黑龙江省哈尔滨市2023-2024学年高一下学期寒假验收考试 数学含答案

哈高一学年寒假验收考试数学试卷（答案在最后）
考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分．考试时间为60分钟；
（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（共50分）
（一）单项选择题（共7小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
16πsin 3⎛⎫-=
⎪⎝⎭（）
A. B.12
-
C.
32
D.
12
2.已知全集{}2,2,4,6U =-，集合{}{}2,2,4,2,4,6A B =-=，则()U A B = ð（）
A.
{}
2,4 B.
{}
2,6- C.
{}
2 D.
{}
63.在同一平面直角坐标系中，函数1x
y a
-=，(2log 1)a y x a =>的图象只可能是（
）
A.
B.
C.
D.
4.已知0x >，0y >，且31
1x y +=，则2x x y y
++的最小值为（）
A.9
B.10
C.12
D.135.
已知0.1232,log log a b c ===，则实数a ，b ，c 的大小关系是（
）
A.c a b >>
B.c b a >>
C.a c b
>> D.a b c
>>
6.已知函数()231212,1,31,1,x
x x x f x x ⎧-+≥⎪
=⎨-<⎪⎩
若()()()()1234f x f x f x f x t ====，且12x x ≠≠34x x ≠，则t 的取值范围是（）A
.
()0,1 B.
()
0,2 C.
()0,3 D.()
1,37.设()f x 是R 上奇函数，且满足：对任意的()120x x ∈-∞，，
且12x x ≠都有()()1212
0f x f x x x -<-，
()10f =，则()0xf x <的解集是（）A.{10x
x -<<∣或01}x << B.{1x
x <-∣或01}x <<C.{10x
x -<<∣或1}x > D.{1x
x <-∣或1}x >（二）多项选择题（共3小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
8.已知,,,a b c d ∈R ，则下列结论中正确的有（）
A.若0,0a b ac bd >>>>，则c d >
B.若
11a b
<，则a b
>C.若22ac bc >，则a b >D.若
22
11a b ab >，则a b <9.已知函数222,0
(),0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨--<⎩
为奇函数，则下列说法正确的为（
）
A.2a =-
B.2
a =C.((1))1
f f -=- D.()f x 的单调递增区间为,1(),)
1(-∞-⋃+∞10.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，
||2
ϕπ
<）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（）
A .
π3
ϕ=
B.函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫
-
⎪⎝⎭
对称C.函数()f x 在5,1212ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增D.将函数()f x 的图象向右平移
π12个单位得到函数πsin 2)4(x g x ⎛
⎫+ ⎪=⎝
⎭的图象
第Ⅱ卷（非选择题，共50分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）
11.幂函数221()(22)m f x m m x -=+-在区间(0,)+∞上单调递增，则实数m 的值为________．12.已知函数(
)()ln 1f x x =
-，则()2f x 的定义域为______．
13.已知函数2()2,(),f x x g x x x =-=∀∈R ，用()M x 表示(),()f x g x 的最小值，记为
{}()min (),()M x f x g x =，那么()M x 的最大值为______．
14.设函数(
)sin f x x x ωω=
+，且函数()()2
4g x f x =-⎡⎤⎣⎦在[]0,5πx ∈恰好有5个零点，
则正实数ω的取值范围是______________
三、解答题（本大题共2小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.
已知()sin sin cos 33f x x x x x ππ⎛
⎫⎛⎫
=+
-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）当,46x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的值域．16.
己知函数
()()
()
22222e 1e 2(),()e e ,R 2e e 1x
x x x x
x
f x h x a a ++=
=+-∈+．
（1）判断()f x 的奇偶性；
（2）己知12R,R x x ∃∈∀∈，都有()()12 f x h x ≤，求实数a 的取值范围．
哈高一学年寒假验收考试数学试卷
考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分．考试时间为60分钟；
（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（共50分）
（一）单项选择题（共7小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
16πsin 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）
A.2
B.12
-
C.
2
D.
12
【答案】C 【解析】
【分析】利用诱导公式化简可得出所求代数式的值.
【详解】16π16π4π4πππsin sin sin 4πsin sin πsin 3333332⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=-=-+=-=-+== ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝
⎭.故选：C.
2.已知全集{}2,2,4,6U =-，集合{}{}2,2,4,2,4,6A B =-=，则()U A B = ð（）
A.
{}
2,4 B.
{}
2,6- C.
{}
2 D.
{}
6【答案】B 【解析】
【分析】求出A B ⋂，再根据补集的运算，即可求得答案.【详解】由题意得{}2,4A B = ，则(){}2,6U A B =- ð，故选：B ．
3.在同一平面直角坐标系中，函数1x
y a
-=，(2log 1)a y x a =>的图象只可能是（
）
A.
B.
C. D.
【答案】C 【解析】
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性判断.
【详解】因为1a >，所以(2log 1)a y x a =>在定义域上递增，且1
01a
<<，所以11x
x
y a a -⎛⎫
== ⎪⎝⎭
在定义域上递减，故选：C
4.已知0x >，0y >，且31
1x y +=，则2x x y y
++的最小值为（）
A.9
B.10
C.12
D.13
【答案】D 【解析】
【分析】借助基本不等式中“1”的妙用即可得.【详解】()31322261x x y x x x y x y y x y y x y y
⎛⎫++
=+++=++++ ⎪⎝⎭
337713y x x y =+
+≥+，当且仅当33y x
x y
=，即4x y ==时，等号成立.故选：D.
5.已知0.1232,log log a b c ===，则实数a ，b ，c 的大小关系是（
）
A.c a b >>
B.c b a >>
C.a c b >>
D.a b c
>>【答案】D 【解析】
【分析】根据题意结合指、对数函数单调性运算求解.
【详解】因为232311
log log 3,log 222
b c ==
=，由2x y =在R 上单调递增，可得0.10122>=，即1a >；
由2log y x =在()0,∞+内单调递增，可得2221log 2log 3log 42=<<=，即1
12
b <<；由3log y x =在()0,∞+内单调递增，可得33log 2log 31<=，即1
2
c <；综上所述：a b c >>.故选：D.
6.已知函数()231212,1,
31,1,x
x x x f x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩
若()()()()1234f x f x f x f x t ====，且12x x ≠≠34x x ≠，则t 的取值范围是（）A.
()0,1 B.
()
0,2 C.
()0,3 D.()
1,3【答案】A 【解析】
【分析】作出()y f x =的大致图象，根据题意转化为()y f x =与y t =的图象有4个不同交点，结合图象，即可求解.
【详解】由题意，作出()y f x =的大致图象，如图所示，要使得()()()()1234f x f x f x f x t ====，
即函数()y f x =与y t =的图象有4个不同交点，则01t <<，所以实数t 的取值范围是()0,1．故选：
A.
7.设()f x 是R 上奇函数，且满足：对任意的()120x x ∈-∞，，
且12x x ≠都有()()1212
0f x f x x x -<-，
()10f =，则()0xf x <的解集是（）
A.{10x
x -<<∣或01}x << B.{1x
x <-∣或01}x <<C.{10x
x -<<∣或1}x > D.{1x
x <-∣或1}x >【答案】D 【解析】
【分析】由题得出()f x 的性质，然后作出草图即可得出答案.
【详解】对任意的()120x x ∞∈-，，
且12x x ≠都有()()1212
0f x f x x x -<-，所以()0x ∞∈-，时，()f x 严格减，
又()f x 是R 上奇函数，且()10f =，所以可以画出()f x 的草图如下：
由图易知，当1x >时，()0f x <，此时()0xf x <；当1x <-时，()0f x >，此时()0xf x <，故不等式
解集为{1x
x <-∣或1}x >，故选：D.
（二）多项选择题（共3小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
8.已知,,,a b c d ∈R ，则下列结论中正确的有（）
A.若0,0a b ac bd >>>>，则c d >
B.若
11a b
<，则a b >C.若22ac bc >，则a b >D.若
2211a b ab
>，则a b <【答案】CD 【解析】
【分析】根据不等式的性质判断CD ，再由特殊值判断AB.
【详解】A 选项，3a =，1c =，1b =，2d =满足0,0a b ac bd >>>>，但c d <，A 错误；
B 选项，由1a =-，1b =是一个反例，B 错误；
C 选项，由22ac bc >可得20c ≠，则a b >，C 正确；
D 选项，
222222111100b a b a a b ab a b ab a b
->⇒-=>⇒->，D 正确；故选：CD.
9.已知函数222,0
(),0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨--<⎩
为奇函数，则下列说法正确的为（
）
A.2a =-
B.2
a =C.((1))1f f -=- D.()f x 的单调递增区间为,1(),)
1(-∞-⋃+∞【答案】BC 【解析】
【分析】利用奇函数的性质()()f x f x -=-可求a 的值，代数求值可验证C 项，根据表达式作出函数图象可验证D 项.
【详解】因为函数()f x 为奇函数，(1)(1)f f ∴-=-，即1(12)a -+=--，解得2a =，故B 正确，A 错误；因为(1)121f -=-+=，所以((1))(1)1f f f -==-，故C 正确；
作出()f x 的图象，如图，所以()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞，D 选项形式错误，不能用并集的符号.故选：BC.
10.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，
||2
ϕπ
<）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（）
A.π3
ϕ=
B.函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫
-
⎪⎝⎭
对称C.函数()f x 在5,1212ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上单调递增D.将函数()f x 的图象向右平移π12个单位得到函数πsin 2)4(x g x ⎛
⎫+ ⎪=⎝
⎭的图象
【答案】ABC 【解析】
【分析】借助图象周期求出ω、再由定点结合范围求出ϕ，得出解析式后结合正弦型函数性质可得A 、B 、C ，结合函数图象的平移可得D ．【详解】对于选项A:由题意可得
7πππ
41234
T =-=，故πT =，则2π2πω=
=，7π7πsin 211212f ϕ⎛⎫⎛⎫
=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即
ππ72()62
πk k ϕ+=-+∈Z ，解得5π
2π3k ϕ=-+，
又||2
ϕπ<，即5233ππ
πϕ=-+=，故A 正确；
对于选项B:即π()sin 23f x x ⎛
⎫=+
⎪
⎝
⎭，当π6x =-时，有π
203
x +=，故()f x 的图象关于点π,06⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称，故B 正确；对于选项C:令π
23
t x =+，则sin y t =，当5ππ,1212x ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时，πππ2,322t x ⎡⎤=+∈-⎢⎣⎦，
而sin y t =在ππ,22⎡⎤
-
⎢⎣
⎦单调递增，故C 正确；对于选项D:将函数()f x 的图象向由右平移
π
12
个单位得到()ππππsin 2sin 2121236g x f x x x ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫=-=-+
=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦，故D 错误．故选：ABC ．
第Ⅱ卷（非选择题，共50分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）
11.幂函数221()(22)m f x m m x -=+-在区间(0,)+∞上单调递增，则实数m 的值为________．【答案】32
【解析】
【分析】利用幂函数的定义求解参数，再利用单调性取舍即可.【详解】()f x 为幂函数，22211m m m ∴--=∴=-或3
2
m =又()f x 在区间()0,∞+上单调递增，13210,22
m m m ∴->⇒>∴=故答案为：
32
12.已知函数()()ln 1f x x =-，则()2f x 的定义域为______．
【答案】12,2⎡⎫-⎪⎢⎣
⎭
【解析】
【分析】先求出函数()f x 的定义域，进而根据复合函数的定义域，即可求解．
【详解】由题意得，40
10x x +≥⎧⎨->⎩
，解得41x -≤<，
令421x -≤<，则1
22
x -≤<，故()2f x 的定义域为12,
2⎡⎫-⎪⎢⎣
⎭
.故答案为：12,
2⎡⎫-⎪⎢⎣
⎭
13.已知函数2()2,(),f x x g x x x =-=∀∈R ，用()M x 表示(),()f x g x 的最小值，记为
{}()min (),()M x f x g x =，那么()M x 的最大值为______．
【答案】1【解析】
【分析】在在同一坐标系中，画出2()2,()f x x g x x =-=的图像，根据条件，利用图像即可求出结果.【详解】由22x x -=，得到2x =-或1x =，在同一坐标系中，画出2()2,()f x x g x x =-=的图像，如
图所示，
因为{}()min (),()M x f x g x =，由图知，当1x =时，()M x 取到最大值为1，
故答案为：1.
14.设函数()sin f x x x ωω=+，且函数()()2
4g x f x =-⎡⎤⎣⎦在[]0,5πx ∈恰好有5个零点，则正实数ω的取值范围是______________【答案】531,
630⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】
【分析】先化简为()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，当05πx ≤≤时，得到333
πππ5πx ωω≤+≤+.若函数()()24g x f x ⎡⎤=-⎣⎦在[]0,5πx ∈恰好有5个零点，只需函数π()2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
在区间[]0,5π上恰有5条对称轴．结合正弦函数的图象可得9ππ11π5π223ω≤+<，求解即可.
【详解】由题意得()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫=
+=+ ⎪⎝⎭，令()()240g x f x ⎡⎤=-=⎣⎦，得()2f x =±，
因为函数()()24g x f x ⎡⎤=-⎣⎦在[]0,5πx ∈恰好有5个零点，所以函数π()2sin 3f x x ω⎛⎫=+
⎪⎝⎭在[]0,5π上恰有5条对称轴．当05πx ≤≤时，
333πππ5πx ωω≤+≤+，令π3x t ω+=ππ5π3
3t ω⎛⎫≤≤+ ⎪⎝⎭，
则sin y t =在π
π,5π33ω⎡⎤+⎢⎥⎣⎦
上恰有5条对称轴，如图：
所以9ππ11π5π223ω≤+<，解得531,630ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
．故答案为：531,630⎡⎫⎪⎢⎣⎭
三、解答题（本大题共2小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.已知()sin sin cos 33f x x x x x ππ⎛
⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．（1）求()f x 的单调递增区间；
（2）当,46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的值域．【答案】（1）(),Z 63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭-
，（2）51,44
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】
【分析】(1)利用两角和差的正弦和二倍角公式，化为正弦型函数，整体代入后求单调区间；
(2)由给定区间，求出22636x πππ⎛⎫⎡⎤-
∈- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦
，，再求函数()f x 的值域.【小问1详解】
11
()sin cos sin 222222f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
2213sin cos sin 2442x x x =-+()
31cos 21cos 2sin 2882
x x x +-=-+311sin 2cos 2224x x =
--
1sin 264x π⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭由222262
k x k πππππ+<-<+-
，()k ∈Z ，解得：63
k x k ππππ+<<+-，()k ∈Z ∴函数()f x 的单调递增区间为())Z 63k k k ππππ++∈(-，，；【小问2详解】当46x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，时，22636x πππ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，，1sin 2162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎝
⎭⎣⎦，151sin 26444x π⎡⎤⎛⎫⎡⎤--∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝
⎭⎣⎦⎣⎦，∴函数()f x 的值域为5144
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.16.己知函数()()
()22222e 1e 2(),()e e ,R 2e e 1x x x x x x f x h x a a ++==+-∈+．
（1）判断()f x 的奇偶性；
（2）己知12R,R x x ∃∈∀∈，都有()()12 f x h x ≤，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）偶函数
（2）52a ≥或49a ≤-.【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断，即可得答案；
（2）化简()f x ，利用换元法，令e e x x t -=+，将()f x 化为12y t t =+
，结合函数单调性求得其最小值，进而将不等式恒成立问题化为()()min f x h x ≤恒成立，继而可得294a m m -+≥+恒成立或294a m m -≤+恒成立，结合二次函数知识，即可求解.
【小问1详解】
由题意知函数()()()2222e 1e 2()2e e 1x x x x f x ++=
+的定义域为R ，故()()()()()()
2222222e 1e 22e 12e ()()2e e 12e 1e x x x
x x x x x f x f x ----++++-===++，故()f x 为偶函数；
【小问2详解】
由于()()()()()
224222222e 1e 2
2e 5e 22e 52e ()2e e 12e e 12e e x x x
x x x
x x x x x x f x --++++++===+++()
22(e e )12e e x x x x --++=+，令e e x x t -=+，则e e 2x x t -=+≥，当且仅当e e x x -=，即0x =时取等号，
故()(
)()2222e 1e 2()2e e 1x x x x f x ++=+，即为221122t y t t t
+==+，2t ≥，由于221122t y t t t
+==+在[2,)+∞上单调递增，故12y t t =+的最小值为19244+=，即()(
)()2222e 1e 2()2e e 1x x x x f x ++=+的最小值为94
；由于12R,R x x ∃∈∀∈，都有()()12f x h x ≤，
故只需()()2min f x h x ≤，即29e e 4
x x a +-≥
，x ∈R 恒成立，令e 0x m ,m =>，则294m m a +-≥恒成立，即294a m m -+≥+恒成立或294a m m -≤+恒成立，而294y m m -+=+，当12m =时取到最大值51219442++-=；299,(0)44y m m m =<+>--恒成立，故52a ≥或4
9a ≤-.【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于将12R,R x x ∃∈∀∈，都有()()12f x h x ≤，转化为函数的最值问题求解，然后结合不等式知识以及函数的单调性即可求解.。