量子力学34算符之间的对易关系
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2
c3,1 4 / 9
2
c2,2 4 / 9
2
c1,1 1/ 9
L2 12 2 4 6 2 4 2 2 1 74 2
9
9
99
L z 4 2 4 () 1 11
9
9
99
• 解法二 由 cn n*d 得 clm Ylm* ( ,) ( ,)d
由 Ylm ( ,) 正交归一性得
（34）
F G K 2
（35）
——不确定关系
• 两个力学量不对易时，导致两力学量不能同时有确定值, 或者说，它们不能有共同本征函数。 对不确定关系 应着重掌握其物理意义
例如
x,
px
i
,
K
所以
(x) 2
(px )2
2 4
或
x px 2
（36）
x 可见，若动量确定，px 0 ；则 x ，即位置 完全不
确定。试想，动量为 p 的自由粒子以波长 的状态
p
（平面波）弥散于空间时，你能说出粒子的确定位置吗？
• 反之，根据函数的性质，坐标本征函数可写为
(x) 1
eik r dk
(2 )3
（37）
• 即位于 x 点的波（粒子）是许多不同波长（动量）的平面
波的叠加，你能说出该波的波长（粒子的动量）是多少吗？
clm
2 3
l
,3
m,1
2 3
l
,
2
m
,
2
1 3
l
,1
m , 1
c3,1
2 3
c2,2
2 3
c1,1
1 3
• 例题二
在对某一状态进行测量时，同时得到能量
En
es2
18 2
,
L2 2 2 ,
Lz
能唯一确定这一状态吗？
解：能。因为三个力学量对易，
n 3,l 1, m 1
故共同本征态为
311(r, ,) R31(r)Y11( ,)
• 例题三 求粒子处于Ylm 时角动量x 分量和 y分量的平均
值 Lx , Ly , L2x 。
解：首先应注意，Ylm 是 L2 , Lz 的共同本征函数，而 L x , L y , L z
不对易，故Ylm不是 L x , L y 的本征函数。
利用对易关系
[Ly
,
Lz
]
i
Lx
，则
Lx Ylm* L x Ylmd
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时 有确定值的条件 测不准关系
• 讨论微观态 中某一力学量 F 时，总是以F 的本征值谱作 为力学量 F 的可能值。若我们同时观测状态 中的一组不同
力学量 F,G,，将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论 这个问题。
• 主要内容有： 一个关系：力学量算符之间的对易关系
p2
*
0
p 2 dx
2 A2
xex
0
d2 dx 2
(xex )dx
2 A2
0
(2x
2
x
2
)e 2x
dx
2
A2
2
1
(2
)
2
2
2
(2
)3
22
• 所以
(p) 2
p2
2
p
2 2
(x) 2
(px )2
3
42
22
3 2 4
1 2 4
满足不确定关系
作业:3.11、13
(14c)
其中 xi (i 1,2,3) (x, y, z) p j ( j 1,2,3) ( px , py , pz )
※坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其
它力学量的对易关系均可由此导出。
• 1.3 角动量算符的对易关系
[
Lx
,
x]
0,[Lx
,
y]
iz,[Lx
,
z]
iy
[L2 , Lz ] 0
• 2.2 逆定理：如果一组算符对易，则这组算符有组成完备
系的共同的本征函数。
这里仅就非简并本征函数系加以证明
若算符 F 和G 相互对易，对于 F 的本征函数n ，有
F n nn
（25）
F
(G
n
)
G(F
n
)
n
(G
n
)
（26）
可见G n也是算符
F
的属于本征值 n
的本征函数。已经
总之，不确定关系所揭示的是量子力学规律的特点，是粒子
具有波动性的必然结果。应用不确定关系估算一些力学量的
不确定范围可参见教材。
• 例题4 一维运动的粒子处在
(x)
Ax ex
0
( 0) 当x 0
当x 0
求 (x)2 (px )2 ?
解：归一化后可得 A 23/ 2 利用
0
x ne 2x dx
[
Ly
,
x]
iz,[Ly
,
y]
0,[Ly
,
z]
ix
(15)
[Lz
,
x]
iy,[Lz
,
y]
ix,[Lz
,
z]
0
• 只证明其中一个，请注意证明方法
[Lx , y] [y pz z py , y] [y pz , y] [z py , y]
y[ pz , y] [ y, y] pz z[ py , y] [z, y] p y
(10)
[F G, M ] F[G, M ] [F, M ]G
(11)
• 1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 坐标算符是乘数因子 相互对易
x, y 0 [ y, z] 0 [z, x] 0
动量算符是微分算符
因为 2 2 则 xy yx
px
,
py
0
p
y
,
p
z
0
p
z
,
三个定理:
共同本征态定理（包括逆定理）
不确定关系
力学量守恒定理
• 1 算符之间的对易关系
1.1 算符的基本运算关系
（1）算符之和：算符 F 与G 之和F G 定义为
(F G) F G
（1）
为任意函数
一般 F G G F ，例如粒子的哈
密顿算符是动能算符 T 与势能算符 U (r)之和
z[ py , y] iz
• 记忆方法：从左至右以 x y z x 依次循环指标为
正，任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。
• 以相同的推导方法和记忆规律，有
[
Lx
,
px
]
0,[Lx
,
py
]
i
pz
,[Lx
,
pz
]
i
py
[
Ly
,
px
]
i
pz
,[Ly
,
py
]
0,[Ly
,
pz
]
i
px
[
Lz
可以看出
L是z 的L2可, L能z 的值共、同概本率征及函L数2 ,所L 组z 成。，
列表对应求解：
Y3,1
Y2,2 Y1,1
L2 Ylm( ,) l(l 1)2Ylm( ,) L z Ylm ( ,) mYlm ( ,)
L2 12 2
L2 6 2
Lz
Lz 2
L2 2 2
Lz
c2
（30） （31）
•
注意， F
,
G
仍为厄米算符，若巧妙设计积分
I ( ) | F i G |2 d 0
（32）
• 利用 F, G 的厄米性，可推出(课本p91)
I ( ) ( F )2 K ( G)2 0
（33）
• 最后得出不确定关系(代数中二次式理论)
( F)2
(G)2
K2
4
共同的本征函数 Ylm ( ,) ，在 Ylm ( ,)态中，力学量 L2 , Lz 同时有确定值 l(l 1)2 及m 。
氢原子哈密顿算符
H
p2
U (r)
2
[H,
L2
]
[
p2
,
L2
]
[U (r),
L2
]
0
（28）
2
所以，H , L2 , Lz 对易，它们有组成完备系的共同的本征函
数 RnYlm ( ,) ，在该态中三者同时有确定值：En , l(l 1) 2 , m
n!
(2) n1
有
x
* xdx
A2
x3e2x dx 43
3
3
0
0
84 2
x2
*
x
2dx
A2
x 4e2x dx 43
3
3
0
0
45 2
所以
(x) 2
x2
2
x
3
9
3
2 42 42
p
*
pdx
iA2
xex d (xex )dx
0
0
dx
iA2 (x x2 )e2xdx 0 0
H
p2
U (r) T U (r)
2
（2）算符之积：算符 F 与 G 之积定义为
(F G) F (G )
（2）
算符之积对函数的作用有先后作用次序问题 一般不能颠倒
F G G F 0
（3）
n
个相同算符F
的积定义为算符
F
的n
次幂
例如
F
d
dx
则
F2
d2
dx 2
Fn
dn
dx n
为了运算上的方便，引入量子括号
假定n非简并，所以对应n 的两个本征函数n 和 Gn 最多
只能相差一个常数，所以
Gn nn
（27）
•
可见， n
同时也是G
的属于本征值 n的本征函数。同
理，对 F 的其它本征函数也有此结论。所以，F 和G 有组
成完备系的共同的本征函数。 例如，角动量算符 [L2 , Lz ] 0 ，所以它们有组成完备系的
p
x
0
坐标算符与动量算符：设 为任意函数
（12） （13）
p
x
x
x
px
ix
x
i (x ) i
x
ix
x
• 比较后可得
x px px x i
x,
px
i
（14a）
但是
x,
py
0
x,
p
z
0
（14b）
同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式
可概括为
xi
,
pj
i ij
1 i
Ylm* L y L z Ylmd
Ylm*
Lz
Ly
Ylm
d
1 i
Ylm* L y (L z Ylm )d
(L
z
Ylm
)*
L
y
Ylm
d
1 i
m
Ylm* L y Ylmd m
Ylm*
L
y
Ylm d
0
• 同理
Ly 0
• 由于坐标 x 与 y 的对称性，可得 L2x L2y ，故
这时才说
F
和
G
是对易的。这个结论可以推广到多个算
符，即
如果一组算符有共同的本征函数完备系
n
，则这组算符对易
例如 即在
L2
Ylm
Ym ( ,) l
(
,)
态中
(Ll2, L1)z同2Y时lm 有( ,确)定值Lzl
Ym ( ,) (l 1) 2及
mYlm ( ,)
m ，所以
Ylm ( ,) 是L2 , L z的共同的本征函数，并且是完备的，所以
[L2 , L j ] 0, j (1,2,3) (x, y, z)
(2) [Lj , p2 ] 0, [L, p2 ] 0, [L2 , p2 ] 0
（19） （20）
• （3）球坐标下 L 是 , 的函数，若有径向函数算符U (r)
则
[L,U (r)] 0, [L2 ,U (r)] 0
,
px
]
i
py
,[Lz
,
py
]
i
px
,[Lz
,
pz
]
0
（16）
另外有
[Lx , Ly ] i Lz
[L y , Lz ] i Lx
L L i L
[Lz , Lx ] i L y （17）
（18）
• 1.4 几个重要的推论
•
(1)
[L2 , Lz ] [L2x , Lz ] [L2y , Lz ] [L2z , Lz ] 0
我们定义：一组相互对易而又相互独立的力学量算符，
如果它们的共同的本征函数是非简并的，即这组本征值完全
确定一个共同本征函数，则这组力学量称为力学量完全集。
在完全集中，力学量的数目一般称为体系的自由度。
•
例题一
任意态
2 3
Y3,1
(
,
)
2 3
Y2,2
(
,
)
1 3
Y1,
1
(
,
)
解法一
求
态中 L2 ,
（21）
(4) [Li , r 2 ] 0 , [L, r 2 ] 0
（22）
• 2 共同本征函数完备系
2.1共同本征函数完备系带来算符对易
设两个算符
F n an
F及和G Gn有一b个n共，同即的在本n征态函中数可以n 同，时则确必定有
这两个力学量的数值，那么
(F G G F )n (ab ab )n 0
• 2.3 力学量完全集
有些情况下，力学量 F 的本征值是全部简并或部分简
并的，一个本征值对应若干个本征函数。所以，只以 F 的本
征F 值对不易足的以其完它全力确学定量本G 征。函如数果，F这,G时的必共定同存的在本和征F函独数立仍且然和
有简并，则必定还存在独立于
F
,
G
而又和
F,G
对易的其它
力学量 M ， F,G, M 的共同的本征函数是否还有简并？
这似乎提醒我们有 (F G G F) 0，但下结论过早，因为
这只是针对某一个特殊函数（本征函数
n），如果F
和G
有
一组完备的共同本征函数，对于任意态函数
cnn
n
（23）
• 有 (F G G F ) cn (F G G F )n 0 则
n
F G G F 0或 [F,G] 0
（24）
F
,
G
F
G
G
F
（5）
•若
F
,
G
0
（6）
•
称算符 F 与 G 是不对易的（不能交换位置）
即
F
G
G
F
•若
F
,
G
0
（7）
•
称算符
F
与wk.baidu.com
G
是对易的
即
F
G
G
F
• 下面几个经常使用的对易关系 请自行证明
[F
,
G]
[G,
F
]
(8)
[
F
,
G
M
]
[
F
,
G
]
[
F
,
M
]
(9)
[F,G M ] G[F, M ] [F,G] M
L2x
1 (L2 2
L2z )
1 [l(l 2
1) 2
m22]
2 2
(l 2
l
m2)
• 3 不确定关系
若算符 F 和G 不对易时，常记为
F G G F [F,G] i K
（29）
K 是一个力学量算符或普通的数。首先定义
F F F , G G G
[ F,G] [F,G] i K
c3,1 4 / 9
2
c2,2 4 / 9
2
c1,1 1/ 9
L2 12 2 4 6 2 4 2 2 1 74 2
9
9
99
L z 4 2 4 () 1 11
9
9
99
• 解法二 由 cn n*d 得 clm Ylm* ( ,) ( ,)d
由 Ylm ( ,) 正交归一性得
（34）
F G K 2
（35）
——不确定关系
• 两个力学量不对易时，导致两力学量不能同时有确定值, 或者说，它们不能有共同本征函数。 对不确定关系 应着重掌握其物理意义
例如
x,
px
i
,
K
所以
(x) 2
(px )2
2 4
或
x px 2
（36）
x 可见，若动量确定，px 0 ；则 x ，即位置 完全不
确定。试想，动量为 p 的自由粒子以波长 的状态
p
（平面波）弥散于空间时，你能说出粒子的确定位置吗？
• 反之，根据函数的性质，坐标本征函数可写为
(x) 1
eik r dk
(2 )3
（37）
• 即位于 x 点的波（粒子）是许多不同波长（动量）的平面
波的叠加，你能说出该波的波长（粒子的动量）是多少吗？
clm
2 3
l
,3
m,1
2 3
l
,
2
m
,
2
1 3
l
,1
m , 1
c3,1
2 3
c2,2
2 3
c1,1
1 3
• 例题二
在对某一状态进行测量时，同时得到能量
En
es2
18 2
,
L2 2 2 ,
Lz
能唯一确定这一状态吗？
解：能。因为三个力学量对易，
n 3,l 1, m 1
故共同本征态为
311(r, ,) R31(r)Y11( ,)
• 例题三 求粒子处于Ylm 时角动量x 分量和 y分量的平均
值 Lx , Ly , L2x 。
解：首先应注意，Ylm 是 L2 , Lz 的共同本征函数，而 L x , L y , L z
不对易，故Ylm不是 L x , L y 的本征函数。
利用对易关系
[Ly
,
Lz
]
i
Lx
，则
Lx Ylm* L x Ylmd
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时 有确定值的条件 测不准关系
• 讨论微观态 中某一力学量 F 时，总是以F 的本征值谱作 为力学量 F 的可能值。若我们同时观测状态 中的一组不同
力学量 F,G,，将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论 这个问题。
• 主要内容有： 一个关系：力学量算符之间的对易关系
p2
*
0
p 2 dx
2 A2
xex
0
d2 dx 2
(xex )dx
2 A2
0
(2x
2
x
2
)e 2x
dx
2
A2
2
1
(2
)
2
2
2
(2
)3
22
• 所以
(p) 2
p2
2
p
2 2
(x) 2
(px )2
3
42
22
3 2 4
1 2 4
满足不确定关系
作业:3.11、13
(14c)
其中 xi (i 1,2,3) (x, y, z) p j ( j 1,2,3) ( px , py , pz )
※坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其
它力学量的对易关系均可由此导出。
• 1.3 角动量算符的对易关系
[
Lx
,
x]
0,[Lx
,
y]
iz,[Lx
,
z]
iy
[L2 , Lz ] 0
• 2.2 逆定理：如果一组算符对易，则这组算符有组成完备
系的共同的本征函数。
这里仅就非简并本征函数系加以证明
若算符 F 和G 相互对易，对于 F 的本征函数n ，有
F n nn
（25）
F
(G
n
)
G(F
n
)
n
(G
n
)
（26）
可见G n也是算符
F
的属于本征值 n
的本征函数。已经
总之，不确定关系所揭示的是量子力学规律的特点，是粒子
具有波动性的必然结果。应用不确定关系估算一些力学量的
不确定范围可参见教材。
• 例题4 一维运动的粒子处在
(x)
Ax ex
0
( 0) 当x 0
当x 0
求 (x)2 (px )2 ?
解：归一化后可得 A 23/ 2 利用
0
x ne 2x dx
[
Ly
,
x]
iz,[Ly
,
y]
0,[Ly
,
z]
ix
(15)
[Lz
,
x]
iy,[Lz
,
y]
ix,[Lz
,
z]
0
• 只证明其中一个，请注意证明方法
[Lx , y] [y pz z py , y] [y pz , y] [z py , y]
y[ pz , y] [ y, y] pz z[ py , y] [z, y] p y
(10)
[F G, M ] F[G, M ] [F, M ]G
(11)
• 1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 坐标算符是乘数因子 相互对易
x, y 0 [ y, z] 0 [z, x] 0
动量算符是微分算符
因为 2 2 则 xy yx
px
,
py
0
p
y
,
p
z
0
p
z
,
三个定理:
共同本征态定理（包括逆定理）
不确定关系
力学量守恒定理
• 1 算符之间的对易关系
1.1 算符的基本运算关系
（1）算符之和：算符 F 与G 之和F G 定义为
(F G) F G
（1）
为任意函数
一般 F G G F ，例如粒子的哈
密顿算符是动能算符 T 与势能算符 U (r)之和
z[ py , y] iz
• 记忆方法：从左至右以 x y z x 依次循环指标为
正，任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。
• 以相同的推导方法和记忆规律，有
[
Lx
,
px
]
0,[Lx
,
py
]
i
pz
,[Lx
,
pz
]
i
py
[
Ly
,
px
]
i
pz
,[Ly
,
py
]
0,[Ly
,
pz
]
i
px
[
Lz
可以看出
L是z 的L2可, L能z 的值共、同概本率征及函L数2 ,所L 组z 成。，
列表对应求解：
Y3,1
Y2,2 Y1,1
L2 Ylm( ,) l(l 1)2Ylm( ,) L z Ylm ( ,) mYlm ( ,)
L2 12 2
L2 6 2
Lz
Lz 2
L2 2 2
Lz
c2
（30） （31）
•
注意， F
,
G
仍为厄米算符，若巧妙设计积分
I ( ) | F i G |2 d 0
（32）
• 利用 F, G 的厄米性，可推出(课本p91)
I ( ) ( F )2 K ( G)2 0
（33）
• 最后得出不确定关系(代数中二次式理论)
( F)2
(G)2
K2
4
共同的本征函数 Ylm ( ,) ，在 Ylm ( ,)态中，力学量 L2 , Lz 同时有确定值 l(l 1)2 及m 。
氢原子哈密顿算符
H
p2
U (r)
2
[H,
L2
]
[
p2
,
L2
]
[U (r),
L2
]
0
（28）
2
所以，H , L2 , Lz 对易，它们有组成完备系的共同的本征函
数 RnYlm ( ,) ，在该态中三者同时有确定值：En , l(l 1) 2 , m
n!
(2) n1
有
x
* xdx
A2
x3e2x dx 43
3
3
0
0
84 2
x2
*
x
2dx
A2
x 4e2x dx 43
3
3
0
0
45 2
所以
(x) 2
x2
2
x
3
9
3
2 42 42
p
*
pdx
iA2
xex d (xex )dx
0
0
dx
iA2 (x x2 )e2xdx 0 0
H
p2
U (r) T U (r)
2
（2）算符之积：算符 F 与 G 之积定义为
(F G) F (G )
（2）
算符之积对函数的作用有先后作用次序问题 一般不能颠倒
F G G F 0
（3）
n
个相同算符F
的积定义为算符
F
的n
次幂
例如
F
d
dx
则
F2
d2
dx 2
Fn
dn
dx n
为了运算上的方便，引入量子括号
假定n非简并，所以对应n 的两个本征函数n 和 Gn 最多
只能相差一个常数，所以
Gn nn
（27）
•
可见， n
同时也是G
的属于本征值 n的本征函数。同
理，对 F 的其它本征函数也有此结论。所以，F 和G 有组
成完备系的共同的本征函数。 例如，角动量算符 [L2 , Lz ] 0 ，所以它们有组成完备系的
p
x
0
坐标算符与动量算符：设 为任意函数
（12） （13）
p
x
x
x
px
ix
x
i (x ) i
x
ix
x
• 比较后可得
x px px x i
x,
px
i
（14a）
但是
x,
py
0
x,
p
z
0
（14b）
同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式
可概括为
xi
,
pj
i ij
1 i
Ylm* L y L z Ylmd
Ylm*
Lz
Ly
Ylm
d
1 i
Ylm* L y (L z Ylm )d
(L
z
Ylm
)*
L
y
Ylm
d
1 i
m
Ylm* L y Ylmd m
Ylm*
L
y
Ylm d
0
• 同理
Ly 0
• 由于坐标 x 与 y 的对称性，可得 L2x L2y ，故
这时才说
F
和
G
是对易的。这个结论可以推广到多个算
符，即
如果一组算符有共同的本征函数完备系
n
，则这组算符对易
例如 即在
L2
Ylm
Ym ( ,) l
(
,)
态中
(Ll2, L1)z同2Y时lm 有( ,确)定值Lzl
Ym ( ,) (l 1) 2及
mYlm ( ,)
m ，所以
Ylm ( ,) 是L2 , L z的共同的本征函数，并且是完备的，所以
[L2 , L j ] 0, j (1,2,3) (x, y, z)
(2) [Lj , p2 ] 0, [L, p2 ] 0, [L2 , p2 ] 0
（19） （20）
• （3）球坐标下 L 是 , 的函数，若有径向函数算符U (r)
则
[L,U (r)] 0, [L2 ,U (r)] 0
,
px
]
i
py
,[Lz
,
py
]
i
px
,[Lz
,
pz
]
0
（16）
另外有
[Lx , Ly ] i Lz
[L y , Lz ] i Lx
L L i L
[Lz , Lx ] i L y （17）
（18）
• 1.4 几个重要的推论
•
(1)
[L2 , Lz ] [L2x , Lz ] [L2y , Lz ] [L2z , Lz ] 0
我们定义：一组相互对易而又相互独立的力学量算符，
如果它们的共同的本征函数是非简并的，即这组本征值完全
确定一个共同本征函数，则这组力学量称为力学量完全集。
在完全集中，力学量的数目一般称为体系的自由度。
•
例题一
任意态
2 3
Y3,1
(
,
)
2 3
Y2,2
(
,
)
1 3
Y1,
1
(
,
)
解法一
求
态中 L2 ,
（21）
(4) [Li , r 2 ] 0 , [L, r 2 ] 0
（22）
• 2 共同本征函数完备系
2.1共同本征函数完备系带来算符对易
设两个算符
F n an
F及和G Gn有一b个n共，同即的在本n征态函中数可以n 同，时则确必定有
这两个力学量的数值，那么
(F G G F )n (ab ab )n 0
• 2.3 力学量完全集
有些情况下，力学量 F 的本征值是全部简并或部分简
并的，一个本征值对应若干个本征函数。所以，只以 F 的本
征F 值对不易足的以其完它全力确学定量本G 征。函如数果，F这,G时的必共定同存的在本和征F函独数立仍且然和
有简并，则必定还存在独立于
F
,
G
而又和
F,G
对易的其它
力学量 M ， F,G, M 的共同的本征函数是否还有简并？
这似乎提醒我们有 (F G G F) 0，但下结论过早，因为
这只是针对某一个特殊函数（本征函数
n），如果F
和G
有
一组完备的共同本征函数，对于任意态函数
cnn
n
（23）
• 有 (F G G F ) cn (F G G F )n 0 则
n
F G G F 0或 [F,G] 0
（24）
F
,
G
F
G
G
F
（5）
•若
F
,
G
0
（6）
•
称算符 F 与 G 是不对易的（不能交换位置）
即
F
G
G
F
•若
F
,
G
0
（7）
•
称算符
F
与wk.baidu.com
G
是对易的
即
F
G
G
F
• 下面几个经常使用的对易关系 请自行证明
[F
,
G]
[G,
F
]
(8)
[
F
,
G
M
]
[
F
,
G
]
[
F
,
M
]
(9)
[F,G M ] G[F, M ] [F,G] M
L2x
1 (L2 2
L2z )
1 [l(l 2
1) 2
m22]
2 2
(l 2
l
m2)
• 3 不确定关系
若算符 F 和G 不对易时，常记为
F G G F [F,G] i K
（29）
K 是一个力学量算符或普通的数。首先定义
F F F , G G G
[ F,G] [F,G] i K