高中浙江省宁波市北仑中学高一上学期期中数学(2-10班)试题

浙江省宁波市北仑中学【精品】高一上学期期中数学（2-10
班）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集{|16}U x N x =∈≤≤，集合{4,5,6}A =，则U
A
（ ）
A ．{2,3}
B ．{1,2,3}
C ．{|13}
x x ≤≤
D ．{|13}x N x ∈<≤
2．函数()
2ln 1x f x -=
的定义域为（ ）
A ．()01，
B ．[)01，
C ．(]01，
D ．[]01，
3．函数()()2
ln 12
f x x x =+-+的零点所在的一个区间是（ ） A ．()1,0-
B ．()0,1
C ．()1,2
D ．()2,3
4．三个数()0.4
30.40.4, 2.9,3a b c ===之间的大小关系是（ ） A ．a c b <<
B ．b a c <<
C ．a b c <<
D ．b c a <<
5．函数()
2
lg +1y x x =⋅的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6
．在[0,2π]上，满足sin x ≥
2
的x 的取值范围是( ) A ．[0，
4π] B ．[
4π，34
π]
C ．[
4π，2
π] D ．[
34
π
，π] 7．设函数()()0,1x
f x a a a =>≠，若()122019++
+9f x x x =，则
()()
()122019222f x f x f x ⋅=（ ）
A ．3
B ．9
C ．27
D ．81
8．设函数()1,1,x f x x ⎧=⎨
-⎩为有理数
为无理数
，则下列结论错误的是（ ）
A ．()f x 的值域为{}1,1-
B ．()f x 是非奇非偶函数
C ．对于任意x ∈R ，都有()()1f x f x +=
D ．()f x 不是单调函数
9．在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，已知函数()()()[]()
1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足
()()13f m f m +≤的实数的取值范围是（ ）
A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．12,23
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．21,3
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
10．给出定义：若11
22
m x m -
<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}=x m .设函数(){}f x x x =-，二次函数2
()g x ax bx =+，若函数
()y f x =与()y g x =的图象有且只有一个公共点，则,a b 的取值不可能．．．
是（ ） A ．4,1a b =-= B ．2,1a b =-=- C ．4,1a b ==- D ．5,1a b ==
二、双空题 11．（1
）1
2.5
5(0.64)-=_________；（2）7
log 22lg5lg 47++=_________.
12．函数221()
3
x x
y -=的值域是________，单调递增区间是_____；
13．已知扇形的周长为40，当它的圆心角为____时，扇形的面积最大，最大面积为____. 14．若函数()f x 是幂函数，且满足
()
()
432f f =，则()2f = __________，函数()()2g x f x ax a =-+过定点__________．
三、填空题
15．函数()()
2
2log 3f x x ax =-++在()2,4是单调递减的，则a 的取值范围是
________.
16．已知()312=-+x
f x ，若关于x 的方程2[()](2)()20f x a f x a -++=有三个实根，则实数a 的取值范围是_____.
17．已知0a >时，对任意0x >，有2()()0x a x bx a -+-≥恒成立，则a
b
的取值范围是_________________.
四、解答题
18．已知集合2
31
{|230},{|log ,
27},9
A x x x
B y y x x =+-<==<<2{|(1)220,}
C x x m x m m R =----<∈ .
（1）求A
B ；
（2）若()C A
B ⊆ ，求实数m 的取值范围.
19．已知函数()(1)(3)x x f x a a =-+（1a >） （1）求函数()f x 的值域；
（2）若[2,1]x ∈-时，函数()f x 的最小值为5-，求a 的值和函数()f x 的最大值.
20．已知()()()
3sin sin 2sin f ππαααπα⎛
⎫--+ ⎪
⎝⎭=
--. （1）若tan 2α=，求
()
sin 2cos 3f αα
α+的值；
（2）若163312f πππαα⎛⎫⎛⎫-=--<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求5cos +cos 63ππαα⎛⎫⎛⎫
+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值.
21．已知函数()221
x x a
f x +=+.
（1）若()f x 为奇函数，求a 的值；
（2）在（1）的条件下，判断()f x 在R 上的单调性并用定义证明； （3）若对任意的,[0,1]m n ∈，总有2()()f m f n >成立，求a 的取值范围. 22．已知a R ∈，()()2log 1f x ax =+. （1）若0a <，求()2
f x
的值域;
（2）若关于x 的方程()()()2
2log 4250f x a x a x ⎡⎤--+-=⎣⎦的解集中恰有一个元素，求实
数a 的取值范围;
（3）当0a >时，对任意的1,3t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
,()2
f x
在[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过2，求a 的取值范围.
参考答案
1．B 【解析】 【分析】
求出全集U 中的元素，根据补集定义求解。

【详解】
由题意{1,2,3,4,5,6}U =，∴{1,2,3}U C A =。

故选：B 。

【点睛】
本题考查补集的运算，解题关键是确定全集和集合A 中的元素，才能根据定义求得补集。

2．A 【分析】
由真数大于0，分母不为0和二次根式被开方数不小于0可得定义域。

【详解】
由题意2100x x ⎧->⎨>⎩
，解得01x <<。

故选：A 。

【点睛】
本题考查求函数的定义域。

函数定义域就是使函数式有意义的自变量的取值范围。

在高中我们所学函数中有意义一般指：
（1）分母不为0；（2）偶次根式下被开方数不为负；（3）零次幂底数不为0；（4）对数的真数大于0；（5）对数型函数与指数型函数的底数大于0且不等于1；（6）正切函数tan y x =中自变量2
x k π
π≠+，k Z ∈。

3．B 【分析】
计算区间两端点处的函数值，只要一正一负即得。

【详解】
2(0)ln1102f =-
=-<，2
(1)ln 23
f =-0>。

(0)(1)0f f <。

故选：B 。

【点睛】
本题考查函数的零点存在定理，连续函数()f x 满足()()0f a f b <，则它在区间(,)a b 上至少有一个零点。

4．C 【分析】
,b c 应用幂函数的单调性比较大小，然后借助中间值1可与a 比较大小。

【详解】 ∵0.4
y x
=在[0,)+∞上是增函数，3 2.91>>
∴0.40.43 2.91>>，
∵00.41,30<<>，∴30.41<， ∴a b c <<。

故选：C 。

【点睛】
本题考查比较幂的大小，一般同底数的幂利用指数函数比较大小，同指数的幂利用幂函数比较大小，不同底不同指数的幂可借助中间值，如1比较。

5．D 【分析】
确定函数的奇偶性可排除两个选项，再由函数值的正负排除一个，剩下的就是正确选项。

【详解】
函数定义域是R ，
设2()lg(1)f x x x =+，则2()lg(1)()f x x x f x -=-+=-，∴()f x 是奇函数，可排除A 、
C ，
又0x >时2
()lg(1)f x x x =+0>，0x <时，2
()lg(1)f x x x =+0<，因此可排除B 。

故选：D 。

【点睛】
本题考查由函数解析式选取函数的图象。

解题进可用排除法，即研究函数的性质如单调性、奇偶性，对称性，研究函数的特殊值如某点处的具体函数值，或者特殊点，如顶点，与坐标
轴的交点，以及函数值的正负，或者函数值的变化趋势，排除三个选项得到正确选项。

6．B 【分析】
画出函数[]
sin ,0,2πy x x =∈上的图像，找到sin 2
x =对应x 的值，由此求得x 的取值范围. 【详解】
画出函数[]
sin ,0,2πy x x =∈上的图像如下图所示，由图像得：x 的取值范围是π3π,44⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.故选B.
【点睛】
本小题主要考查正弦函数的图像，考查特殊角的三角函数值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 7．D 【分析】
直接把已知和待求值式代入函数解析式计算。

【详解】 由题意122019
122019()9x x x f x x x a ++
++++==，
∴()()
()122019222f x f x f x ⋅=201912201912201912
22()
222
()x x x x x x x x x a a a a a ++
+++
+⋅==
2981==。

故选：D 。

【点睛】
本题考查指数函数的概念，考查幂的运算法则，属于基础题。

8．B 【解析】
A ：由函数性质可知，()f x 的值只能取1，-1，所以值域为{}1,1-，正确；
B ：当x 为有理数时，x -也是有理数，则()()1f x f x -==；同理可得，当x 为无理数时，也满足()()1f x f x -==，所以x ∈R 时，均有()()f x f x -=，为偶函数，错误；
C ：当x 为有理数时，1x +也是有理数，则()()11f x f x +==；同理可得，当x 为无理数时，也满足()()11f x f x +==，所以x ∈R 时，均有()()11f x f x +==，正确；
D ：由函数性质易知，()f x 不是单调的，正确； 故选B ． 9．C 【解析】
当21x -≤≤时，()1224f x x x =⋅-⨯=-； 当12x <≤时，()2
3
224f x x x x =⋅-⨯=-；
所以()3
4,21
4,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩
， 易知，()4f x x =-在[]2,1-单调递增，()3
4f x x =-在(]
1,2单调递增，
且21x -≤≤时，()max 3f x =-，12x <≤时，()min 3f x =-，
则()f x 在[]22-,
上单调递增， 所以()()13f m f m +≤得：212
23213m m m m
-≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩
，解得12
23m ≤≤，故选C ．
点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩
，通过单调
性分析，得到()f x 在[]22-,
上单调递增，解不等式()()13f m f m +≤，要符合定义域和单调性的双重要求，则212
23213m m m m -≤+≤⎧⎪
-≤≤⎨⎪+≤⎩
，解得答案．
10．C
【分析】
先分析函数()f x 的性质，可以画出图象，然后结合二次函数性质可知什么时候只有一个公共点． 【详解】
∵当11
22
m x m -
<≤+（其中m 为整数），{}=x m ，函数(){}f x x x =-， ∴()f x 是周期函数，周期为1，当11
22
x -<≤时，()f x x =．作出函数()f x 图象，如图，
A ．4,1a b =-=时，2()4g x x x =-+，它的零点是0和
1
4，由2
4y x y x x =⎧⎨=-+⎩
只有一组解00
x y =⎧⎨
=⎩，即直线y x =与2
()4g x x x =-+在(0,0)相切，又11()22g =-，但11(,)22-不在函数()f x 的图象上，因此()f x 与()g x 只有一个公共点； B ．2,1a b =-=-时，2()2g x x x =--，它的零点是0和12
-，1
()12g =-，由（1）知它
在1
(,0)2-处切线方程为12
y x =+
，因此()g x 的图象与()f x 的图象只有(0,0)一个公共点； C ．4,1a b ==-时，2()4g x x x =-，它的零点为0和14，但11
()22g =，而11()22
f =，
因此()f x 与()g x 的图象有两个公共点；
D ．5,1a b ==时，2()5g x x x =+，它的零点为0和1
5-，
131()242
g -=>，且()g x 在(0,0)处的切线方程是y x =．因此()f x 与()g x 的图象只有一个公共点． 故选：C ．
【点睛】
本题考查函数图象的公共点个数问题，考查学生的创新意识，解题时要通过研究函数()f x 的定义得出它的性质，周期性、单调性等，得出它的图象，从而结合二次函数的性质可得()g x 与()f x 的交点个数，题中切线的说明很重要，要注意．
11．1
4
-
4 【分析】
(1)根据分数指数幂化简求值；（2）根据对数运算法则化简求值. 【详解】
(1)(
)
2.5
1
0.5
1535310.640.64
0.82424
---⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭
, ()7
log 222lg5lg472lg52lg222102 4.lg ++=++=+=
【点睛】
本题考查分数指数幂以及对数运算法则，考查基本化解求值能力.
12．(]03，
(],1-∞ 【分析】
先求出22x x -的值域，再结合指数函数的性质得出结论，再由复合函数的单调性得出增区间． 【详解】
∵22
2(1)11x x x -=--≥-，∴2210()
33
x x
-<≤，即值域为(0,3]，
1
()3
u y =是减函数，22u x x =-在(,1]-∞是递减，在[1,)+∞上递增，∴所求函数增区间是
(,1]-∞．
故答案为：(0,3]；(,1]-∞． 【点睛】
本题考查指数型复合函数的值域和单调性，掌握指数函数的值域和复合函数的单调性是解题基础．
13．2 100 【分析】
设半径为r ，用r 表示出扇形面积，然后求得最大值． 【详解】
设扇形半径为r ，则其弧长为402r -，4020,20r r -><，∴020r <<．
∴221
(402)20(10)1002
S r r r r r =
-=-+=--+， ∴10r =时，max 100S =．此时圆心角为
40210
210
-⨯=． 故答案为：2；100． 【点睛】
本题考查扇形的面积公式，属于基础题． 14．3 (2,3) 【解析】
设()a
f x x =，则
()
()442322
a
a a f f ===，得2log 3a =，()223a f ==； ()2a g x x ax a =-+，则当2x =时，()223a g ==，所以过定点()2,3．
15．13,44⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
【分析】
由题意可知，内层函数23u x ax =-++在区间()2,4上单调递减，可得出
22
a
≤，且使得23u x ax =-++在4x =处的函数值非负，由此可得出关于a 的不等式组，解出不等式组即可得出实数a 的取值范围. 【详解】
设23u x ax =-++，则二次函数23u x ax =-++的图象开口向下，对称轴为直线2
a
x =. 由于函数()()
2
2log 3f x x ax =-++在()2,4上单调递减，
则函数23u x ax =-++在()2,4上为减函数，则有
22
a
≤， 由于23u x ax =-++在()2,4x ∈为正数，则当4x =时，0u ≥，
于是有22
24430
a
a ⎧≤⎪⎨⎪-++≥⎩，解得1344a ≤≤. 因此，实数a 的取值范围是13,44⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
.
故答案为13,44⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题考查利用对数型复合函数的单调性求参数，在分析出内层函数的单调性后，还应保证真数在相应的区间上恒为正数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 16．{|23}a a << 【分析】
解方程2
[()](2)()20f x a f x a -++=得()2f x =或()f x a =，()2f x =只有一个根0x =，
因此方程()f x a =要有两个解，结合函数图象可得． 【详解】
由2
[()](2)()20f x a f x a -++=得()2f x =或()f x a =，()2f x =⇒0x =，只有一个根，
因此方程()f x a =要有两个非零解，作出()y f x =的图象和直线y a =，由图象可知当
23a <<时，方程()f x a =有两个非零解．
∴a 的范围是{|23}a a <<． 故答案为：{|23}a a <<．
【点睛】
本题考查函数零点与方程根的分布，解题时宜采用数形结合思想，把问题转化为直线与函数图象交点个数问题，从而通过作出函数图象得到参数取值范围． 17．()(),10,-∞-+∞
【分析】
根据条件的x a =为方程20x bx a +-=的根,化简a
b
为一元函数,再求取值范围. 【详解】
因为对任意0x >，有()()
2
0x a x bx a -+-≥恒成立，所以x a =为方程20x bx a +-=的
根,即2
1
0,?
10,?1,?111a
a a ba a a
b b a b a a
+-=+-==-==-+
--, 因为0a >,所以11a 1,11a -∴-或101a <-，即1a b <-或0a
b
>. 【点睛】
在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究. 18．（1）(2,1)-；（2）42m -≤≤ 【详解】
试题分析：（1）计算得()()3,1,2,3A B =-=-,求A
B 即可；（2）包含关系要分空集和
非空两种情况讨论，本题中集合C 还要考虑不等式两根的大小，对分类讨论要做到不重不漏即可． 试题解析：
（1）()()3,1,2,3A B =-=-,所以()2,1A B ⋂=-.
（2）由（1）可知()3,3A B ⋃=-， 当3m =-时，C φ= ，符合题意；
当3m >-时，12m +>-，所以{|21}C x x m =-<<+，所以13m +≤，所以32m -<≤； 当3m <-时，12m +<-，所以{|12}C x m x =+<<-，所以13m +≥-，所以
43m -≤<-，
综上所述，实数m 的取值范围是42m -≤≤. 19．（1）(),3-∞ （2）max 39
2,16
a y == 【详解】
(1)设x a t =,则0t >,
()()()
()2
2132314143x x f x a a t t t =-+=--+=-++<-+=,
即(),3-∞值域为,
(2) 设x a t =,则2
,t a a -⎡⎤∈⎣⎦,而()()()()2
2
132314x
x
f x a
a t
t t =-+=--+=-++,
所以当t a =时, 函数()f x 取最小值，即2235a a --+=-,
因为1a >,所以2a =, 当2
14t a
-==
时函数()f x 取最大值，为1139
316216
--+=.
【点睛】
研究二次函数性质时，要注意对称轴与定义区间位置关系. 20．（1）43-（2
）13
. 【分析】
（1）用诱导公式化简()cos f αα=-，对齐次式sin 2cos 3()
f αα
α+的分子分母同除以cos α，
变为tan α的式子，代入已知可求值；
（2）观察已知角与未知角的关系，用诱导公式及同角关系中的平方关系计算． 【详解】
()()()
3sin sin 2sin f ππαααπα⎛
⎫--+ ⎪⎝⎭=--sin (cos )cos sin αααα-==-， （1）
()sin 2cos 3f ααα+sin 2cos tan 2224
3cos 333
αααα+++====----；
（2）1()cos()663f π
παα-=--=-，1cos()63
πα-=， 又3
12
π
π
α-
<<-
，∴
4
6
2
π
π
π
α<
-<
，
∴sin(
)6
π
α-===
cos()cos[()]cos[()]sin()362266π
πππππαααα-
-=--=--=-=
. 51cos(
)cos[()]cos()6663
πππαπαα+=--=--=-． ∴5cos +cos 63ππαα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭13=-+=
． 【点睛】
本题考查诱导公式和同角间的三角函数关系，牢记三角函数公式是解题基础． 21．(1) 1a =- (2) ()f x 在R 上递增,证明见解析 (3) 1
(,)2
a ∈-
+∞
【分析】
（1）由(0)0f =求得a ，并代入检验即可；
（2）分离常数得212
()12121
x x x
f x -==-++，可判断()f x 在R 上递增.再根据单调性的定义证明即可；
（3）题意为min max 2()()f x f x >，按10,10,10a a a ->-=-<分类讨论求最大值和最小值． 【详解】
（1）(0)0f =，1a ∴=-，
经检验得：当1a =-时，21
()21
x x f x -=+为奇函数；
（2）由（1）212
()12121
x x x
f x -==-++，()f x 在R 上递增. 证明：设12x x <，则12022x x <<，∴1212121x x <+<+，1222
2121
x x >++， ∴12
22
112121
x x -
<-++，即12()()f x f x <，∴()f x 在R 上是增函数； （3）即min max 2()()f x f x >.()221x x a
f x +=+1121
x a -=++， ①1021232a a a ->⎧
⎪++⎨⨯>⎪⎩，1a ⇒>；②1a =时，21>，成立；
③1012223a a a
-<⎧
⎪
++⎨⨯>⎪⎩
112a ⇒-<<； 综上所述，1
(,)2
a ∈-+∞. 【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性，函数()f x 为奇函数，(0)f 若存在，则(0)0f =．单调性的证明一定要按照定义进行证明，即在单调区间内设12x x <，证明12()()f x f x <（或
12()()f x f x >）．含有参数的函数在研究单调性时要分类讨论．
22．(1) (,0]-∞ (2) [1,2)(4,)a ∈⋃+∞ (3) (90,4
⎤⎥⎦
【分析】
（1）求出21ax +的最大值为1，由2011ax <+≤得值域；
（2）原方程等价于2
1(4)(25)0ax a x a x +=-+->，即()()2
4510a x a x -+--=且
10ax +>，分①40a -=，②40a -≠时0∆=，③当>0∆时，方程有两根，其中只有
一个是原方程的解，即满足10ax +>； （3）2()f x 在[0,)+∞上是增函数，因此有
()()()22
1222max min
log 11log 12f x f x a t at ⎡⎤⎡⎤-=++-+≤⎣⎦⎣⎦，()2
2
1141a t at
++≤+，整理得()
232130a t t --+≥，注意0a >，因此求得2321t t --的最小值后可得关于a 的不等关
系． 【详解】
（1）()()2
2
2
log 1f x ax =+，当0a <时，2
011ax
<+≤，()
2
(,0]f x ∈-∞；
（2）由题意()()()2
22log 1log 425ax a x a x ⎡⎤+=-+-⎣⎦
21(4)(25)10ax a x a x ax ⎧+=-+-∴⎨+>⎩
即()()2
4510a x a x -+--=
当4a =时，1x =-,不符合10ax +>
当0∆=即3a =时，1x =-,也不符合10ax +> 当43a a ≠≠且时，方程的解为 121
,14
x x a ==-- 若1x 是方程的解，需104
a
a +
>-,解得4a >或2a < 若2x 是方程的解，需10a ->即1a <
[1,2)(4,)a ∴∈⋃+∞
（3）当0a >时，对任意的1,3t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
，()2
f x 在[
]
,1t t +上单调递增
()()()2
21222max min log 1log 2()11f x f x a t at ⎡⎤-=++-+≤⎣⎦
()2
2
1141a t at ++≤+，整理得()2
32130a t t --+≥
又2
44321,3033t t a ⎡⎫
--∈-
+∞∴-+≥⎪⎢⎣⎭
a 的取值范围是(90,4⎤
⎥⎦
【点睛】
本题考查对数函数的性质，考查对数型函数的最值，考查解对数方程，解题时时刻注意对数的真数大于0这个条件是正确解题的必要条件．。