2024年广东省高考数学真题及参考答案

2024年广东省高考数学真题及参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知集合{}
553
<<-=x x A ，{}3,2,0,13--=，B ，则=B A （
）
A.{}0,1-
B.{}
32， C.{}0,13--， D.{}
2,0,1-2.若
i z z
+=-11
，则=z （）
A.i --1
B.i +-1
C.i -1
D.i +13.已知向量()1,0=a
，()x b ,2= ，若()
a b b 4-⊥，则=x （
）A.2- B.1- C.1
D.24.已知()m =+βαcos ，2tan tan =βα，则()=-βαcos （）A.m
3- B.3
m -
C.
3
m D.m
35.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为（）
A.π
32 B.π
33 C.π
36 D.π
396.已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≥++<---=0
,1ln 0
,22
x x e x a ax x x f x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是（
）
A.(]0，∞-
B.[]0,1-
C.[]1,1-
D.[)
∞+，07.当[]π2,0∈x 时，曲线x y sin =与⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-=63sin 2πx y 的交点个数为（）
A.3
B.4
C.6
D.8
8.已知函数()x f 定义域为R ，()()()21-+->x f x f x f ，且当3<x 时，()x x f =，则下列结论中一定正确的是（）
A.()10010>f
B.()100020>f
C.()1000
10<f D.()10000
20<f
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，由选错的得0分.
9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值1.2=x ，样本方差01.02
=S ，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布(
)
2
1.08.1，N ，假设失去出口后的亩收入Y 服从发正态分布(
)2
,S x N ，则（
）
（若随机变量Z 服从正态分布(
)2
,σμN ，则()8413.0≈+<σμZ P ）
A.()2.02>>X P
B.()5.0<>Z X P
C.()5
.0>>Z Y P D.()8
.0<>Z Y P 10.设函数()()()412
--=x x x f ，则（）
A.3=x 是()x f 的极小值点
B.当10<<x 时，()()
2
x
f x f <C.当21<<x 时，()0124<-<-x f D.当01<<-x 时，()()x f x f >-211.造型
可以看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足
横坐标大于2-，到点()02，F 的距离与到定直线()0<=a a x 的距离之积为4，则（
）
A .2
-=a
B .点()
022，在C 上
C .C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D .当点()00,y x 在C 上时，2
4
00+≤
x y
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设双曲线()0,0122
22>>=-b a b
y a x C ：的左右焦点分别为21,F F ，过2F 作平行于y 轴的
直线交C 于B A ,两点，若131=A F ，10=AB ，则C 的离心率为
.
13.若曲线x e y x
+=在点()1,0处的切线也是曲线()a x y ++=1ln 的切线，则
=
a .
14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两个各自从自己特有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片的数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分小于2的概率为
.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知B C cos 2sin =
，
ab c b a 2222=-+.
（1）求B ；
（2）若ABC ∆的面积为33+，求c .
16.（15分）已知()30，A 和⎪⎭
⎫
⎝⎛233，P 为椭圆()012222>>=+b a b y a x C ：上两点.
（1）求C 的离心率；
（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP ∆的面积为9，求l 的方程.17.（15分）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥P A 底面ABCD ，
2==PC P A ，1=BC ，3=AB .
（1）若PB AD ⊥，证明：∥AD 平面PBC ；（2）若DC AD ⊥，且二面角D CP A --的正弦值为
7
42
，求AD .
18.（17分）已知函数()()3
12ln
-++-=x b ax x
x x f .（1）若0=b ，且()0≥'x f ，求a 的最小值；（2）证明：曲线()x f y =是中心对称图形；
（3）若()2->x f ，当且仅当21<<x ，求b 的取值范围.
19.（17分）设m 为正整数，数列242.1,,,+m a a a 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j i <后剩余的m 4项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列.
（1）写出所有的()j i ,，61≤<≤j i ，使数列62.1,,,a a a 是()j i ,一一可分数列；（2）当3≥m 时，证明：数列242.1,,,+m a a a 是()13,2一一可分数列；
（3）从242,1+m ，， 中一次任取两个数i 和j ()j i <，记数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一
一可分数列的概率的概率为m P ，证明：8
1
>
m P .
参考答案
一、单项选择题
1.A
解析：∵553
<<-x ，∴3355<<-x .∵2513<<，∴1523-<-<-.
∴{}0,1-=B A .
2.C
解析：∵
i z z +=-11，∴()()i i i z i iz z i z -=+=⇒+=⇒-+=11111.3.D 解析：()4,24-=-x a b ，∵()
a b b
4-⊥，∴()044=-+x x ，∴2=x .
4.A
解析：∵()m =+βαcos ，2tan tan =βα，
∴
()()32
12
1tan tan 1tan tan 1sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos -=-+=-+=-+=+-βαβαβαβαβαβαβαβα.
∴()m 3cos -=-βα.5.B
解析：由3
2⋅==r rl S ππ侧可得32=l ，∴3=r .∴ππ33393
1
31=⋅⋅==Sh V .6.B
由()()0,1ln ≥++=x x e x f x
为增函数，故此分段函数在R 上递增，只需满足：
⎪⎩⎪⎨
⎧≤-≥-=--
1
022a a a
，解得01≤≤-a .7.C
解析：
∴3
2π
=T .8.B
解析：()()()123f f f +>，()22=f ，()11=f .
()()()()()122234f f f f f +>+>，()()()()()1223345f f f f f +>+>，
……
()()()8912123410>+>f f f ，……，()()()9871233237715>+>f f f ，()()()15971377261016>+>f f f .∴()100020>f .
二、多项选择题
9.BC 解析：已知(
)2
1
.08.1~，N X ，
由题目所给条件：若随机变量Z 服从正态分布，()8413.0≈+<σμZ P ，则
()8413.09.1≈<X P ，易得()1587.08413.012≈-<>X P .故A 错误，B 正确；
对于C：()
2
1.01.2~，N Y ，∴()5.01.2=>Y P ，即()()5.01.22=>>>Y P Y P ，故C
正确；
对于D：同上易得()8413.02.2≈<Y P .
由正态密度曲线的对称性可知()()8.08412.02.22>≈<=>Y P Y P .故D 错误.10.ACD
解析：对于A：()()()()()()31314122
--=-+--='x x x x x x f .
令()0='x f ，解得11=x ，32=x .x 变化时，()x f '与()x f 变化如下表：
故A 正确；
对于B：当10<<x 时，102
<<<x x ，又()x f 在()1,0上单调递增，所以()()x f x
f <2
，
故B 错误；
对于C ：令()2112<<-=x x t ，则31<<x .()x f 在()3,1上单调递减，
()()()13f t f f <<，()43-=f ，()11=f ，即()0121<-<-x f .故C 正确；
对于D：()()()412
--=x x x f ，()()()()()2142122
2
---=---=-x x x x x f .
∴()()()()()3
2
122212-=--=--x x x x f x f .
当01<<-x 时，()013
<-x ，∴()()x f x f -<2成立.故D 正确.
11.ABD
解析：对于A：O 点在曲线C 上，O 到F 的距离和到a x =的距离之积为4，即
42=⨯a ，解得2±=a .又∵0<a ，∴2-=a ，故A 正确；
对于B：由图象可知曲线C 与x 轴正半轴相交于一点，不妨设B 点.
设()0,m B ，其中2>m ，由定义可得()()422=+-m m ，解得22±=m .又∵2>m ，∴22=m ，故B 正确；对于C：设C 上一点()y x P ,，
()()42222=++-x y x ，其中2->x .
化简得曲线C 的轨迹方程为()()2
2
2
2216
--+=
x x y ，其中2->x .
已知2=x 时，12
=y ，对x 求导()
()22232
3
2
--+-=
x x y .
2
1
2
2
-
==x y ，则在2=x 是下降趋势，即存在2<x 时，1>y 成立，故C 错误；对于D：()()2
2
2
2216
--+=
x x y ，∵()022
≥-x ，∴()2
2216
+≤
x y .∴2
4
0+≤
x y .又∵20->x ，2400+≤
x y ，则2
4
000+≤≤x y y ，故D 正确.
三、填空题
12.
2
3
解析：作图易得131=A F ，52=AF ，
且212F F AF ⊥，122
2
2121=-=AF A F F F .
由双曲线定义可得：
8221=-=AF A F a ，6221==F F c ，则2
3==
a c e .13.2
ln 解析：1+='x
e y ，20
='
==x y k ，切线l 的方程：12+=x y .
设l 与曲线()a x y ++=1ln 的切点横坐标为0x ，110+='x y ，则21
1
0=+=
x k ，解得2
1
0-
=x .代入12+=x y 可得切点为⎪⎭
⎫
⎝⎛-021，，再代入()a x y ++=1ln ，a +=21ln 0，
即2ln =a .
14.
2
1解析：不妨确定甲的出牌顺序为7,5,3,1.乙随机出牌有244
4=A 种基本事件.
甲的数字1最小，乙的数字8最大.
若数字1和数字8轮次不一致，乙最少得2分，甲最多2分.站在甲的视角下，分四种情况：①8对1，则7必得分
（1）若得3分：3,5都得分，3对2,5对4（1种情况）（2）若得2分：3,5只有一个得分
（ⅰ）：5得分，3不得分：5对2,3对4或6（2种情况）；5对4,3对6（1种情况）；（ⅱ）：3得分，5不得分：3对2,5对6（1种情况）；②8对3,7必得分
5得分：5对2,4,7对应2种情况，共有422=⨯种情况；③8对5,7必得分
3得分：3对2,7对应2中情况，共有221=⨯种情况；④8对7，最多得2分
3得分，5得分：3对2,5对4（1种情况）.共有12种情况，甲总得分不小于2的概率为
2
1
2412=.四、解答题
15.解：（1）∵ab c b a 22
2
2
=-+，∴2
2
222cos 222==-+=ab ab ab c b a C .
∴2
2
cos 1sin 2
=
-=C C .又∵B C cos 2sin =
，∴22cos 2=
B ，∴21cos =B ，∴3
π=B .（2）∵33sin 21+==
∆Bac S ABC ，∴333
sin 21+=ac π
.即434+=ac ……①由（1）易知4π=
C ，3
π=B .由正弦定理
C c A a sin sin =，()C
c
C B a sin sin =
+.
∴
4
sin
43sin πππc a =
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+，∴
2
24
269c =
+，∴c a 2
1
3+=
.代入①式解得22=c .
16.解：（1）将()30，A ，⎪⎭⎫
⎝⎛233，P 代入椭圆12222=+b y a x 得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=1
49919
2
22b a b ，可得⎪⎩⎪⎨⎧==9122
2b a ，∴32
2
2
=-=b a c ，∴32=a ，3=c .
∴离心率2
1
323===
a c e .（2）①当l 斜率不存在时，2
9
332121=⨯⨯=-⋅=∆A P ABP x x PB S ，不符，舍去.②当l 斜率存在时，设l 方程：()32
3
-=-
x k y .联立()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-19
123232
2y x x k y 可得：()()()
02736212342222
=--++-++k k x k k x k
.
由韦达定理：()34273622+--=⋅k k k x x B P ，又3=P x ，∴()
3
49122
2+--=k k k x B .∵BP 与y 轴交点⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
+
-233,0k ，∴()
934912332321323212
2=+---⋅+=-+⋅=∆k k k k x x k S B P ABP 解得21=
k 或23，∴l 方程x y 2
1
=或0623=--y x .17.解：（1）证明：∵⊥P A 底面ABCD ，∴AD P A ⊥.又∵PB AD ⊥，∴⊥AD 平面P AB ，则AB AD ⊥.又∵1,32==
=BC AB AC ，，
∴2
22BC AB AC +=，则BC AB ⊥，∴BC AD ∥.∵⊄AD 平面PBC ，⊂BC 平面PBC ，∴∥
AD 平面PBC .
（2）以D 为原点，DA 为x 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.设0,0,,>>==q p q DC p DA ，满足42
2
2
==+AC q p ，
则()()()()0,0,0,0,,0,20,0,0,D q C p P p A ，，.
设平面APC 法向量为()111,,z y x m =
，∴()()0,,200q p AC AP -==，，，.
∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅==⋅0
02111qy px m AC z m AP ，取()0,,p q m = .设平面DPC 法向量为()()()0,,0,2,0,,,,222q DC p DP z y x n ===
.∴⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+=⋅00
2222qy n DC z px n AP ，取()p n -=,0,2 .∴2
2
22742142,cos ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=+⋅+=
p q p q
n m .∴7
14
2
=
+p q .
又∵42
2
=+q p ，∴3=p ，即3=AD .
18.解：（1）0=b 时，()ax x x x f +-=2ln
，∴()()022≥+-⋅='a x x x f .∴()
22
-≥
x x a .又∵()2,0∈x ，设()()
22
-=x x x h ，当()2,0∈x 时，()2max -=x h ，∴2-≥a .
∴a 的最小值为2-.
（2）由题意可知()x f 的定义域为()20，.
()()()()()a x b x a x
x bx x a x x x f x f 2111ln 111ln
113
3=-+-++-++++-+=-++.∴()x f 关于()a ,1中心对称.（3）()212ln 3
->-++-x b ax x
x ，即()0212ln
3
>+-++-x b ax x x 即()()02112ln 3
>++-+-+-a x b x a x
x
.
令1-=x t ，则()1,0∈t ，()0211ln 3>++++-+=a bt at t
t t g .()t g 关于()a +2,0中心对称，则当且仅当()1,0∈t 时，()0>t g 恒成立.
需02=+a ，即2-=a ，()0≥'t g 在()1,0恒成立.
()()()()
22222212231223032112t t t b t bt bt t t t g --≥⇒--≥⇒≥+--+='.令2t m =，则()1,0∈m ，()()1
2122-=--=m m m m m h .()2max -=m h ，∴23-≥b ，即32-≥b .∴⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞-∈,32b .19.解：（1）从1,2,3,4,5,6中删去()j i ,剩下的四个数从小到大构成等差数列，记为{}k b ，41≤≤k .
设{}k b 公差为d ，已知1=d ，
否则，若2≥d ，则6314≥=-d b b ，又51614=-≤-b b ，故矛盾，
∴1=d ，则{}k b 可以为{}4,3,2,1，{}5,4,3,2，{}6,5,4,3，
则对应()j i ,分别为()()()2,16,16,5，，
.（2）证明：只需考虑前14项在去掉()13,2后如何构成3组4项的等差数列，
后面剩下的()34124-=-m m 可自然依序划分为3-m 组等差数列.
则只需构造{}14,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,1的一组划分，使划分出的3组数均成等差数列，取{}{}{}14,11,8,512,9,6,310,7,4,1，，，这单租数均为公差为3的等差数列，
对于剩下的()34-m 个数，按每四个相邻数一组，划分为3-m 组即可.
由此可见去掉()13,2后，剩余的m 4个数可以分为m 组，每组均为等差数列，
故3≥m 时，24,2,1+m 是()13,2可分数列，
即2421,,,+m a a a 是()13,2可分数列.
（3）证明：用数学归纳法证明：共有不少于12
++m m 中()j i ,的取法使24,2,1+m 是()j i ,可分数列，
①当1=m 时，由（1）知，有11132
++=种()j i ,的取法，②假设当n m =时，有至少12
++n n 种()j i ,的取法，则当1+=n m 时，考虑数列{}
64,,2,1+n 下对于()j i ,分三种情况讨论：
1°当1=i 时，取()
1,,,2,1,0,24+=+=n n k k j 则j i ,之间（不含j i ,）有k k 41124=--+个连续的自然数，
可按形如{}{}{}14,4,14,249,8,7,65,4,3,2+--k k k k ，
，， 划分，剩下的64,,44,34+++n k k ，也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列，∵1,,,2,1,0+=n n k ，∴这种情况有2+n 种()j i ,的取法.
2°当2=i 时，取()1,,,2,14+=+=n n k k j ，
现以k 为公差构造划分为：
{}13,12,11+++k k k ，，{}33,32,3,3+++k k k ，……{}14,13,12,1----k k k k ，{}k k k k 4,3,22,，{}
24,23,22,2++++k k k k （注意当2=k 时，只有{}{}10,8,6,47,5,3,1，这两组）
剩下的64,,44,34+++n k k ，也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列，∵1,,,2+=n n k ，∴这种情况有n 种()j i ,的取法.
3°当2>i 时，考虑{}64,,7,6,5+n 共24+n 个数，
由归纳假设里n m =时，有至少12
++n n 种()j i ,的取法.综合1°2°3°，
当1+=n m 时，至少有()()
()()1111222++++=+++++n n n n n n 中取法，由①②及数学归纳法原理，值共有不少于12
++m m 种()j i ,的取法使24,2,1+m 为
()j i ,可分数列，那么()()81888116811214112222222
42=++++>++++=++++=++≥+m m m m m m m m m m m m C m m P m m ，∴8
1>m P .。