密立根油滴实验中的布朗运动

密立根油滴实验中的布朗运动

关舒月; 张明; 张师平; 吴平

【期刊名称】《《大学物理》》

【年(卷),期】2019(038)006

【总页数】8页(P48-54,59)

【关键词】布朗运动; 油滴实验; 朗之万方程; 运动轨迹

【作者】关舒月; 张明; 张师平; 吴平

【作者单位】北京科技大学数理学院北京100083

【正文语种】中文

【中图分类】O552.1

密立根油滴实验可以测定电子电荷量，从实验上验证了电荷的不连续性，且实验设计简单巧妙，实验结果精确，是一个著名而有启发性的实验，被英国《物理世界》杂志评为十大最美物理实验之一[1].因测定电子电荷及对光电效应方面的卓越贡献，密立根本人也获得了1923年度的诺贝尔物理学奖.在密立根油滴实验中，油滴半

径为亚微米级，难以直接测量，故测量一定距离油滴匀速下落的时间来计算油滴半径.考虑到当油滴半径较大时，下落时间很快，时间难以测准，且油滴所带电荷量

可能较多，不利于计算所带电荷量[2-4]；当油滴半径很小时，布朗运动可能较强

烈[5，6].通常文献凭实验经验建议选择下落1 mm时间在10 s左右的油滴[7-9].

但很少有文章对布朗运动对油滴实验的具体影响进行专门的讨论.本文将定量分析

油滴的布朗运动对下落时间的影响，给出不同半径油滴下落的运动轨迹.

1 油滴下落轨迹的实验测定

1.1 密立根油滴实验原理

1897年，英国物理学家汤姆孙发现了电子并测出了电子的比荷(又称荷质比). 随后，汤森德、汤姆孙、威尔逊先后直接测定了电子电荷量.在1909年到1917年，美国物理学家密立根在前人工作的基础上，将实验所用水滴改为油滴并对实验装置做了重大改进，最终得出了电荷是量子化的重要结论，并准确地测出了电子所带电荷量1.6×10-19 C[10].

实验原理如图1所示，油滴从喷壶中喷出时会因摩擦而带有电荷，通过极板上方

中央的小孔进入极板之间.

油滴平衡时受力分析图

油滴匀速下落时受力分析图图1 实验原理示意图

设油滴半径为r，密度为ρ，质量为m，所带电荷量为q，空气密度为σ，空气黏

度为η.调节极板间电压使油滴静止，此时油滴受重力、电场力及空气浮力而达到

平衡状态，若板间电场强度为E，则有

(1)

当极板之间不加电压时，由于空气的黏滞性，油滴会匀速下落，此时油滴受重力、空气浮力及空气阻力而达到平衡状态，若油滴下落速度为v，则有

(2)

其中，α为空气阻力与油滴下落速度的比例系数.根据斯托克斯关系：

α=6πηr

(3)

设油滴下落距离为h，油滴下落速度可根据下落时间求出，即

(4)

考虑到油滴非常小，空气已不能看作连续介质，空气的黏度应修正为[11]

(5)

其中，b为修正常数，p为空气压强.

这样，油滴所带电荷量q可表示为

(6)

由此式可知，准确测量下落时间t对油滴带电量q的计算是十分重要的.

1.2 油滴下落轨迹的实验测定

本文使用了成都世纪中科仪器有限公司生产的ZKY-MLG-6 CCD显微密立根油滴仪，分别测量并拍摄下了4组油滴下落的过程，这4组实验选择的油滴下落时间分别为22.05 s、31.35 s、32.76 s和46.56 s，通过对下落过程中油滴位置的读取，做出了油滴下落过程的运动轨迹如图2所示.从图中可以看出，油滴下落1.6 mm时，由布朗运动引起油滴水平位移大约在0.01～0.1 mm之间，随着油滴半径的减小，油滴的布朗运动变得显著，当油滴下落时间至46.56 s时，布朗运动引起的油滴水平位移接近0.1 mm，看上去油滴的布朗运动已经十分剧烈，但布朗运动对下落时间的影响难以通过实验直接观察，本文将在下文对此进行更深入的讨论. 下落时间为22.05 s

下落时间为31.35 s

下落时间为32.76 s

下落时间为46.56 s图2 油滴下落过程的运动轨迹

2 对油滴下落过程的理论分析

为了讨论布朗运动对油滴运动的影响，本文建立了油滴的下落模型.由于表面张力的作用，可将下落的油滴看成圆球，下落过程中受重力，空气浮力，空气分子碰撞的作用力，以及由于空气的黏滞性产生的阻力.设油滴的半径为r，油的密度为ρ，在时刻t油滴的位移为x(t)，油滴受到空气分子碰撞的作用力为f(t)，空气的密度为σ.根据牛顿第二定律，油滴的运动方程为

(7)

方程等式右侧的第二项为油滴的重力与其受到的空气浮力之差，第三项为油滴在空气中运动所受到的黏滞阻力，其方向与油滴速度方向相反.

根据非齐次线性微分方程中解的叠加原理，可将式(7)拆分为两式：

式(8)即为不存在其他外力时的朗之万方程.

对于一维情况下的朗之万方程，方均位移已有精确解，在长时间极限下，可以写为[12]

(10)

其中，k为玻耳兹曼常量，T为温度.位移的均值为

(11)

取布朗粒子运动起始点为零点，等式右侧第一项为0，对于本文所研究的油滴，在释放前已经达到布朗运动稳态，即且一项接近于1. 故可以忽略式(10)右侧的第一项.

对于式(10)右侧第二项，在本文研究的体系中，在10-7～10-5 s数量级，油滴运

动时间间隔在101～102 s量级，可以认为

基于以上分析，可将式(10)写为

(12)

将上式推广到三维情况，可以得出式(8)的解为

(13)

其中，R为摩尔气体常数，N为阿伏伽德罗常数，η′为修正后的空气黏度，根据爱因斯坦关系，称为扩散系数，矢量x1方向随机.

由式(9)解出油滴在重力作用下产生的速度(设初始条件v2(0)=0)：

(14)

由于空气的黏滞性，油滴运动一小段距离后就要做匀速运动. 油滴进入匀速运动前的变速运动时间非常短，在10-4s数量级[8，9]，因此可以认为油滴在下落至零刻度线后，v2基本不变，

(15)

从而

(16)

将x1与x2矢量叠加，x1与x2在球坐标系下表示如图3所示.

图3 球坐标系下x1和x2示意图

经历时间t后，油滴距初始位置

x=-x1cos θ+x2