河南理工大往年概率论试题

理工大学
概率论往年试题 及详细答案
理工大学 2010-2011 学年第 一 学期
《概率论与数理统计》试卷（A 卷）
总得分 阅卷人
复查人 考试方式 本试卷考试分数占学生总评成绩比例
闭卷
80 %
分数 20 得分
1、对于任意两个事件A 和B ,则有（ ）．
A. 若AB ≠∅,则,A B 一定独立；
B. 若AB ≠∅,则,A B 有可能独立；
C. 若AB =∅,则,A B 一定独立； D ．若AB =∅,则,A B 一定不独立．
2、设12(),()F x F x 都是随机变量的分布函数，12(),()f x f x 是相应的概率密度，则（ ）． A. 12()()F x F x 是分布函数； B. 12()()f x f x +是概率密度； C. 12()()f x f x 是概率密度； D. 12()()F x F x +是分布函数．
一、选择题（本题20分，每题4分）
3、设随机变量X 和Y 相互独立且~(32)~(4,8)X N Y N ，，,则（ ）
． A. 1(5)2P X Y +≤=
； B. 1
(3)2P X Y +≤=； C. 1(1)2P X Y -≤-=； D. 1
(1)2
P X Y -≤=．
4、设1,,n X X 是总体X 的一个样本，且()E X μ=已知，()D X 未知，则（ ）是()
D X 的无偏估计量.
A ． 22
1211()()22X X μμ---； B ．1211()1-=--∑n i i X X n ； C ．2
11()n i i X X n =-∑ ； D ．21
1()1n i i X X n =--∑． 5、设随机变量X ,Y 都服从标准正态分布，则（ ）. A ． X Y +服从正态分布； B ．22X Y +服从2χ分布； C ．22X Y 和都服从2χ分布； D ．22X Y 服从F 分布．
1、设()0.5P A =，()0.6P B =，()0.8P B A =，则()P A B =________．
2、设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为
6,01,
(,)0,
x x y f x y ≤≤≤⎧=⎨
⎩其他.，则(1)P X Y +≤=________．
3、设X 是随机变量，2)(,)(σμ==X D X E ，有切比雪夫不等式{4}P X μσ-<≥_______.
4、设22~(10)χχ，则有2()E χ＝________．
5、若0，2，2，3，2，3是均匀分布总体Ｕ(0,θ)的观测值,则θ的矩估计值是________．
二、填空题（本题20分，每题4分）
,,n X 是取自总体,n x 为一相应的样本值 =),(x f θ)0>θ.
理工大学 2010-2011 学年第 一 学期
《概率论与数理统计试卷》（A 卷）答案及评分标准
一、 选择题（共20分 每题4分）（1）B, (2) A,（3）C, (4) D （5） C 二、填空题（共20分 每题4分）（1）0.3,（2）14, （3）15
16
, （4）10，（5）4. 三、（10分）
解： 以H 表示事件“从第一箱取出一个白球”，以B 表示事件“从第二箱中取出一个白球”，
由已知条件可得
32
(),(),()59,()49,55
====P H P H P B H P B H 由全概率公式可得
()()()()()=+P B P B H P H P B H P H 35245959=⨯+⨯23
45
=
需要求的是().P H B 由贝叶斯公式可得
()()
()()()()()
=
+P B H P H P H B P B H P H P B H P H 3559359254⨯=
⨯+⨯15
23
=
四、（10分）
解：因为,X Y 相互独立，且Z X Y =+，所以
()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞
-∞
=-⎰
，欲使()()0X Y f x f z x ->，当且仅当 01,0x z x ≤≤->，
既 01,x z x ≤≤>.
(1) 当0z <时，由于()()0X Y f x f z x -=，故()0Z f z =，
(2) 当01z ≤<时，()0
()1z
z x z Z f z e dx e ---==-⎰
，． (3) 当1z ≥时，1
()
()(1)z x z Z f z e
dx e e ---==-⎰
综上所述得
0,0,()1,
01,(1), 1.
z Z z z f z e z e e z --<⎧⎪
=-≤<⎨⎪-≥⎩
五、（10分）
解： 各数学期望均可以按照[(,)](,)(,)E g X Y g x y f x y dxdy ∞∞
-∞-∞
=
⎰⎰
计算。

因为(,)f x y 仅在有限区
域:,01G y x x <<<不为0，故各数学期望均化为G 上相应的积分
10
2
()(,)3
x
x
G
E X xf x y dxdy xdx dy -===
⎰⎰⎰⎰10
()(,)x
x
G
E Y yf x y dxdy dx ydy
-==⎰⎰⎰⎰=
1
00
=⎰dx 11
()(,)00
-===⨯=⎰⎰⎰⎰⎰x
x
G
E XY xyf x y dxdy xdx ydy x dx
(,)()()()000Cov X Y E XY E X E Y =-=-=1
22
2
1()(,)2
x
x
G
E X x f x y dxdy x dx dy -===
⎰⎰⎰⎰ 1
2
2
2
01
()(,)6x
x G
E Y y f x y dxdy dx y dy -===
⎰⎰⎰⎰()
2
2
2
121
()()()2318
D X
E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭()2
211()()()066
D Y
E Y E Y =-=
-= ()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++112
1869
=+=
六、（10分）
解：设箱中第i 袋味精的净重为i X 克.,1,2,
200i X i =是相互独立同分布的随机变量序列，且
()100,()100,1,2,
200.i i E X D X i ===．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
由中心极限定理可知 200
1
i
i X
=∑近似服从(200100,200100)N ⨯⨯ 即
200
1
i
i X
=∑近似服从(20000,20000)N
所以
2002001120400120400i i i i P X P X ==⎧⎫⎧⎫
>=-≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
∑∑
200200001i X P ⎧⎫
-⎪⎪=-≤⎪⎪⎩⎭
∑ 1(2.83)≈-Φ10.99770.0023.=-=
七、（10分）
解：因为⎪⎩⎪⎨
⎧∉∈=-)
1,0(,
0)1,0(,),(1
x x x x f θθθ似然函数 1
()(,)θθ==∏n
i i L f x ，
1
12
()
,
(0,1)1,2,
0,θ-⎧∈=⎪=⎨
⎪⎩
n n
i x x x x i n
其他
仅考虑()0θ>L 的情况
对数似然函数1
ln ()ln 1)ln 2θθ==+∑n
i i n
L x
0)(ln =θθL d d
，即ln 02θ+=∑n
i
x
n 解得 22
1ln θ-=
⎛⎫
⎪⎝⎭
∑n
i i n x
又因为 22ln ()0θθ<d L d 所以θ的最大似然估计量为2
21ln θ-=⎛⎫
⎪⎝⎭
∑n i i n X 于是求得最大似然估计量 2
12
ln ⎪⎭
⎫
⎝⎛=
∑-
n
i i L X n θ
八、（10分）
(1)X t n -所以 有22(1)(1)1X P t n t n αα
α⎛⎫--<
<-=- ⎪⎝⎭
即有(
)
(1)(1)1P X n X n ααμα
--<<+-=-
即得μ的一个置信水平为1α-的置信区间为
()
22(1),(1)X n X n αα--+-
今0.0259,10.95,20.025,(8) 2.306,6,0.574n t x s αα=-=====且
即得μ的一个置信水平为0.95的置信区间为0.0250.574
(6(8))(5.558,6.442)3
t ±
=
理工大学 2010-2011 学年第 二 学期
《概率论与数理统计》试卷（A 卷）
1、设A 和B 为不相容事件,且()0,()0P A P B >>。

则下列结论中正确的是（ ）． A.(|)0P B A > B. (|)()P A B P A = C ．(|)0P A B =； D ．()()()P AB P A P B =．
2、若X 服从[0,1]上的均匀分布，21Y X =+，则下列选项正确的是（ ）． A.Y 服从[0,1]上的均匀分布； B.{01}1P Y ≤≤=； C.Y 服从[1,3]上的均匀分布； D.{01}0.5P Y ≤≤=．
3、129,,
X X X 相互独立，()1i E X =，()1i D X =，则对任意给定的0ε>，有（ ）．
A.9
21{|1|}1i i P X εε-=-<≥-∑； B.9
21
1{|
1|}19
i i P X εε-=-<≥-∑； C. 9
21{|9|}1i i P X εε-=-<≥-∑； D. 9
21{|9|}19i i P X εε-=-<≥-∑．
4、设01~(,)X N ，11n i i X X n ==∑，2
21
1()1n i i S X X n ==--∑，则服从自由度为(1)n -的2χ分布的随机变量是（ ）．
A ，21n
i i X =∑； B ．2S ； C ．2
(1)n X -； D ．2(1)n S -．
5、设随机变量X 的概率密度()f x 是偶函数，()F x 是X 的分布函数，则对于任意实数a ，有（ ）.
A ．()2()1F a F a -=-；
B ．0()0.5()a
F a f x dx -=-⎰；
()F a ； D ．0
()1()a
F a f x dx -=-⎰．
一、选择题（每题只有一个正确答案）（本题20分，每题4分）
二、填空题（本题20分，每题4分）
1、设随机变量X 和Y 相互独立且都服从01-分布，2{0}{0}3
P X P Y ====
， 1
{1}{1}3
P X P Y ====，则()P X Y ==________．
2、设随机变量Y 是随机变量X 的线性函数，56Y X =+，()3D X =，则XY ρ=________．
3、若()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===。

则()P A B =_________．
4、设1234,,,X X X X 是取自正态总体2~(0,2)X N 的简单随机样本，要使
22
21234(2)(34)(2)a X X b X X χ-++，则a =__________b =__________．
5、若0，2，2，3，2，3是均匀分布总体(0,)U θ的观测值, 则θ的矩估计值是________．
五、 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为
()0,0.
(,)0x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩，，
其他
求随机变量Z Y X =-的分布函数和概率密度．
,,n X 是取自总体,n x 为一相应的样本值
理工大学 2010-2011 学年第 二 学期
《概率论与数理统计试卷》（A 卷）答案及评分标准
二、 选择题（共20分 每题4分）（1）C, (2) C, （3）D, (4) D, （5） B 二、填空题（共20分 每题4分）（1）59,（2）1, （3）0.3, （4）11
,20100
，（5）4. 三、（10分）
解： 设A ={先抽到的一份为女生表}，i B ={报名表是第i 区考生的}，1,2,3i =。

则i B 为一完备事件组，且123()()()13P B P B P B ===
又 123(|)310,(|)715,(|)34P A B P A B P A B ===．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 由全概率公式可得3
1
()()(|)i i
i P A P B P A B ==
∑ 137391
()310154180=++= 四、（10分）
解：（1）由于
22
1
1(,)421x y f x y dxdy
C cx ydxdy +∞+∞
-∞
-∞≤≤===
⎰
⎰
⎰⎰，
从而 21
4
C =
， (2) ()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰，
212
24
21,11,
40,
21(1),11,80,x x ydy x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩⎧--≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其他.其他. (3) ()(,)Y f y f x y dx +∞-∞
=
⎰25221,01,40,7,01,20,x ydx y y y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩
其他.其他.
五、（10分）
解： (){}{}(,)Z y x z
F z P Z z P Y X z f x y dxdy -≤=≤=-≤=⎰⎰
．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 当且仅当0,0x y >>时，(,)f x y 非零。

（1） 当0z <时， ()0
1
()(,)2x z
x y z Z z
y x z
F z f x y dxdy dx e dy e +∞+-+--≤=
==⎰⎰⎰⎰
．．．．．．．．． （2） 当0z ≥时， ()0
1
()(,)12
x z
x y z Z y x z
F z f x y dxdy dx e dy e +∞+-+--≤=
==-⎰⎰⎰⎰
．．．．．． （3） 综上有1,0,
2
()11,0.
2
z
Z z e z F z e z -⎧<⎪⎪=⎨
⎪-≥⎪⎩，从而有1,0,
2
()[()]1,0.
2
z
Z Z z e z f z F z e z -⎧<⎪⎪'==⎨
⎪≥⎪⎩．．．．．．
（4）
（5） 六、（10分）
解：(,)f x y 的非零区域为{(,)|0201}D x y x y =≤≤≤≤，，则．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 21
11
()(,)39
D
x y E X xf x y dxdy xdx dy +===⎰⎰⎰⎰
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2
1
2220
16
()(,)39
D
x y E X x f x y dxdy x dx dy +===⎰⎰⎰⎰
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2
1
5()(,)39
D
x y E Y yf x y dxdy y
dydx +===⎰⎰⎰
⎰
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 21
222
7
()(,)318
D
x y E Y y f x y dxdy y dydx +===⎰⎰⎰
⎰
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ()
2
2
2
161123
()()()9981
D X
E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ()
2
2
27513
()()()189162
D Y
E Y E Y ⎛⎫=-=-=
⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、（10分）
解：设第i 次称量的结果为,1,2,,i X i n =.则(,0.04)i
X N ω.1n
i X X n =∑.
从而 0.04
(),()E X D X n
ω==
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 从而
{||0.1}P X P ω-<=<<．
．．．．．．．．．．．．．．．．
(
)(2(10.95222
=Φ-Φ-=Φ->．．．．．．．．．．．．．．．．． 即
0.975Φ>，又 (1.96)0.975Φ=，从而
1.96>，即 15.36n >， 从而n 至少为16 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
八、（10分）
解：由题易得似然函数为 11,
(,)0,
n
i
i x i n
e x L μθμθμθ=--⎧∑⎪≥=⎨⎪⎩其他
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 仅考虑i x μ≥的情况
对数似然函数 1
ln (,)ln n
i i x L n μ
θμθθ
=-=--
∑
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
上式两端分别对θ和μ求偏导并令其等于0
21ln (,)
0(1)ln (,)0(2)n i i x L n L n μθμθθθθμμθ=-∂⎧=-+=⎪∂⎪
⎨
∂⎪==⎪∂⎩
∑．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 由（1）得 2
2
0n nx n θμ
θ
θ
--
+=，从而 x θμ+=
当θ固定时，要使(,)L θμ最大，只需μ最大，但,1,2,.i x i n μ≤=⋅⋅⋅
故 1min i i n
u X ≤≤=，若按从小到大重排1,2,.i X i n =⋅⋅⋅，
得(1)(2)()n X X X ≤≤⋅⋅⋅≤ 从而 (1)u X = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 进而有 (1)X u X X θ=-=- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
姓名： 学号： ………封………………………………线…………………………
2、设一次试验中事件A 发生的概率为p ，现重复进行n 次独立试验，则事件A 至多发生一次的概率为 （ ）．
A.n p -1；
B.n p ；
C.n p )1(1--；
D.1)1()1(--+-n n p p n p ． 3、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，λλ-=
=e m m X P m
!
}{， ，，，
210=m ，且3=DX ，则=λ （ ）
． A.3； B.31； C.9； D.9
1
．
4、设),(~2σμξN ，其中μ已知，2σ未知，321,,X X X 为其样本,下列各项不是统计量的是（ ）． A ．
()
232
22
12
1
X X X
++σ
；
B ．μ+1X ；
C ．),,m ax (321X X X ；
D ．321X X X ++． 5、设连续随机变量X 的密度函数满足)()(x f x f -=，)(x F 是X 的分布函数，则
=>)2004(X P （ ）.
)(A )2004(2F -； )(B 1)2004(2-F ； )(C )2004(21F -； )(D )]2004(1[2F -.
1、若X 为连续型随机变量，a 为任给定的一个实数，则()P X a ==________．
2、设随机变量)45.0(~，N X ，且}{}{a X P a X P >=≤，则常数=a ________．
3、已知随机变量)31(~，
-N X ，)12(~，N Y ，且X ，Y 相互独立，设随机变量92+-=Y X Z ，则=DZ _____________．
4、设X 是随机变量，2)(,)(σμ==X D X E ，有切比雪夫不等式≥<-}3{σμX P _______．
5、设()3D X =，31Y X =+，则XY ρ=________．
二、填空题（本题20分，每题4分）
五、 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为
01,0 1.
(,)0Cx y x y f x y +<<<<⎧=⎨⎩，，其他
（1）试确定常数C ；（2）Z X Y =+的概率密度．
理工大学2009-2010学年第一学期
《概率论与数理统计答案》试卷（A卷）答案和评分标准一、选择题（共20分每题4分）
（1）A, (2) D, （3）A, (4) A, （5）D
二、填空题（共20分每题4分）
（1）0 ,（2）0.5 , （3）13 , （4）8
9
, （5）1
三、（10分）,,
n
X是取自总体,
n
x为一相应的样本值=
)
,
(x
fθ)0
>.
()()12P H P H ==.又以i A 表示事件“第i 次从箱中（不放回抽样）取得的是一等品”，
1,2i =由条件11()15,()35,P A H P A H ==故
111()()()()()11031025P A P A H P H P A H P H =+=+= 需要求的是21().P A A
因12211()
()()
P A A P A A P A =
,而121212()()()()()P A A P A A H P H P A A H P H =+．．．．
又因为12121091817(),()50493029
P A A H P A A H =
⨯=⨯，故有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12211()()()P A A P A A P A =
=
121211()()()()()
P A A H P H P A A H P H P A ⎡
⎤+⎣⎦ 51091181711951690
0.485625049230292449291421
⎛⎫⎛⎫=
⨯⨯+⨯⨯=+=
≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．． 四、（10分）
解：（1） 因为,Y X =故Y 不取负值。

从而，若0y ≤，则()0;0,Y f y y =>若注意到(0,1)X N ,
故Y 的分布函数为
()()(0)(0)()()()
Y F y P Y y P Y y P X y P y X y y y =≤=<≤=<≤=-<≤=Φ-Φ-
从而，0y > 时，[
]21
2()()()()y Y Y d d
f y F y y y dy dy
-==Φ-Φ-= 于是，Y X =
的概率密度为21
20()0y Y y f y -⎧>=⎩
其他
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
（2）因为2
21,Y X =+故Y 在[1,)+∞取值，从而1y <时()0Y f y =；若1y ≥，注意到(0,1)X
N ,
故Y
的分布函数为
2()()(21)((21Y F y P Y y P X y P X =≤=+≤=≤=Φ-Φ=Φ-．
故1y >
时(1)4(1)4
1()2122y y Y d f y dy ----⎡⎤=Φ-=⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
于是2
21Y X =+
的概率密度为(1)4
1()0y Y y f y -->=⎩
其他
．．．．．．．．．．．．
解：（1）由于
11001
1(,)(1)2
f x y dxdy dx Cx ydy C ∞
∞
-∞-∞
===+=+⎰
⎰
⎰⎰ 得1C =
（2）由于()(,)Z Z X Y f z f x z x dx ∞
-∞
=+=
-⎰
，所以，.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
当01
01x z x <<⎧⎨<-<⎩
即
01
1x x z x <<⎧⎨
<<+⎩
时．．()0Z f z ≠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 当 2
01()z
Z z f z zdx z ≤<=
=⎰
， 当 11
12()(2)Z z z f z zdx z z -≤<==-⎰，
当 02()0Z z z f z <>=或， 综上所述 2,01
()(2),100,Z z z f z z z z ⎧≤<⎪
=-≤<⎨⎪⎩
其他
六、（10分）
解： 各数学期望均可以按照[(,)](,)(,)E g X Y g x y f x y dxdy ∞∞
-∞-∞
=
⎰⎰
计算。

因为(,)f x y 仅在有限区
域:,01G y x x <<<不为0，故各数学期望均化为G 上相应的积分。

．．．．
10
2
()(,)3x
x
G
E X xf x y dxdy xdx dy -===
⎰⎰⎰⎰ 10()(,)x x G
E Y yf x y dxdy dx ydy -==⎰⎰⎰⎰
10
()(,)0x
x
G
E XY xyf x y dxdy xdx ydy -===⎰⎰⎰⎰(,)()()()000Cov X Y E XY E X E Y =-=-=
七、（10分）
解：将总体(20,3)N 的容量分别为10，15的两独立样本的均值分别记作,X Y ,则
(20,310),(20,315)X N Y N ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
所以()20,()310,()20,()315E X D X E Y D Y ====．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 因为,X Y 相互独立，所以X Y -服从正态分布，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 且33
()2020,()1015
E X Y D X Y -=--=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 从而(2020,310315)012X Y
N X Y
N --+-，即（，），故所求的概率为.．．．
．．
(0.3)1(0.3)
1(p P X Y P X Y P =->
=--≤=-≤≤．222(10.6628)0.6744.=-Φ=-=
解：(1) 1
)(1
1
1+=
=
=⎰
-θθθμθdx x
x X E ． 由1
,11+=
=θθμX A 可得
解得，矩估计量 2
1⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=X
X θ
． 似然函数 ⎪⎩⎪⎨
⎧∉∈=-)
1,0(,
0)1,0(,)
()()(1
21x x x x x L n n θθθ ，.
令
0)(ln =θθL d d
，即有 02)ln(221=+θ
θn x x x n ． 于是求得最大似然估计量 2
12
ln ⎪⎭
⎫
⎝⎛=
∑-n
i i L X n θ。