带有奇异系数的随机(偏)微分方程的适定性及其相关问题

带有奇异系数的随机（偏）微分方程的适定性及其
相关问题
随机微分方程（Stochastic Differential Equation, SDE）是一种描述随机过程的数学模型，它在金融学、物理学、工程学、生物学等领域中有广泛的应用。

为了更好地描述随机的现实世界，许多SDE 模型会带有奇异系数。

本文将针对这种带有奇异系数的 SDE 模型进行适定性和相关问题的讨论。

一、奇异系数的定义
奇异系数是指随机微分方程中控制随机部分的系数不满足连续偏导数条件，即非光滑，存在某些奇异点。

在 SDE 模型中，通常将奇异点定义为表现出不可微性的点，即导数不存在的点。

这些点通常出现在随机波动特别强烈的区域，如随机噪声的极端值。

例如考虑以下 SDE 模型：
```math
\\begin{cases}
dX_t = \\mu(X_t) dt + \\sigma(X_t) dW_t, \\\\
X_0 = x_0,
\\end{cases}
```
其中，$\\mu(x)$ 和 $\\sigma(x)$ 分别是确定性的函数，代表了 $X_t$ 的漂移和波动。

$W_t$ 是标准布朗运动（Brownian Motion），代表了随机波动的一部分。

我们定义一个奇异点为 $x_c \\in [a, b]$，满足 $\\sigma(x_c) = 0$ 或 $\\sigma'(x_c) = 0$。

在
这种情况下，$\\sigma(x)$ 不再是常规的光滑函数，而是存在一些
局部不光滑的点。

二、奇异系数对 SDE 模型的适定性
在普通的 SDE 模型中，为了保证解的适定性，需要满足一定的Lipschitz 条件或者线性增长条件。

在带有奇异系数的 SDE 模型中，由于系数不光滑，所以很难直接应用这些条件。

因此，需要使用一
些新的工具和定理来研究这种模型的适定性。

以下我们给出两个典型的奇异系数的 SDE 模型：
（1）反演型外部噪声模型
```math
\\begin{cases}
dX_t = - \\alpha X_t^2 dt + \\sqrt{|X_t|} dW_t, \\\\
X_0 = x_0,
\\end{cases}
```
它的漂移项是奇异的，服从反演型漂移，它的波动项是可积的。

（2）随机震荡模型
```math
\\begin{cases}
dX_t = a (b - X_t) dt + c \\sqrt{X_t} dW_t, \\\\
X_0 = x_0,
\\end{cases}
```
它的漂移项是光滑的，具有线性增长特性，它的波动项是奇异的，具有方根型的特性。

这两种模型的奇异性质不同，因此它们的研究方法也不同。

以下我们分别讨论这两种模型的适定性问题。

1. 反演型外部噪声模型
对于反演型外部噪声模型，它的漂移项是奇异的，其满足$\\mu(x) = -\\alpha x^2$。

对于这种奇异的漂移项，可以使用Lyapunov 技巧研究其适定性。

定义一个 Lyapunov 函数 $V(x) = |x|$，并计算其导数：
$$
\\frac{dV(x)}{dx} = \\begin{cases}
-1 & \\text{if } x < 0, \\\\
1 & \\text{if } x > 0.
\\end{cases}
$$
因此，对于任意的 $x \
eq 0$，我们都有：
$$
\\frac{dV(x)}{dx} \\mu(x) >0.
$$
也就是说，Lyapunov 函数在 $x \
eq 0$ 的时候是单调变化的，并且能保证解 $X_t$ 不会落到$0$ 附近，即使在最后一个奇异点处。

2. 随机震荡模型
对于随机震荡模型，它的漂移项是光滑的，其满足 $\\mu(x) = a(b-x)$。

对于这种光滑的漂移项，可以使用微分不等式方法研究其适定性。

我们首先定义一个函数：
$$
g(x) = \\frac{|x|^2}{b-x}.
$$
然后计算 $g(x)$ 的导数：
$$
g'(x) = \\frac{2x(b+x)}{(b-x)^2} \\quad \\text{and} \\quad g''(x) = \\frac{2b(b+2x)}{(b-x)^3}.
$$
因此，$g(x)$ 的二阶导数在$x=b$和$x=0$处都是奇异的。

为了保证该模型存在唯一的解，我们需要证明 $g(x)$ 是一个Lyapunov 函数。

通过计算 $g(x)$ 的导数和 SDE 模型的漂移项 $\\mu(x)$ 之间的关系：
$$
\\frac{d}{dt} g(X_t) = 2aX_t +\\frac{2c^2}{b-X_t} \\geq
2aX_t,
$$
我们可以证明 $g(x)$ 是一个 Lyapunov 函数，因此该 SDE 模型在奇异点处依然是适定的，具有唯一的解。

三、奇异系数的数值方法
由于奇异系数的出现打破了一些传统的数值解法，因此如何使用有效的数值算法来解决这种模型也是一个重要的研究领域。

目前
的研究中，广泛使用的方法包括扩散极限法、Euler—Maruyama 方法、Milstein 方法等方法。

扩散极限法通过将奇异噪声分解成一个可以处理的部分和一个
无界部分，使得随机项的奇异性能够得到充分的处理，从而解决了
奇异SDE的数值解法。

具体来讲，扩散极限法将奇异项分解为：$$
\\sigma(x) = \\sigma^c(x) + \\sigma^a(x),
$$
其中，$\\sigma^c(x)$ 是一个可光滑函数，$\\sigma^a(x)$ 是一个无界函数。

然后，对于 $\\sigma^c(x)$ 使用传统的数值方法，对于 $\\sigma^a(x)$，使用扩散极限法进行处理。

Euler-Maruyama 方法是一种经典的数值解法，其应用广泛。

由于奇异项不光滑，导致该方法的收敛性和稳定性变得不可靠。

针对
这个问题，Milstein 方法提出了一种通过加入二阶矫正项，来适应随机项奇异性的方法。

该方法能提高数值解的精度和稳定性，适用于
一类带有奇异性随机微分方程的解法。

四、结论
带有奇异系数的SDE 模型是一类具有重要实际应用价值的模型。

但是由于其系数不满足连续偏导数条件，使得该模型的适定性和数
值解法都变得非常困难。

本文针对这种模型，通过引入 Lyapunov
函数和微分不等式等技术，探讨了其适定性的问题，同时介绍了扩
散极限法、Euler-Maruyama 方法和Milstein 方法等有效的数值解法。

在实际应用中，需要根据实际情况选择合适的数值算法，以保证得
到精确可靠的解。