等式性质和等量代换区别
【基础知识精讲】等式和它的性质
【基础知识精讲】等式和它的性质等式是数学中的重要研究对象，它是从客观世界中存在的相等关系中抽象出来的.所以等式的实质是用含有等号的式子来表示相等关系.运用等式的性质可以对等式进行变形.本章的学习重点————解一元一次方程，实际上就是等式变形.1．关于等式的概念 首先看下面这样的式子： 2+3=3+2，3+x=5,a(b+c)=ab+ac,S=21ah,m+2m=3m.它们都是用等号连接两个代数式而成.像这种用等号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式.等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律，运算法则等.所以等式可以表示不同的意义. 我们看上面的几个等式，在等式m+2m=3m 里,不论m 等于任何数值，左边和右边的值总是相等.在等式a(b+c)=ab+ac 中，不论a ，b ，c 各等于任何数值，左边和右边也总是相等的.一个等式，不论用何数值代替其中的字母，它的左、右两边的值总是相等，这样的等式叫恒等式.由数字组成的等式，都是恒等式.一个等式，只取某些数值代替等式中的字母时，等式才成立，而取另外一些数值代替等式中的字母时，等式不成立，这样的等式叫做条件等式.如x+3=5,S=21ah 等.综上所述，等式可以分成两类：即恒等式和条件等式.我们接下来要学习的方程就是条件等式.为方便起见，在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边.一般说，等式的左边和右边都是代数式，但等式不是代数式.等式含有等号，代数式不含等号.2．关于等式的性质等式性质1 等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式. 等式性质2 等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0），所得结果仍是等式. 例如：3x-2=8是一个等式.3x-2+2=8+2 (等式两边都加上2) 得3x=10 (所得结果仍是等式) 又如：3x+5=7, (等式两边都减去5) 得3x=2 (所得结果仍是等式)再如，31x=-9,根据等式性质2，得31x ×3=-9×3 （等式两边都乘以3）得x=-27 （所得结果仍是等式） 再如，-5x=15,等式两边同除以-5， -5x ÷(-5)=15÷(-5), 得x=-3.由此可见，运用等式的性质可以使方程变形为所需形式.所以等式的性质是解方程的理论依据.等式还有两条性质，在解一元一次方程时也会用到，它们是：（1） 对称性：如是a=b ，那么b=a..即等式的左、右两边交换位置，所得结果仍是等式； （2） 传递性：如果a=b ，且b=c ，那么a=c.这一性质也叫做等量代换 【重点难点解析】1． 本节的重点是等式的两条性质的变形应用；难点是找出等式变形的根据.2． 运用等式性质1时，必须注意等号两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式、才能保证所得结果仍是等式，否则就会破坏相等关系.如2+3=5，如果左边加上5，左边加上6，那么2+3+5≠5+6.运用等式性质2时，要注意等式两边都乘以（或除以）同一个数（不是同一个整式），才能保证所得结果仍是等式，还要注意0不能作除数.3． 利用等式性质把等式变形，如填空并说明：若5x=4x-7,那么5x- =-7，是怎样变形的？解答这类题的关键是看第二个等式中不需要填空的一边是怎样由第一个等式的相应一边变化而来的.如该例中第二个等式中的右边-7是由第一个等式的右边4x-7减4x 得到的，所以第二个等式的左边也应是5x-4x ，因此填空为4x.例1 判断下列各式中哪些是等式？哪些是代数式？①3x-4 ②a-b-c=a-(b+c) ③5x+6=10 ④6-10=-4 ⑤ a(m+n)=am+an ⑥ x 2-2x+1 分析：根据等式，代数式的意义来进行判断. 解：② 、 ③、 ④、 ⑤是等式，① 、⑥是代数式.注：等式和代数式既有区别，又有联系.首先等号是关系符号，而代数式中只有运算符号，所以代数式不是等式，但等式的左、右两边可以是代数式.例2 用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪条性质以及怎样变形的？ （1）若4x=7x-5,则4x+ =7x; （2）若8a=3a+4,则8a- =4;（3）若2x=8，则5x=.分析：题（1）等式的右边由7x-5变成了7x,说明右边加上了5，根据等式性质1，左边4x 也要加上5.题（2）等式的右边由3a+4变成了4，说明减去了3a,根据等式性质1，左边8a 也要减去3a.题（3）等式的左边由2x 变成了5x ，说明乘以25，根据等式性质2，右边的8也要乘以25.解：（1）4x+5=7x,根据等式性质1，等式两边都加上5. （2）8a-3a=4,根据等式性质1，等式两边都减去3a.（3）5x=20根据等式性质2，等式两边都乘以25.注：解这类题时，先从不需填空的一边入手，看这一边是怎样变形的，再根据等式的性质1或性质2，对另一边进行变形. 例3 回答下列问题：（1）从2a+3=2b-3,能不能得到a=b,为什么？ （2）从5ab=6b,能不能得到5a=6，为什么？解：（1）从等式2a+3=2b-3,不能得到a=b.根据等式性质1，等式两边都减去3，得2a=2b-6;再根据等式性质2，等式两边都除以2，得a=b-3.而b 不可能等于b-3，∴a ≠b.（2）当b=0 时，从5ab=6b ，不能得到5a=6.这是因为等式两边不能都除以0. 当b ≠0时，根据等式性质2，能得到5a=6.这是在等式两边可以同除以b (b ≠0).【难题巧解点拨】例1 解方程：4x=7分析：若去掉绝对值，则应确定4x的符号，故要讨论x 的范围，即：x>0,x<0,或x=0.解：当x>0时，4x=7，∴x=28当x=0时，0=7.这是不可能的. ∴x =0不是此方程的解.当x<0时，-4x=7，∴x=-28.综上所述，此方程的解是：x=28或x=-28. 例2 解方程：321=++-x x解：（1）当x ≤-2时：-（x-1）-(x+2)=3 ∴x=-2 （2）当-2<x ≤1时：-（x-1）-(x+2)=3 3=3 x 为在-2<x ≤1内的任何有理数.（3）当x>1不在x>1的范围内，故在x>1范围内此方程无解. ∴ 综合（1）、（2）、（3）得出此方程的解为-2≤x ≤1注：此为绝对值中含有未知数的方程，通过对未知数的范围进行分段考虑，可把原方程转化为一元一次方程来解.具体分段方法是：首先令各绝对值内的整体为0，以求出未知数的各分点.如本题中：令x-1=0和x+2=0,得到分点x=1和x=-2，从而将未知数x 的范围按从小到大（或从大到小）的顺序分为：x ≤2,-2<x ≤1,x>1三段.其次分别在未知数各段内对原方程进行转化. 另外，应注意检查各方程的解是否在未知数的对应各段范围内，只有在内，此解方是方程在这个范围内的解；若解不在该范围内则此方程在这个范围内无解. 【课本难题解答】1．已知x 、y 都是数，利用等式性质将下列各小题中的等式进行变形，然后填空： （1）如果x+y=0,那么x=.这就是说，如果两个数的和为0，那么这两个数.（2）如果xy=1,那么x=.这就是说，如果两个数的积为1，那么这两个数.解：（1）-y,互为相反数.（2）y 1，互为倒数.注：（1）题运用了等式的基本性质1，两边都加上-y;(2)题运用于等式的基本性质2.两边都乘以y 1；这两题从等式变形的角度来讲相反数与倒数，从而将“互为相反数”和“互为倒数”以等式的形式反映出来.2．用适当的数填空： （1）如果-1=x,那么x=;（2）如果x=y,y=0.6,那么x= ； （3）如果x=0,y=0,那么x=y=.分析：（1）由于等式具有对称性，所以等式的左右两边的代数式可以互换位置，交换等式-1=x 的左右两边即可得x=-1;（2）由于等式具有传递性，所以从x=y,y=0.6可知x=0.6,（3）由等式的对称性和传递性可得x=y=0. 【典型热点考题】例1 用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的. （1）如果3a=5a-4,那么3a+ =5a;（2）如果3a=6,那么5a= ;（3）如果5=x,那么x=;（4）如果a=b,b=c,c=d,那么a=.解：（1）3a+4=5a.根据等性质1，等式两边都加上4.（2）5a=10.根据等性质2，等式两边都乘以35.（3）x=5,根据等式性质3，左右两边互换. （4）a=c 或 a=d ，根据等式性质4.等量代换.例2 判断下列各式中，哪些是代数式？哪些是等式？哪些是恒等式？哪些是条件等式？哪些是不等式？ ①3a+4; ②5a+6=7; ③x+2y=8; ④am+bm=(a+b)m; ⑤5-3=2;⑥ x-1>y; ⑦2a 2-3a 2; ⑧3a<-2a. 解：① ⑦是代数式；② ③ ④ ⑤是等式；④ ⑤是恒等式；② ③是条件等式；⑥⑧是不等式. 注：应掌握代数式、等式、不等式的意义，它们之间的区别与联系. 例3 选择题：（1）由等式3a-5=2a+6得到a=11的变形是（ ）. A ．等式两边都除以3；B ．等式两边都加上6；C ．等式两边都加上（2a-5）;D ．等式两边都减去(2a-5).（2）下列说法中正确的是（ ）. A ．在等式ab=ac 两边都除以a,可得b=c; B ．在等式3a=9b 两边都除以3，可得a=3b;C ．在等式a ca b =两边都除以a,可得b=c ； D ．在等式ax=bx 两边都乘以x,可得a=b ； （3）下列推理错误的是（ ）.A ．若x=y,则ax=ay;B ．若-21x=6,则x=-12;C ．若,3232a c a b =则b=c;D ．若3x 2=3y 2,则x=y解：（1）D ；（2）B ；（3）D例4 已知a 、b 都是数，利用等式性质将下列各小题中的等式进行变形，再填空： （1）若a+b=0,则a=. 这就是说，如果两个数之和为0，那么这两个数.（2）若a=-b,则 a+ =0.这就是说，如果两个数互为相反数，则这两个数的和 .（3）若ab=1，则a=，这就是说，如果两个数的积为1，则这两个数.（4）若a=b 1，则=1，这就是说，如果两个数互为倒数，则这两个数的积 .解：（1）-b,互为相反数. （2）b,0 （3）b 1,互为倒数. （4）ab,1.说明：本例从等式变形角度刻画相反数、倒数 【同步达纲练习】（时间45分钟，满分100分）1．填空题：（5′×6=30′） （1）在等式7m-6=3m 的两边同时 ，得到4m=6,这是根据 . （2）在等式5a-7=8-9a 的两边同时，得到14a=15, 这是根据.（3）在等式43x=-5的两边都或，得到x=-320.（4）a+b=0，可得a= ；由a-b=0,可得a= ;由ab=1,可得a= .（5）由a=-2,b=-2,可得ab ；由a=-b ，可得b=，-b=.（6）比x 的一半少3的数是y 的32，用等式可以表示为.2．选择题：（6′×5=30′） （1）下列结论正确的是（ ） A ．若x+3=y-7,则x+7=y-11; B ．若7y-6=5-2y,则7y+6=17-2y; C ．若0.25x=-4,则x=-1;D ．若7x=-7x,则7=-7.（2）下列说法错误的是（ ）.A ．若a y a x =,则x=y; B ．若x 2=y 2,则-4x 2=-4y 2;C ．若-41x=6,则x=-23;D ．若6=-x,则x=-6.（3）已知等式ax=ay,下列变形正确的是（ ）. A ．x=yB ．ax+1=ay+1C ．ay=-axD ．3-ax=3-ay（4）下列说法正确的是（ ）A ．等式两边都加上一个数或一个整式，所得结果仍是等式；B ．等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式；C ．等式两边都除以同一个数，所以结果仍是等式；D ．一个等式的左、右两边分别与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式；（5）将等式2-31-x =1变形，应得（ ）A ．6-x+1=3B ．6-x-1=3C ．2-x+1=3D ．2-x-1=33.(1)怎样从等式2x 2-3=0，得到x 2=23；(10′) (2) 怎样从等式032=-b a ，得到a=32b ；(10′)(3) 怎样从等式31m-3=m ，得到m=-4.5；(10′) (4) 怎样从等式S=21ah ，得到a=h 25.(10′)【素质优化训练】1．判断题：（1）3(a+b)=3a+b 不是恒等式；（ ） （2）由5a-3=2a+3变形，得到7a=6; （ ） （3）由5x-2=x+2变形可得x=1; （ ）（4）无论x 取何数值时，等式3x=5x 都不成立；（ ）（5）由2312yy x -=+两边都乘以2，可得x+y=1-3y. （ ） 2．选择题：（1）下列各式中，等式共有（ ）个.a+b+c=d;5a-3a –2a;(a-1)(a-2)=0;a-1<a-2;-a(a-b)=b-a;a 2>a;a(a-1) A ．2B ．3C ．4D ．5（2）若等式(a-1)(a-2)=0成立，那么a 等于（ ）. A ．1B ．2C ．1或2D ．任意有理数（3）下列说法中：①若mx=my,则x=y;②若mx=my,则mx+my=2my; ③若my=my,则mx-my=0; ④若mx=my,则mx 2=my 2,其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．解答题：（1）将等式3a-2b=2a-2b 变形；两边都加上2b,得3a=2a,两边同除以a,得3=2，错在什么地方？（2）将公式S=21（a+b ）h 怎样变形，才能得到a=bh S-2(其中字母都不等于0).【生活实际运用】有粗细不同的两支蜡烛，细蜡烛之长为粗蜡烛之长的2倍，细蜡烛点完需1小时，粗蜡烛点完需2小时.有一次停电，将这样的两支未使用过的蜡烛同时点燃，来电时，发现两支蜡烛所剩的长度一样，问停电的时间有多长？ 参考答案： 【同步达纲练习】1.(1)减去3m-6,等式性质1; (2)加上9a+7,等式性质1; (3)乘以34,都除以43; (4)-b,b,b 1.(5)=,-a,a; (6) 21x-3=y32.2.(1)B; (2)C; (3) D; (4) D; (5) A3.(1)等式2x 2-3=0两边同时加上3,再同除以2;(2)等式32b a -=0两边同时乘以2,再两边同时加上b32;(3)等式,331m m =-两边同时减去m31,再同时乘以23,得-29=m,即m=-4.5; (4)在等式S=21ah 两边同时除以21h,再利用等式的对称性得到a=h s 2.【素质优化训练】1.√×√××2.B C C3.(1)错在两边同除以a,a=0 (2)两边同乘以2,除以h,再减去b. 【生活实际运用】1.32小时，或是说40分钟。
2020年小升初数学专题复习训练—拓展与提高：典型应用题(4)(知识点总结 同步测试) 通用版
=30-5，
=25（瓶）；
答：只需要买 25 汽水．
故选：B．
点评：本题关键是求出买 30 瓶能送几瓶汽水．
同步测试
一．选择题（共 8 小题）
1．某品牌的饮料促销方式如下：甲店打七五折，乙店“满三送一”，丙店“每满 100 元减 30 元”．李老
师要买 30 瓶标价 9 元的这种品牌的饮料，在（ ）店购买更省钱．
15
5
（1）喜欢吃青椒的人数是喜欢吃茄子的 5 倍，喜欢吃青椒的有多少人？
（2）填一填、涂一涂，完成统计图． （3）你还能提出什么数学问题，请列式计算．
29．下面是某电器商场 2006 年上半年每月销售电视机台数的折线图．
①根据折线统计图，完成下面的统计表．
某电器商场 2006 年上半年每月销售电视机台数统计表
【命题方向】
例 1：如果数 A 减去数 B 的 3 倍，差是 51；数 A 加上数 B 的 2 倍，和是 111，那么数 A= 87， 数 B= 12． 分析：依题意 A-3B=51，A+2B=111，然后用第二个算式减去第一个，就变成只含有 B 的方程， 由此解决问题． 解：A-3B=51，① A+2B=111，② 由②-①可得： 5B=60， 解得 B=12， A=51+12×3=87． 故答案为：87，12． 点评：这类问题的关键是：把其中的一个未知数消去，变成只含有一个未知数的方程． 例 2：假如 20 只兔子可换 2 只羊，9 只羊可换 3 头猪，8 头猪可换 2 头牛，那么用 5 头牛可换 600 只兔子．
A．甲
B．乙
C．丙
D．无法确定
2．公园门口的售票牌上写着：门票 4 元一张，每 20 人的团体票享受 8 折优惠，小明一行去了 28 人，怎样
高中数学(人教B版)等式的性质与方程的解集
(5) m(m 1) 0.
(5) m 0 或 1 时成立.
(6) t 3 1 (t 1)(t 2 t 1).
(6) 立方和公式.
恒等式
定义 含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成
立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等.
恒等式是进行代数变形的依据之一，如
( x y) x ( y) x 2 x( y) ( y) x 2 xy y .
等式的性质与方程的解集
高一年级 数学
知识概要
一、等式的性质
二、恒等式
三、方程的解集
等式的性质
1. 对称性：
若 a b, 则 b a.
2. 传递性（等量代换）：
若 a b, b c, 则 a c.
等式的性质
3. 四则运算性质
• 等式的两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，等式仍
3 x 2 6 x.
总结 法二较为简便，利用了整体的思想.
启发 常见恒等式，准确记忆、灵活运用.
十字相乘法
考察恒等式
( x a )( x b) x (a b) x ab.
2
问题 二次三项式 2 + + 的因式分解.
C a b, D ab x Cx D ( x a )( x b).
(1) a 2 b 2 (a b)(a b).
(1) 平方差公式.
(2) ( x y ) 2 x 2 2 xy y 2 .
(2) 两数和的平方公式.
(3) 3 x 6 0.
(3) x 2 时成立.
(4) (a b)c ac bc.
《等式的性质与方程的解集》 知识清单
《等式的性质与方程的解集》知识清单一、等式的性质1、等式的基本性质等式就像是一架天平，如果两边的重量相等，天平就会保持平衡。
在数学中，等式也有类似的性质。
性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立。
比如：若 a ＝ b，那么 a ＋ c ＝ b ＋ c，a c ＝ b c。
这就好比天平两边同时加上或减去相同重量的物体，天平仍然平衡。
性质 2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为 0 的整式，等式仍然成立。
例如：若 a ＝ b，且c ≠ 0，那么 ac ＝ bc，a÷c ＝ b÷c。
就像天平两边同时扩大或缩小相同的倍数（非零），天平依然保持平衡。
2、等式的对称性如果a ＝b，那么b ＝a。
这意味着等式的左右两边可以互换位置，等式依然成立。
3、等式的传递性若 a ＝ b，b ＝ c，那么 a ＝ c。
就好像三个物体依次排列，第一个和第二个相等，第二个和第三个相等，那么第一个和第三个也必然相等。
二、方程的概念方程是含有未知数的等式。
例如：2x ＋ 3 ＝ 7 就是一个方程，其中x 是未知数。
方程中的未知数通常用字母表示，通过解方程可以求出未知数的值。
三、方程的解与解集1、方程的解使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
比如在方程 2x ＋ 3 ＝ 7 中，当 x ＝ 2 时，方程左边＝ 2×2 ＋ 3 ＝7，方程右边＝ 7，左右两边相等，所以 x ＝ 2 就是这个方程的解。
2、方程的解集一个方程的所有解组成的集合，称为这个方程的解集。
有些方程可能只有一个解，比如一元一次方程；而有些方程可能有多个解，甚至有无穷多个解。
四、一元一次方程1、定义只含有一个未知数，且未知数的次数都是 1 的整式方程叫做一元一次方程。
其标准形式为：ax ＋ b ＝ 0（其中a ≠ 0，a、b 为常数）。
2、解法一般通过移项、合并同类项、系数化为 1 等步骤来求解。
例如：解方程 3x 5 ＝ 7首先，将－5 移到右边得到 3x ＝ 7 ＋ 5，即 3x ＝ 12。
等式的性质
从等式到方程一、等式的基本性质1、等式的两边同加（或同减）同一个数，结果仍然相等； 即：若则,b a =.c b c a ±=±2、等式的两边同乘同一个数，结果仍然相等； 即：若.,bc ac b a ==则3、等式的两边同除以一个数（不为零），结果仍然相等。
即：若cb c a c b a =≠=则且,0,4、等式的对称性： 即：若a b b a ==则,5、等式的传递性：（等量代换） 即：若c a c b b a ===则,,典型例题1、（考查等式的性质及其变形）判断下列说法，并说明理由。
（1）若c b b a +=+，则c a =； （2）若bc ab =，则c a =； （3）若bcb a=，则c a =；（4）若b c b a -=-，则c a =；（5）若1=xy ，则yx 1=；（6）若y xy =，则1=x 。
（7）若31x =，则31=x 。
（8）若z y y x 3,2==，则32x z =。
说明：①在使用等式的性质3时，一定要注意除数不为0的条件，②还要注意题目中的隐含条件，比如1=xy 隐含着0≠y ；而y xy =中则没有。
例 2 用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据哪条性质以及怎样变形的：（1）如果853=+，那么-=83 ； （2）如果632=-x ，那么+=62x ；（3）如果123--=x x ，那么+x 3 1-=；（4）如果521=x ，那么=x ； （5）如果21231-=-x x ，那么-x 31 +-=21 ；（6）如果2)32(4=-x ，那么32-x = ；（7）如果22-=-y x ，那么=x ； （8）如果32y x =，那么=x 3 ．说明：本题是等式性质的应用，可以结合小学加减乘除的逆运算来加深理解。
二、方程：含有未知数的等式叫方程。
1、一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的指数是一次的整式方程。
六年级数学等量关系知识点
六年级数学等量关系知识点数学是一门抽象而又普遍的科学，同时也是充满逻辑和推理的学科。
在数学学科中，等量关系是一个重要的概念，在六年级的学习中，学生需要掌握并应用等量关系的知识。
本文将介绍六年级数学中的等量关系知识点。
一、什么是等量关系等量关系表示物体的两种属性或者两个量之间存在着相等的关系。
在数学中，等量关系常常用符号“=”来表示。
例如，2 + 3 = 5中的等号表示2 + 3和5之间存在着相等的关系。
二、等式和算式在数学中，等式是指两个表达式之间等于关系的陈述。
等式中的等号表示左右两边的表达式是相等的。
例如，2 + 3 = 5就是一个等式。
而算式是指可以进行运算的等式。
例如，2 + 3 = 5就是一个算式。
三、等量关系的性质等量关系具有一些重要的性质，这些性质可以帮助我们进行等式的变形和运算，进而解决问题。
1. 传递性等量关系具有传递性，即如果a = b，b = c，那么a = c。
例如，如果2 + 3 = 5，5 = 7，那么我们可以得出2 + 3 = 7。
2. 对称性等量关系具有对称性，即如果a = b，那么b = a。
例如，如果2 + 3 = 5，那么我们可以得出5 = 2 + 3。
3. 替换性等量关系具有替换性，即在等式的两边同时替换相等的量，等式仍然成立。
例如，如果2 + 3 = 5，那么我们可以将2 + 3替换为5，得到5 + 3 = 5。
四、等量关系的运算在解决数学问题时，我们常常需要进行等量关系的运算。
以下是几种常见的等量关系运算。
1. 相等量的加减运算如果等式两边分别加上或者减去相等的量，等式仍然成立。
例如，如果3 + 2 = 5，那么我们可以得出3 + 2 + 4 = 5 + 4。
2. 相等量的乘除运算如果等式两边同时乘以或者除以相等的非零量，等式仍然成立。
例如，如果4 × 2 = 8，那么我们可以得出4 × 2 × 3 = 8 × 3。
2024年中考数学专题复习讲义+：证明线段相等的常用方法
A CB D PQ证明线段相等的常用方法一、证明两线段相等常用方法 1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.等于同一线段的两条线段相等。
二、例题讲解1.证明两线段是全等三角形的对应边如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。
例1.如图， B 、C 、D 在一直线上，△ABC 与△ECD 都是等边三角形，BE 、AD 分别交AC 、EC 于点G 、F 。
（1）求证：AE=BD （2）求证 CG=CF例2．如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内．求证：（1）∠PBA =∠PCQ =30°；（2）P A =PQ ．例3.已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 为圆上两点，且弧CB ＝弧CD ，CF ⊥AB 于点F ，CE ⊥AD 的延长线于点E ．试说明：DE ＝BF ；2、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法例1.如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。
例2. 如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC＝∠ABC，D 是弧AC 的中点，连接BD交AC 于G , 过D 作DE⊥AB于E，交AC于F．求证：FD＝FG3、证明两线段都等于第三线段或者第三个量等量代换：若a=b，b=c，则a=c；等式性质：若a=b，则a－c=b－c例1、已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=ACBACDF21E例2.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 是BC 的中点,DE ⊥AB 于E ，BF ∥AC 交DE 的延长线于F.求证：(1)BD=BF(2)AD=CF (3)AF=CF【巩固练习】1、已知，如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 上和AD 的延长线上，且BE=DF ，连接EF ，G 为EF 的中点．求证：（1）CE=CF ；（2）DG 垂直平分AC ．2.如图，P 为正方形ABCD 边BC 上任一点，BG ⊥AP 于点G ，在AP 的延长线上取点E ，使AG=GE ，连接BE ，CE ． （1）求证：BE=BC ；（2）∠CBE 的平分线交AE 于N 点，连接DN ，求证： ； （3）若正方形的边长为2，当P 点为BC 的中点时，请直接写出CE 的长为CADE FB。
如何理解数学中的等量关系
如何理解数学中的等量关系全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数学中的等量关系是数学中非常重要的一个概念，它涉及到数学运算中的基本概念和规律。
理解数学中的等量关系不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还可以提高我们解题的能力和思维逻辑。
在数学学习中，掌握等量关系是非常重要的一环。
今天，我们就来详细了解一下数学中的等量关系。
什么是数学中的等量关系呢？等量关系指的是两个数或者两个式子的值相等的关系。
在数学中，我们会经常遇到这样的问题：给定两个式子或者表达式，我们需要通过运算来判断它们是不是等量关系。
对于简单的加法和减法运算，我们可以通过计算来确定它们的值是否相等。
在理解等量关系时，我们要注意以下几点：1. 等式的性质：在数学中，等式有自己的性质。
对于一个等式，我们可以在两边同时进行相同的操作，保持等式成立。
如果一个等式两边同时加上或者减去同一个数，等式仍然成立。
这是因为两边的值是相等的，所以它们经过相同的操作之后，仍然是相等的。
2. 等式的变形：在解题过程中，我们常常需要对等式进行变形。
变形是指通过一系列的等式变换，将原来的等式转化成另一个等式。
在变形的过程中，我们要注意保持等式的性质，确保等式的成立性不会受到改变。
3. 等式的解题方法：在解题时，我们可以通过代入法、等式变形法等方法来判断等式的成立性。
对于复杂的等式，我们需要通过逐步推导的方法来求解。
通过这些解题方法，我们可以更加直观地理解等量关系。
第二篇示例：在数学中，等量关系是指一个方程式表明两边的量是相等的关系。
在学习和理解数学中的等量关系时，我们需要重点关注方程中的变量和系数，以及如何通过代数运算来求解和验证等量关系。
本文将简要介绍如何理解数学中的等量关系，帮助读者更好地掌握这一概念。
一、理解等量关系的基本概念在数学中，等量关系通常以方程的形式呈现，例如：2x + 3 = 7。
这个方程表示左边的表达式2x + 3与右边的数7是相等的关系。
解这个方程，就是要找到使得等式成立的变量x的取值。
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代数式中的等量代换技巧
掌握代数式中的等量代换技巧，如合并同类项、提取公因式、分式的通分等，能够提高代数运算的效率和准确性。
复杂图形中的等量代换
图形中的等量代换
在几何图形中，可以通过等量代换来 证明某些性质或关系。例如，在三角 形中，可以通过等量代换证明某些边 或角的关系。
图形中的等量代换技巧
掌握图形中的等量代换技巧，如利用 相似三角形的性质、利用平行四边形 的性质等，能够提高几何证明的效率 和准确性。
数表达式在替换后仍然相等。
图形中的等量代换
在几何图形中，等量代换通常是指通过替换图形中的某些部分，使其变为另一个等 面积或等周长的图形。
例如，在三角形中，可以通过等量代换将一个边替换为与其相邻的两段相等的小段， 从而形成一个新的三角形。
在进行图形中的等量代换时，需要注意保持图形的整体性质不变，如面积、周长等。
03
等量代换的方法与技巧
代数表达式中的等量代换方法
01
代数表达式中的等量代换
在代数表达式中，如果两个量相等，可以用一个量代替另一个量，从而
简化表达式。例如，在方程中，如果两个未知数相等，可以互相替换。
02 03
具体操作
在代数表达式中，如果两个量相等，可以将其中一个量用另一个量表示， 从而简化表达式。例如，如果$a = b$，则可以将$a$替换为$b$或将 $b$替换为$a$。
生活中的等量代换
在生活中，我们经常需要将一种物品或事物等价地替换成另一种物品或事物。例如，在购 物时，我们可以用一种物品的价格来估算另一种物品的价格。
具体操作
在生活中，如果两种物品或事物的价格相等或相似，可以用一种物品的价格来估算另一种 物品的价格。例如，在购物时，如果知道苹果的价格，可以用苹果的价格来估算梨的价格 。
等量代换文档
等量代换什么是等量代换？等量代换（Substitution）是一种数学方法，用于将一个变量或表达式替换为另一个等效的变量或表达式。
在数学、物理学和工程学等学科中，等量代换被广泛应用于简化问题或推导出更简洁的解决方式。
等量代换的基本原理等量代换的基本原理是根据等式的性质，将一个变量或表达式替换为另一个等效的变量或表达式，使得等式仍然成立。
等量代换常常根据特定的数学规则或公式进行操作。
代入法代入法是等量代换的一种常见形式。
在代入法中，我们将一个变量或表达式用另一个等效的变量或表达式替换，从而得到新的等式。
代入法可用于简化复杂的方程组或不等式，使其更易解。
例如，考虑以下方程组：2x + 3y = 83x - y = 2我们可以使用代入法解决这个方程组。
首先，根据第二个方程，我们可以将y用3x - 2替换掉。
然后将这个新的表达式代入第一个方程中，得到：2x + 3(3x - 2) = 8然后我们可以继续简化这个方程，得到11x - 6 = 8。
最后解出x的值为14/11，再代入第二个方程求得y的值。
公式替换等量代换也可以使用数学公式或规则进行替换。
根据不同的问题，我们可以使用各种公式进行等量代换，从而简化问题或推导出更简洁的解决方案。
例如，在微积分中，使用换元法对积分进行求解时，常常需要进行等量代换。
换元法的基本原理是将积分中的变量用另一个等效的变量进行替换。
这样可以使得被积函数更容易被求导或被积分。
等量代换的应用等量代换广泛应用于数学、物理学和工程学等领域。
在数学中，等量代换常用于解方程、求解积分、简化表达式等问题。
在物理学中，等量代换可用于解决复杂的物理方程。
例如，在运动学中，我们可以使用等量代换来简化速度、加速度等变量之间的关系，从而更好地描述物体的运动。
在工程学中，等量代换可用于解决工程方程中的复杂计算。
例如，在电路分析中，我们可以使用等量代换将复杂的电路等效化为更简单的形式，从而更方便进行电路分析和设计。
三年级科学(等量代换)
三年级科学(等量代换)1. 什么是等量代换？等量代换是在数学中的一个概念，指的是在方程式中用一个与之等价的表达式代替某个变量或常数。
在化学和物理中，等量代换也经常被使用。
2. 等量代换在化学中的应用2.1 化学平衡方程式中的等量代换在化学平衡方程式中，可以使用等量代换的方法来表达反应物与生成物之间的关系。
通过等量代换，我们可以根据给定的反应物质的物质量，推导出生成物的物质量。
2.2 摩尔、质量和体积的等量代换在化学中，摩尔、质量和体积之间也可以应用等量代换的原理。
根据物质的化学计量关系，我们可以通过化学方程式中的化学计量数将一个物质的数量转换为另一个物质的数量。
3. 等量代换在物理中的应用3.1 牛顿第二定律和等量代换在物理中，牛顿第二定律描述了物体受力情况下的加速度变化。
通过等量代换的方法，我们可以使用质量和加速度的关系来推导出物体所受力的大小。
3.2 能量转换和等量代换能量转换是物理学中一个重要的概念。
在能量转换的过程中，等量代换可以帮助我们计算不同形式的能量之间的转换比例，从而更好地理解能量的守恒和转换规律。
4. 等量代换的实际应用等量代换不仅在数学、化学和物理中有广泛应用，也在其他领域有着实际的用途。
例如，在工程学中，等量代换可以帮助工程师通过合适的参数替换，简化复杂的计算模型；在经济学中，等量代换可以帮助分析人员通过不同的变量代入来预测经济变化等。
5. 总结等量代换是一个重要的数学概念，在化学和物理中有着广泛的应用。
通过等量代换，我们可以简化问题的求解，推导出与原问题等价的表达式或关系。
在实际生活中，等量代换也有着广泛的应用，帮助我们理解和解决各种问题。
_注意：以上内容为简述，不代表详尽的解释和例证，请阅读相关教材和资料获取更多信息。
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数学等量代换
数学等量代换
数学等量代换是数学中一个非常重要的概念，它在解决问题、简化运算以及推导公式等方面都起着至关重要的作用。
通过等量代换，我们可以将复杂的数学问题转化为简单的形式，从而更容易理解和解决。
在数学中，等量代换的核心思想是用一个等价的表达式替换另一个表达式，从而不改变该表达式的值。
这种替换是基于数学等式的性质和运算规律，可以使得原问题更加简化或者更容易求解。
在解决实际问题时，等量代换是一种非常有效的方法。
例如，在图形问题中，我们可以通过等量代换将一个复杂的图形转化为一个简单的图形，从而更容易求解其面积或者周长。
又比如，在代数方程求解中，我们可以通过等量代换将一个复杂的方程转化为一个简单的方程，进而求得方程的解。
在数学推导中，等量代换也发挥着重要的作用。
通过等量代换，我们可以将一个复杂的公式转化为一个更简单的形式，从而方便我们进行推导和证明。
等量代换在微积分、矩阵计算以及概率统计等领域都有广泛的应用。
然而，等量代换并非是一个简单的操作。
它需要对数学性质和运算规则有深入的了解，并应用到具体的问题中。
在进行等量代换时，我们需要注意保持等式的平衡和真实性，以免引入错误的结果。
在学习数学等量代换时，我们应该注重理论与实践的结合。
除了掌握基本的等量代换技巧，还应该多做习题和实际问题的练习，从而提高我们的解题能力和数学思维能力。
总之，数学等量代换是数学中一种重要的思维方法和工具。
通过等量代换，我们可以更好地理解和解决数学问题，简化运算和推导过程。
因此，我们在学习数学的过程中，应该充分认识到等量代换的重要性，并不断提高我们的等量代换能力和应用水平。
三年级上 数学思维训练 奥数 第14讲 等量代换
三年级上数学思维训练奥数第14讲古代人怎么卖东西例题模块1等量代换知识割析:等量代换是指用一种量来代替和它相等的另一种量，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础.等量代换思想用等式的性质来体现就是:1.等式的传递性:如果a＝b，b＝c，那么a＝c2.等式的性质:(1)等式的两边同时加上或減去同一个数，等式仍成立（2)等式的两边同时乘或除以同一个数（0除外)，等式仍成立例1如图，一颗大钻石相当于几颗小钻石的重量图略练一练2只兔子的重量相当于6只小鸡的重量，3只狗的重量相当于4只兔子的重量。
那么，1只狗的重量相当于多少只小鸡的重量?例2等等的重量等于1只铁皮免和1只铁皮猪的重量，1只铁皮猪的重量等于1只铁皮兔和2只铁皮鸭子的重量，1只铁皮免的重量等于3只铁皮鸭子的重量，算一算等等的重量与几只铁皮鸭子的重量一样?例3已知买2个汉堡包的钱可以买5个冰激凌,买3个汉堡包的钱可以买10杯牛奶，买两杯牛奶的钱可以买3个蛋挞:(1)买60杯牛奶的钱可以买几个冰激凌?(2)买60个冰激凌的钱可以买多少蛋挞?模块2 综合应用例4等等去菜市场买菜,买了6斤土豆和5斤柿子椒,共花了27元.己知3斤土豆的价钱与2斤柿子椒的价钱相等.那么1斤土豆和1斤柿子椒各多少钱?例5等等第一次买回2斤牛肉和1斤羊肉,用去100元.第二次又买回5斤牛肉和2斤羊肉,用去235元.问:1斤牛肉和1斤羊肉的价格各是多少元?练一练学而思学校派等等去采购,等等第一次买了3个水瓶和20个茶杯,共用去134元:第二次又买了同样的3个水瓶和16个茶杯,又用去118元.请问等等买的茶杯和水瓶的单价各是多少元? 我的笔记家庭作业作业1下图中,最后一个盘子里应放几粒玻璃球才能使天平平衡?图略作业21个水晶西瓜的重量等于2个水晶哈密瓜的重量,1个水晶哈密瓜的重量等于8个水晶苹果的重量,2个水晶苹果的重量等于3个水晶柿子的重量,那么1个水晶西瓜的重量等于几个水晶柿子的重量？作业310只兔子的质量相当于3只鹅的质量,6只鹅的质量相当于1只小羊的质量,1只兔子重1千克,1只小羊重几千克?作业4博士去买奖品,第一次买回5个篮球和3个排球,用去318元.第二次又买回7个篮球和6个排球,用去510元.请问:1个篮球和1个排球各多少钱?你有我有大家有例题模块1乘法三律知识剖析:一,常用固定搭配:1.5x2=10;25x4=100;125x8=1000;625x16=10000;2.7x11x13=1001二、乘法三律:1.乘法交换律:axb=bxa2.乘法结合律:axbxc=ax(bxc)3.乘法分配律:(a+b)xc=axc+bxc;(a-b)xc=axc-bxc三,分拆思想:这里所说的分拆是指在计算的过程中以巧算为目的的分拆,为了使计算简便,我们常常把一个数写成两个数或多个数的和、差、积的形式,这种方法叫分拆.四、在乘法算式中,一个因数扩大或缩小n倍,同时另外一个因数缩小或扩大n倍,积不变. 例1计算:(1)5x31x2 (2)4x87x25 (3)125x119x8 (4)25x43x4例2计算:(1)25x16 (2)84x25 (3)125x72 (4)25x125x32例3 计算:(1)125x(80+8) (2)(100-4)x25 (3)45x11 (4)23x99练一练计算:(1)26x99 (2)123x999 (3)27x11 (4)56x101模块2 提取公因数知识剖析:提取公因数:axb+axc=ax(b+c)axb-axc=ax(b-c)例如:56x23+56x77=56x(23+77)=56x100=5600例4计算:(1)33x58+33x42 (2)154x83-54x83 (3)67x22+67x77+67例5 计算:80x75-150+75x22（练一练计算:99×22+33x34我的笔记家庭作业作业一计算作业1计算:(1)23×4×25(2)125×13×8(3)12×25(4)48×125作业2计算:(1)25×(40+4)(2)(100-8)x125作业3计算:(1)36×19+64×19(2)32×25+68×25(3)268×75-68×75作业4计算:35×20+70+35×78不能平均分怎么办模块1除法中的“分配律”知识剖析除法中的“分配律(a+b)÷c=a÷e+b÷c,反过来a÷c+b÷c=(a+b)÷c;（a-b）÷c=a÷c－b÷c,反过来a÷c-b÷c=(a－b)÷c注意,下面的形式均是不正确的!c÷(a+b)=c÷a+c÷b,c÷a+c÷b=c÷(a+b)例1计算:(1)(140+56+35)÷7(2)(360-72)÷6例2计算:(1)1÷5+2÷5+3÷5+4+5(2)756+8+223+8+21÷8(练一练)计算(1)(1300+260)÷13(2)(180-54)÷9(3)15÷20+25÷20+35÷20+45÷20模块2除法的运算性质知识剖析:1.商不变性质:被除数和除数同时乘或除以同一个非零的数，商不变.即a÷b＝(aXn)+(bxn)＝(a÷m)÷(b÷m) m≠0，n≠02.在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则(1)去括号:括号前是“÷”时，去括号要变号，即“x”变为“÷”，“÷”变为“x”a÷(bxc)=a÷b÷ca÷（b÷c）=a÷b×c2)添括号:要添的括号前是“÷”时，添括号后，原号“x”为“÷”，“÷”变为“x a÷(b÷c)＝a÷（b×c）a÷bxc=a÷(b÷c）(3)两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘，即（a×b）÷（cd）＝（a÷c）×（b÷d）＝（a÷d）×（b÷c）例3计算：（1）12200÷25（2）2800÷70（3）2300÷25例4计算: (1)2700÷4÷25(2)11100÷3÷25÷37例5计算: (1)1000÷125×16÷2(2)420÷(5×3×7)练一练计算：（1）12200÷25（2）2800÷70（3）2300÷25家庭作业作业1计算:(1)(1300+26)÷13(2)(1100-77-88)÷11(3)13÷10+117÷10 (4)981÷50+19÷50作业2计算:(1)225÷9÷5(2)45000÷125÷15作业3计算·(1)4900÷4÷25(2)7000÷2÷125÷4作业4计算:(1)432÷(8x9)(2)21×15÷5(3)(54x24)÷(9x4)数学老师的美术课模块1两量和倍知识剖析一基本概念:和倍词题，顾名思义就是已知两个数的和以及这两个数的倍数关系，求这两个数分别是多少的应用题，它是常见的典型应用题之ー.要想顺利地解答和倍应用题，最好的方法就是根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确迅速地列出算式二基本公式:一倍量(小数)＝两数和÷(倍数+1)多倍量(大数)＝一倍量(小数)x倍数，或多倍量(大数)＝两数和一小数三基本步骤:第一步:找出一倍量并用一段固定长度的线段表示出来第二步:找多倍量第三步:找总和:第四步:求一倍量第五步:求多倍量例1红药丸和白药丸共160颗、红药丸的颗数是白药丸的3倍，红药丸和白药丸各有多少颗？例2博士去年和今年共售书380万册，今年售书量比去年售书量的2倍还多20万册，问去年和今年各售书多少万册?练一练小猴子聪聪和明明共有28个香蕉，聪聪的香蕉比明明的2倍少2个，聪聪和明明各有几个香蕉?例3甲、乙两观众区原来共有观众561人，二十分钟后，从甲区离开40人，乙区进来10人，这时甲区人数正好是乙区人数的2倍，问甲、乙两区原来各有观众多少人?例4甲有105本书，乙有140本书，要使甲的书本数是乙的书本数的4倍。
六年级上册等量代换知识点
六年级上册等量代换知识点等量代换是数学中一个重要的概念，在六年级上册数学教材中也有相应的知识点。
下面将为大家介绍六年级上册等量代换的相关内容。
1. 等量代换的概念等量代换是指在一个数式中，用一个等值的代数式替代其中的某一部分，使得原数式的值保持不变。
通常使用代数式的平等性质来实现等量代换。
2. 等量代换的基本规则（1）可以用相等的数、式子或算式代换；（2）可以对等式两边同时进行某一操作，如加减乘除等；（3）可以将两个等式相等的部分分别代换，代换后仍然相等。
3. 等量代换的实际应用（1）方程求解在解方程的过程中，常常需要进行等量代换。
通过代换，可以简化方程，使求解过程更加简便。
（2）计算验证等量代换在计算中也经常出现。
通过代换，可以将复杂的计算问题转化为更简单的形式，便于计算和验证结果的正确性。
4. 等量代换的具体例子（1）例题一小明有一笔钱，花掉了其中的三分之一后还剩下300元，请问原来小明有多少钱？解答：设小明原来的钱数为x元，根据题目信息可得方程式：x - 1/3x = 300通过等量代换，将1/3x代换为原来的三分之一x，得到简化后的方程：2/3x = 300继续代换，将2/3x代换为原来的二分之一x，得到方程：1/3x = 150进一步进行代换，将1/3x代换为原来的三分之一x，得到：x = 450所以，小明原来有450元。
（2）例题二在一次减肥计划中，小红首先减去体重的四分之一，随后又减去体重的五分之一，最终体重为60千克，请问小红减肥前的体重是多少千克？解答：设小红减肥前的体重为x千克，根据题目信息可得方程：x - 1/4x - 1/5x = 60通过等量代换，将1/4x和1/5x分别代换为原来的四分之一x 和五分之一x，得到简化后的方程：7/20x = 60继续代换，将7/20x代换为原来的二十分之七x，得到方程：1/10x = 60进一步进行代换，将1/10x代换为原来的十分之一x，得到：x = 600所以，小红减肥前的体重为600千克。
5综合应用（学生）
一、 等量代换1. 等量代换是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。
等量代换思想用等式的性质来体现就是等式的传递性：如果a＝b,b＝c,那么a＝c。
等量代换是比较系统、抽象的数学思想方法。
通过本讲内容学习等量代换中推理的方法，让学生能对较复杂的物体进行代换，把多种物体用同一种物体表示出来，在代换的过程中培养学生严密的逻辑思维能力。
2. 生活中有很多相等的量，如平衡的天平、平衡的跷跷板两边的重量相等。
根据这些相等的关系进行推理，进而可以等量代换，找到答案。
1) 两个相等的量可以相互代换（包括重量相等、价格相等）。
2) 将不同等式中相同种类的物品通过加、减、乘、除转化成相同个数，这样可以形成新的等式。
3) 将两个不同等式中，左边物品相加，右边物品相加。
这样可以形成新的等式。
4) 如果天平不平衡，先求出天平左、右两端的物品在重量上相差多少，然后得出使天平平衡的方法。
二、 时间计算1. 钟面上有时针、分针、秒针和12个数。
较短的针叫做时针，较长的针叫做分针，另有一个细长的针叫做秒针。
2. 钟面上把一圈平均分成12个大格，每个大格又分成相等的5个小格。
这样，钟面上一圈共有60个相等的小格。
时针走1大格的时间是l 小时；时针走1圈的时间是l2小时。
分针走l 小格的时间是l 分钟；分针走1圈的时间是60分钟，也就是l 小时。
秒针走l 小格的时间是l 秒；秒针走1圈的时间是60秒钟，也第五讲综合运用知识概述就是l 分钟。
通常我们把15分钟叫做一刻钟。
即： l 刻钟=15分。
3. 时间的加减法：时、分、秒对应相加减，从秒开始，不够向前借1做60，满60向前进1。
4. 时间的乘法：从秒开始乘，满60向前进1；5. 时间的除法：先将单位统一为最小单位然后再做除法，余数应小于60。
三、 重叠问题1. 重叠问题要用到数学的一个重要原理：包含和排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分。
五年级数学等量代换
五年级数学等量代换一、等量代换的概念。
1. 定义。
- 在数学中，等量代换是指一个量用与它相等的量去代替。
例如，如果我们知道a = b，b = c，那么就可以得出a = c。
这就像用一个东西去替换另一个和它价值相等的东西一样。
2. 简单示例。
- 假如1个苹果的重量等于2个桔子的重量，1个桔子的重量等于3颗葡萄的重量。
那么1个苹果的重量就等于2×3 = 6颗葡萄的重量。
这里我们把桔子这个中间量，利用它与苹果和葡萄的等量关系，进行了代换。
二、在等式中的应用。
1. 等式性质与等量代换。
- 在等式中，如果a=b，那么在一个包含a的算式中，可以用b来代替a，反之亦然。
- 例如：已知x + 3=5，又知道y=x + 3，那么根据等量代换就可以得出y = 5。
2. 解方程组中的等量代换。
- 在简单的方程组中，等量代换是一种重要的解题方法。
- 例如：x + y=10 x = 4 + y- 我们可以把第二个方程x = 4 + y代入第一个方程中，得到(4 + y)+y = 10。
- 然后先计算括号内的式子4 + 2y=10，接着2y = 10 - 4，2y = 6，解得y = 3。
- 再把y = 3代入x = 4 + y中，得到x = 4+3 = 7。
三、在几何图形中的应用（如果有涉及到）1. 面积等量代换。
- 比如在一个长方形和一个平行四边形中，如果长方形的长和平行四边形的底相等，长方形的宽和平行四边形的高相等。
- 因为长方形的面积公式S =长×宽，平行四边形的面积公式S =底×高，那么根据等量代换，这个长方形和平行四边形的面积相等。
2. 体积等量代换（可能会在拓展内容中）- 例如一个正方体和一个长方体，如果正方体的棱长与长方体的长、宽、高都相等。
- 正方体的体积公式V =棱长×棱长×棱长，长方体的体积公式V =长×宽×高，根据等量代换可知它们的体积相等。
等量代换--2024年六年级下册小升初数学思维拓展
等量代换【知识点归纳】1．代换问题内容：“等量代换”是解决数学问题的一种常用方法．即两个相等的量，可以互相代换．等量代换的思想用等式的性质来体现，就是等式的传递性：如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ．这种数学思想方法不仅有着广泛的应用，而且是进一步学习数学的基础．2．代换主要方法：（1）列表消元法（2）等价条件代换．1．已知：要购买3千克黄豆和5千克绿豆一共要花42元钱，而要购买6斤黄豆和6斤绿豆价值要花60元钱．可是，这怎么能知道黄豆和绿豆各自的价格呢？2．3头牛、4匹马、1只羊每天共吃草73千克；1头牛、4匹马、3只羊每天吃草67千克；3头牛、1匹马、4只羊每天共吃草37千克．求1头牛、1匹马和1只羊每天各吃草多少千克？3．爸爸买一套西服、一条领带和一双皮鞋共用了1425元，已知西服的价钱比领带贵703元，西服和领带一共比鞋贵809元，求西服、领带、皮鞋的单价．4．红星运动鞋厂把300双运动鞋分别装在3只大箱和8只小箱里，正好装满，如果1只大箱与4只小箱装的运动鞋一样多，那么每只大箱和每只小箱各装多少双运动鞋？5．小明和小红去文具店买回了一些铅笔和橡皮，同学们问两样文具的单价，小明说：具体价钱我忘记了，反正我买了3支铅笔和1块橡皮，共花了2.30元，小红买了4支铅笔和1块橡皮，共花了2.80元．你能算出铅笔和橡皮的单价各是多少吗？6．学校上学期买回3个足球和2个篮球，用去370元；本学期价格不变，又买回6个足球和8个篮球，用去1120元．一个足球和一个篮球的售价各是多少元？7．甲乙两班的同学人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，已知甲班参加的人数恰好是乙班未参加人数的三分之一，乙班参加人数恰好是甲班未参加人数的四分之一，问甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的几分之几？8．美术小组第一天买了3盒彩笔和1支毛笔，共付款4元4角4分；第二天又买了同样的5盒彩笔和3支毛笔，共付款7元9角6分．问每盒彩笔和每支毛笔的价钱各是多少元？9．1包味精和1包糖共重600克，7包味精和4包糖共重2700克．每包味精和每包糖各重多少克？10．5辆自行车和2辆电动车总价5500元，2辆自行车和5辆电动车总价10600元，自行车和电动车的单价各是多少元？113辆大卡车，4天可以运完；如果用4辆小卡车，5天可以运完；如果用20辆手推车，6天可以运完．现在先用2辆大卡车，3辆小卡车和7辆手推车共同运2天后，全部改用手推车运，必须在两天内运完，那么后两天每天至少需要多少辆手推车？12．学校第一次买了4个热水瓶和20个茶杯，共用去172元；第二次又买了同样的4个热水瓶和16个茶杯，共用去152元．热水瓶和茶杯的单价各是多少元？13．买4张办公桌和9把椅子共252元，1张桌子和3把椅子的价钱相等，桌、椅的单价各是多少？14．一家三口人，父亲与儿子年龄加起来是51岁，母亲与儿子年龄加起来是47岁，父亲、母亲、儿子三人年龄加起来是87岁，问：父亲、母亲、儿子的年龄各是多少？15．买甲种布8米，乙种布18米，共用去378元．已知1米甲种布和3米乙种布的价钱相等．求甲乙两种布的单价各是多少元？16．1只兔子的重量加上1只猴子的重量等于8只鸡的重量，3只兔子的重量等于9只鸡的重量，那么1只猴子的重量等于多少只鸡的重量？17．食堂第一次运进3袋大米和5袋面粉，共550千克；第二次运进5袋大米和7袋面粉，共850千克．大米和面粉每袋各重多少千克？18．5头牛6匹马每天吃草139千克，6头牛5匹马每天吃草125千克，每头牛每天吃草多少？每匹马每天吃草多少？19．大家去文风公园游玩，3个大人和8个小孩共需门票93元，5个大人和15个小孩共需门票165元．问一个大人和一个小孩的门票各需多少元？20．甲班和乙班共83人，乙班和丙班共86人，丙班和丁班共88人．问甲班和丁班共多少人？21．有篮球、足球、排球三种球．篮球3个、足球2个、排球1个，共值196元；篮球1个、足球3个、排球2个共值200元；篮球2个、足球1个、排球3个共值168元．每种球的单价各是多少？22．甲、乙两人加工零件，甲做4小时，乙做6小时，两人共做196个；甲做6小时，乙做4小时，则共做204个，甲、乙1小时共做多少个？两人每小时各做多少个？23．买一个娃娃的钱可以买2个小电子琴，买一个小电子琴的钱可以买2只玩具猫，买一个娃娃的钱可以买几只玩具猫？24．学校食堂运进大米和面粉共750千克，当用去大米的13和面粉的35时，还剩下420千克，运来面粉多少千克？25．小红买了5支铅笔，小华买了4支毛笔，共用去2元2角．小红和小华互相对换了一支笔，结果两个人各自所有的笔总价钱相等．问：每支毛笔和每支铅笔各多少元？26．一条鱼，鱼尾重4千克，鱼头重量等于鱼尾加上鱼身重量的一半，而鱼身重量等于鱼头加鱼尾的重量．问这条鱼重多少千克？27．（1）桔子和苹果共有360个，桔子又是苹果个数的2倍，桔子有多少个？（2）商店运来300双鞋，分别放在2个木箱和6个纸箱内，如果2个纸箱的1个木箱装得一样多，那么每个木箱可以装多少鞋？28．学校买足球和篮球若干，六年级买了4个足球和2个篮球，共付人民币420元．五年级买回了1个足球和2个篮球共付240元．一个篮球和一个足球价格各是多少元？29．小明买了3本练习册，2本作文册，1本大字本用了3元4角；小辉买了1本练习册，3本作文册，2本大字本共用去4元8角；小华买了2本练习册，1本作文册，3本大字本共用了3元8角．练习册、作文册、大字本单价各多少？30．工地上有两堆水泥，共重100吨，甲堆的14和乙堆的56共重60吨，甲、乙两堆各重多少吨？31．小亮家养了40只鸡、50只鸭子，每天需要喂饲料15千克；小红家养了100只鸡、30只鸭子，每天需要喂饲料28千克，一只鸡、一只鸭子每天需要饲料各多少千克？32．1头象的重量等于4头牛的重量，1头牛的重量又等于3匹小马的重量，而1匹小马的重量刚好与4头小猪的重量相同，那么1头象的重量等于几头小猪的重量？33．王华买4件相同的上衣和9条相同的裤子共用去1200元，已知2件上衣相当于3条裤子的价格．求上衣和裤子的单价．34．3头牛和4只羊一天共吃草77千克,6头牛和5只羊一天共吃草130千克．每头牛,每只羊每天各吃草多少千克35．（1）古代一个国家，1头猪可以换3头羊，1头牛可以换10头猪，那么90头羊可以换多少头牛？（2）20只兔子可以换2只羊，9只羊可以换3头猪，8头猪可以换2头牛，那么5头牛可以换多少只兔子？36．甲买了5本故事书，乙买了4本连环画，共用了44元钱．如果甲和乙交换一本书，那么两人所有书的价钱相等．故事书和连环画每本多少钱？37．六年级师生参观科技展览馆，买儿童票52张，成人票7张，共花了330元．成人票是儿童票的2倍．两种票价各是多少元？38．3筐苹果和5筐梨共重138千克，同样的9筐苹果和4筐梨共重216千克，每筐苹果和每筐梨各重多少千克？39．有大、小两种玻璃球，6个大的和14个小的共290克，而15个大的与2个小的共296克，求每个大球和每个小球的重量．40．聪明昊买水果回来，他买4千克梨和5千克荔枝，正好花掉了58元．帅气铮问：“你买的梨和荔枝各多少钱一千克？”聪明昊一脸神秘，”如果我买6千克梨和5千克荔枝，就需要花掉62元．”帅气铮笑了，“昊昊，我知道答案啦！”小朋友们，你知道答案吗？41．有大米20袋、面粉12袋，共2300千克，2袋大米的量与8袋面粉的量相等．大米和面粉每袋各多少千克？42．妈妈买回4米花布、5米白布共用了12元8角；隔壁王阿姨买了6米花布、6米白布共用去16元8角．问花布和白布各多少钱一米？43．3头牛、8只羊一天共吃草86千克，5头牛、15只羊一天共吃草150千克，求一头牛和一只羊一天共吃草多少千克？44．李老师买了4支钢笔和8个笔记本，共花了136元。
等量代换和等式性质的区别
等量代换和等式性质的区别
等式的性质：等式两边同时加上或减去一个相等的数，等式仍成立。
等式两边同时乘以或除以一个不为零的数，等式仍成立。
等量代换是用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）。
等式拓展性质
拓展1：等式两边同时被一个数或式子减，结果仍相等。
如果a=b，那么c-a=c-b。
拓展2：等式两边取相反数，结果仍相等。
如果a=b，那么-a=-b。
拓展3：等式两边不等于0时，被同一个数或式子除，结果仍相等。
；
如果a=b≠0，那么c/a=c/b。
拓展4：等式两边不等于0时，两边取倒数，结果仍相等。
如果a=b≠0，那么1/a=1/b。
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性质4
若a=b则b=a，对称性
二、等量代换
用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）
狭义的等量代换思想用等式的性质来体现就是等式的传递性：如果a=b,b=c,那么a=c。
就是：“如果李四是张三的同义词，张三是人，那么李四是人”。
三、示例
如：
∵BC=1/2 AB
一、等式性质
含有等号的式子叫做等式(数学术语).
性质1
等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式仍然成立。
若a=b
那么a+c=b+c
性质2
等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式·c
或a÷c=b÷c（c≠0）
性质3
等式具有传递性。
若a1=a2,a2=a3,a3=a4,……an=an,那么a1=a2=a3=a4=……=an
∴2BC=AB（等式的性质）
∵BC=1/2 AB
AC=1/2 AB
∴BC=AC（等量代换）
∵a= b+c,
∴b = c-a（等式性质）
又∵d = c–a
∴b =a（等量代换）
这里等式的传递性就是等量代换,如果考试中拿不准都填“等式性质”。