根据频率分布直方图，
可估计在随机抽取40名学生中成绩不低于60分的人数约为
人, …………………5分
成绩在分数段内的人数为人, …………………7分
成绩在分数段内的人数为人. …………………9分
（3）解：设成绩在分数段内的2人分别记为，.
成绩在分数段内的4人，分别记为，，，．…………10分
若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共15种．…12分
如果两名学生的数学成绩都在分数段内或都在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在分数段内，另一个成绩在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．
记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件，则事件包含的基本事件有：
，，，，，，共7种．…13分
所以所求概率为．………14分
22. 已知各项均不相等的等差数列{a n}的前n项和为S n，，且恰为等比数列{b n}的前三项，记．
(Ⅰ)分别求数列{a n}、{b n}的通项公式；
(Ⅱ)若，求c n取得最小值时n的值；
(Ⅲ)当为数列{c n}的最小项时，m有相应的可取值，我们把所有的和记为；当为数列{c n}的最小项时，m有相应的可取值，我们把所有的和记为，令，求．参考答案：解：（Ⅰ）由，
∴，
∴，易得．
（Ⅱ）若，则，
当或，取得最小值0．
（Ⅲ），
令，则，根据二次函数的图象和性质，当取得最小值时，在抛物线对称轴的左、右侧都有可能，但都在对称轴的右侧，必有．而取得最小值，∴，等价于．
由解得，∴，
同理，当取得最小值时，只需
解得，
∴．
可得．。