导数及其应用运算单调性极值与定积分晚练专题练习(五)带答案人教版新高考分类汇编

高中数学专题复习
《导数及其应用-运算单调性极值与定积分》单元
过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
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得分
一、选择题
1．设P 为曲线2
:23C y x x =++上的点,且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是[0,
]
4
π
,则点P 横坐标的取值范围是( ) A.1[1,]2--
B.[1,0]
- C.[0,1] D.1
[,1]2
(2020辽宁理) 2．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(1)()0x f x '-≥，则必有（C ） Ａ．(0)(2)2(1)
f f f +<
Ｂ．(0)(2)2(1)
f f f +≤ Ｃ．(0)(2)2(1)f f f +≥
Ｄ．(0)(2)2(1)f f f +>
3．若曲线4
y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=(2020安徽理)
4．曲线=x
y e 在点A （0,1）处得切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．e D ．
1
e
（2020江西文4） 5．曲线y=
sin x 1M(,0)sin x cos x 24
π
-+在点处的切线的斜率为( )
（A ）．2
1
- （B ）．21 （C ）．22- （D ）．22（2020湖
南文7）
6．已知二次函数()y f x =的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为
A ．
2π
5
B ．
4
3
C ．3
2
D ．
π2
7．设2
:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是
q 的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条
件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不
必要条件 答案 B
8．若存在过点(1,0)的直线与曲线3
y x =和215
94
y ax x =+
-都相切，则a 等于 A ．1-或25-
64 B ．1-或214 C ．74-或25-64 D ．74
-或7 （2020江西卷文）
9．若曲线2
y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则 （A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-= (C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=-
10．设曲线1
1
x y x +=
-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =________
第II 卷（非选择题）
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得分
二、填空题
11．已知函数⎩⎨⎧≤>-=,
0,1,
0,43)(2x x x x f ，则=))0((f f ▲ .
12．若函数()4ln f x x =，点(,)P x y 在曲线'()y f x =上运动，作PM x ⊥轴，垂足为M ，
则△POM （O 为坐标原点）的周长的最小值为___▲___ ．
13．若32)1(+=+x x g ，则)(x g 等于
14．在曲线10632
3
-++=x x x y 的切线中斜率最小的切线方程是____________.
15．已知函数3
()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -= ▲ . （江苏）
16．已知直线kx y =是x y ln =的切线，则k 的值为
评卷人
得分
三、解答题
17．（本小题满分16分）
已知函数()ln ()f x a x x c x c =+--，0a <，0c >．
（1）当3
4
a =-，14c =时，求函数()f x 的单调区间；
（2）当12a c =
+时，若1
()4
f x ≥对(,)x c ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围； （3）设函数()f x 的图象在点11(,())P x f x 、22(,())Q x f x 两处的切线分别为1l 、
2l ．若12
a
x =-
，2x c =，且12l l ⊥，求实数c 的最小值．
18．已知函数e ()ln ,()e x x
f x mx a x m
g x =--=，其中m ，a 均为实数．
（1）求()g x 的极值；
（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111
()()()()
f x f x
g x g x -<-
恒成立，求a 的最小值；
（3）设2a =，若对任意给定的0(0,e ]x ∈，在区间(0,e ]上总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x == 成立，求m 的取值范围．（本小题满分16分）
19．设函数()1x
f x e -=-．
（Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1
x
f x x ≥
+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1
x
f x ax ≤
+，求a 的取值范围． 【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力. 【参考答案】
【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。

作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.
20．已知函数a x x x x f +++-=93)(2
3
（1）求)(x f 的单调减区间
（2）若)(x f 在区间[-2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、选择题
1．A 2．F
解析：依题意，当x ≥1时，f '（x ）≥0，函数f （x ）在（1，＋∞）上是增函数；当x <1时，f '（x ）≤0，f （x ）在（－∞，1）上是减函数，故f （x ）当x ＝1时取得最小值，即有
f （0）≥f （1），f （2）≥f （1），故选C
3．A
解析：A 与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4
y x =在某一点的导数为4，而3
4y x '=，所以4
y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为
430x y --=，故选A
4．A 5．B
6．B 【2020高考真题湖北理3】
【解析】根据图像可得： 2()1y f x x ==-+，再由定积分的几何意义，可求得面积为1
231
11
14(1)()33
S x dx x x --=-+=-+=⎰. 7． 8．A
【解析】设过(1,0)的直线与3y x =相切于点300(,)x x ，所以切线方程为
320003()y x x x x -=-
即23
0032y x x x =-，又(1,0)在切线上，则00x =或03
2
x =-
， 当00x =时，由0y =与2
1594y ax x =+
-相切可得2564
a =-， 当032x =-
时，由272744y x =-与215
94
y ax x =+-相切可得1a =-，所以选A . 9．A ：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 ∵
2x y x a
a
='=+=，∴ 1a =，(0,)b 在切线10x y -+=，∴ 1b =
10．2-
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
11． 1-
12
．
13． 14．； 15． 16．
1
e
评卷人
得分
三、解答题
17． 函数22
ln (),,()ln (),a x x c x c f x a x x c x c
⎧+-⎪=⎨--<⎪⎩≥，求导得2222,,'()22,x cx a
x c x
f x x cx a x c x ⎧-+⎪⎪=⎨-++⎪<⎪⎩≥． （1）当34a =-，14c =时，22
8231
,,44
'()8231
,44x x x x f x x x x x ⎧--⎪⎪=⎨-+-⎪<⎪⎩
≥， 若14
x <，则2823
'()0
4x x f x x -+-=<恒成立，所以()f x 在1(0,)4上单调减； 若1
4x ≥，则(21)(43)'()4x x f x x +-=
，令'()0f x =，解得34x =或1
2
x =-（舍），
当
1344x <≤时，'()0
f x <，()f x 在13
[,)44上单调减； 当34x >
时，'()0f x >，()f x 在3
(,)4
+∞上单调增． 所以函数()f x 的单调减区间是3
(0,)4
，单调增区间是3(,)4
+∞． ………………4分
（2）当x c >，12a c =
+时，(1)(2)'()x x a f x x
--=，而112a c =+<，所以 当1c x <<时，'()0f x <，()f x 在(,1)c 上单调减；
当1x >时，'()0f x >，()f x 在(1,)+∞上单调增．
所以函数()f x 在(,)c +∞上的最小值为2
(1)4a f =，
所以2144
a ≥恒成立，解得1a ≤-或1a ≥，
又由102
a
c =
+>，得2a >-，所以实数a 的取值范围是(2,1]--． ……………9分 （3）由12l l ⊥知，'()'()12a f f c -
=-，而'()a f c c =，则'()2a c f a -=-， 若2
a c -
≥，则2()222'()222
a a
c a
a f c a
-
--+-=
=--，所以2c c a -=-， 解得1
2
a =
，不符合题意； ……………………………11分 故2
a c -
<，则2()222'()8222
a a c a
a c f a c a a
--
+-+-=
=--+=--， 整理得，821a a
c a -=
+，由0c >得，12
a <-， …………………………13分 令8a t -=，则28
t a =-，2t >，所以2
32282814
t t
t c t t -⋅==--+，
设3
2()28
t g t t =-，则22222(12)'()(28)t t g t t -=-，
当223t <<时，'()0g t <，()g t 在(2,23)上单调减； 当23t >时，'()0g t >，()g t 在(23,)+∞上单调增． 所以，函数()g t 的最小值为33(23)2g =
，故实数c 的最小值为33
2
． ……16分 18． 解：（1）e(1)
()e
x
x g x -'=，令()0g x '=，得x = 1． ………………… 1分
列表如下：
∵g (1)
=
1，∴y =()g x 的极大值为1，无极
小值
．
…………………3分
（2）当1,0m a =<时，()ln 1f x x a x =--，(0,)x ∈+∞． ∵()0x a
f x x
-'=>在[3,4]恒成立，∴()f x 在[3,4]上为增函数． …………………4分
设1e ()()e x h x g x x ==，∵12
e (1)
()x x h x x --'=> 0在[3,4]恒成立， ∴()h x 在[3,4]上为增函数． …………………5分 设21x x >，则212111
()()()()
f x f x
g x g x -<
-等价于2121()()()()f x f x h x h x -<-， 即2211()()()()f x h x f x h x -<-．
设1e ()()()ln 1e x
u x f x h x x a x x
=-=---⋅，则u (x )在[3,4]为减函数．
∴21e (1)
()10e x a x u x x x -'=--⋅≤在（3，4）上恒成立． …………………6分
∴1
1
e e
x x a x x
---+≥恒成立． 设11
e ()e
x x v x x x --=-+，∵112e (1)()1e x x x v x x ---'=-+=1
21131e [()]24
x x ---+，x ∈[3，4]， ∴1221133
e [()]e 1244x x --+>>，∴()v x '< 0，()v x 为减函数．
∴()v x 在[3，4]上的最大值为v (3) = 3 -
2
2e 3
． ………………… 8分 ∴a ≥3 -
22e 3，∴a 的最小值为3 -22
e 3
． …………………9分 （3）由（1）知()g x 在(0,e]上的值域为(0,1]． …………………10分
x （-∞，1）
1 （1，+∞）
()g x '
+ 0 - g (x )
↗
极大值
↘
∵()2ln f x mx x m =--，(0,)x ∈+∞， 当0m =时，()2ln f x x =-在(0,e]为减函数，不合题意． ………………… 11分
当0m ≠时，2()()m x m f x x
-'=，由题意知()f x 在(0,e]不单调， 所以20e m <<，即2e
m >．① …………………12分 此时()f x 在2(0,)m 上递减，在2(,e)m
上递增， ∴(e)1f ≥，即(e)e 21f m m =--≥，解得3e 1m -≥
．② 由①②，得3e 1
m -≥． …………………13分 ∵1(0,e]∈，∴2()(1)0f f m
=≤成立． …………………14分 下证存在2(0,]t m
∈，使得()f t ≥1． 取e m t -=，先证e 2m m
-<，即证2e 0m m ->．③ 设()2e x w x x =-，则()2e 10x w x '=->在3[
,)e 1+∞-时恒成立． ∴()w x 在3[,)e 1+∞-时为增函数．∴3e ))01((w x w ->≥，∴③成立． 再证()e m f -≥1． ∵e e 3()1e 1m m f m m m --+=>>-≥，∴3e 1
m -≥时，命题成立． 综上所述，m 的取值范围为3[
,)e 1+∞-． …………………16分 19．
20．（1）（－∞，－1），（3，＋∞）
（2）,2-=a 最小值为－7。