高考数学专题闯关教学导数及其应用共张_OK

解：(1)由 f(x)＝x3＋ax2－x＋c，得 f′(x)＝3x2＋ 2ax－1.
当 x＝23时，得 a＝f′23＝3×232＋2f′23×23－1， 解得 a＝－1. (2)由(1)可知 f(x)＝x3－x2－x＋c. 则 f′(x)＝3x2－2x－1＝3x＋13(x－1)，列表如下：
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(2)∵函数 f(x)在(－1,1)上单调递增， ∴f′(x)≥0 对 x∈(－1,1)恒成立． ∵f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex＝[－x2＋(a－ 2)x＋a]ex， ∴[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0 对 x∈(－1,1)恒成立． ∵ex>0，∴－x2＋(a－2)x＋a≥0 对 x∈(－1,1)恒成 立， 即 a≥xx2＋＋21x＝x＋x＋121－1＝(x＋1)－x＋1 1对 x∈ (－1,1)恒成立．
导数及其应用
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主干知识整合
1．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x) 在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．
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2．导数的四则运算法则 (1)[μ(x)±v(x)]′＝μ′(x)±v′(x)； (2)[μ(x)·v(x)]′＝μ′(x)v(x)＋μ(x)v′(x)； (3)[μvxx]′＝μ′xvxv－2xμx·v′x.
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3．复合函数求导
复合函y＝f(g(x))的导数和y＝f(u)，u＝g(x)的导数之 间的关系为gx′＝f′(u)g′(x)．
4．函数的单调性与导数的关系
在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区 间(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，那么函数f(x) 在区间(a，b)上单调递减．
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导数与函数的单调性
例已2 知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，
e为自然对数的底数)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范
围．
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【解】 (1)当 a＝2 时，f(x)＝(－x2＋2x)ex， ∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex. 令 f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0， ∵ex>0，∴－x2＋2>0，解得－ 2<x< 2. ∴函数 f(x)的单调递增区间是(－ 2， 2)．
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变式训练 已知函数 f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且 a＝
f′23. (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间； (3)设函数 g(x)＝[f(x)－x3]·ex，若函数 g(x)在 x∈ [－3,2]上单调递增，求实数 c 的取值范围．
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当 x∈(－ a， a)时，f′(x)<0，函数 f(x)单调递减； 当 x∈( a，＋∞)时，f′(x)>0，函数 f(x)单调递增． 综上可知 x＝－ a是 f(x)的极大值点，x＝ a是 f(x) 的极小值点．
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导数与函数的极值(最值)
例3 已知函数 f(x)＝1x＋aln x(a≠0，a∈R)． (1)若 a＝1，求函数 f(x)的极值和单调区间； (2)若 a<0 且在区间(0，e]上至少存在一点 x0， 使得 f(x0)<0 成立，求实数 a 的取值范围．
10 3 .12
分
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【得分技巧】 (1)求a的取值范围，关键转化为 f′(x)≥0，从而利用不等关系求a的取值范围．这
样可以得2～3分．
(2)第二个得分点是利用f(1)或f(4)求a的值，利用求
最值方法求最大值．
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【失分溯源】 (1)考生在求解时，利用 f′(x)≥0， 而忽略 x≠23，从而错误求得 a≥－19. (2)不会判断 f(x)在[1,4]哪一位置取得最小值，从 而求不出 a 的值，该点不能得分．
②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求 解．
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变式训练 1 曲线 y＝x3 在点(1,1)处的切线与 x 轴及直线 x＝1 所围成的三角形的面积为( ) A.112
1 B.6
1 C.3 D.12
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解析：选 B.求导得 y′＝3x2，所以 y′＝3x2|x＝1＝3， 所以曲线 y＝x3在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝3(x －1)，结合图象易知所围成的三角形是直角三角 形，三个交点的坐标分别是23，0，(1,0)，(1,1)，于 是三角形的面积为12×1－23×1＝16，故选 B.
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6．利用定积分求曲边梯形的面积 由直线 x＝a，x＝b(a<b)，x 轴及一条曲线 y＝
f(x)(f(x)≥0) 围 成 的 曲 边 梯 形 的 面 积
S
＝
∫
b a
f(x)dx.若 F′(x)＝f(x)，则 S＝F(b)－F(a)．
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高考热点讲练
导数的几何意义
例1 设f(x)＝xln x＋1，若f′(x0)＝2，则f(x)在点 (x0，y0)处的切线方程为________．
【答案】 2x－y－e＋1＝0
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【归纳拓展】 求曲线切线方程的步骤是：
(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x) 在点P(x0，f(x0))处切线的斜率； (2)在已知切点坐标P(x0，f(x0))和切线斜率的条件下， 求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． 注意：①当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行 于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方 程为x＝x0；
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当 0＜a＜2 时，有 x1＜1＜x2＜4，所以 f(x)在[1,4]上的 最大值为 f(x2).9 分
又 f(4)－f(1)＝－227＋6a＜0，即 f(4)＜f(1)．…10 分
所以 f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4)＝8a－430＝－136.
11 分
得 a＝1，x2＝2，从而 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(2)＝
＋2)．
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当 g(x)在区间[0,2]上的最大值为 g(0)时，g(0)≥g(2)， 即 0≥20a－24.故得 a≤65. 反之，当 a≤65时，对任意 x∈[0,2]， g(x)≤65x2(x＋3)－3x(x＋2)＝35x(2x2＋x－10)＝35x(2x ＋5)(x－2)≤0， 而 g(0)＝0，故 g(x)在区间[0,2]上的最大值为 g(0)． 综上，a 的取值范围为－∞，65.
变式训练3 设a∈R，函数f(x)＝ax3－3x2. (1)若x＝2是函数y＝f(x)的极值点，求a的值； (2)若函数g(x)＝f(x)＋f′(x)，x∈[0,2]，在x＝0处取得 最大值，求a的取值范围． 解：(1)f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)． 因为x＝2是函数y＝f(x)的极值点， 所以f′(2)＝0，即6(2a－2)＝0，因此a＝1. 经验证，当a＝1时，x＝2是函数y＝f(x)的极值点． (2)由题设，g(x)＝ax3－3x2＋3ax2－6x＝ax2(x＋3)－3x(x
1 (1，＋∞)
0
＋
极小值
所以 x＝1 时，f(x)的极小值为 1. f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间 为(0,1)． (2)因为 f′(x)＝－x12＋ax＝axx－2 1，且 a≠0， 令 f′(x)＝0，得 x＝1a，
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若在区间(0，e]上至少存在一点 x0，使得 f(x0)<0 成 立， 其充要条件是 f(x)在区间(0，e]上的最小值小于 0.
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【解析】 因为 f(x)＝xln x＋1， 所以 f′(x)＝ln x＋x·1x＝ln x＋1. 因为 f′(x0)＝2，所以 ln x0＋1＝2， 解得 x0＝e，y0＝e＋1. 由点斜式得，f(x)在点(e，e＋1)处的切线方程为 y －(e＋1)＝2(x－e)，即 2x－y－e＋1＝0.
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考题解答技法
例 (本题满分 12 分)设 f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax. (1)若 f(x)在23，＋∞上存在单调递增区间，求 a 的 取值范围； (2)当 0＜a＜2 时，f(x)在[1,4]上的最小值为－136， 求 f(x)在该区间上的最大值．
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【解】 (1)f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－x－122＋14＋2a .2 分
当 x∈23，＋∞时，f′(x)的最大值为 f′23＝29＋2a. 4分
令29＋2a＞0，得 a＞－19.5 分 所以当 a＞－19时，f(x)在23，＋∞上存在单调递增区 间．
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即 f(x)在23，＋∞上存在单调递增区间时，a 的取值 范围为－91，＋∞.6 分 (2)令 f′(x)＝0，得两根 x1＝1－ 21＋8a， x2＝1＋ 21＋8a，7 分 所以 f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在 (x1，x2)上单调递增.8 分
解：(1)由题知 f′(x)＝3x2－3a(a≠0)， 因为曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线 y＝8 相 切， 所以ff′ 2＝2＝8，0， 即38－4－6aa＋＝b＝0，8. 解得 a＝4，b＝24.
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(2)因为 f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)． 所以①当 a<0 时，f′(x)>0，函数 f(x)在(－∞，＋∞) 上单调递增；此时函数 f(x)没有极值点． ②当 a>0 时，由 f′(x)＝0 得 x＝± a. 当 x∈(－∞，－ a)时，f′(x)>0，函数 f(x)单调递 增；
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令 y＝(x＋1)－x＋1 1，则 y′＝1＋x＋1 12>0. ∴y＝(x＋1)－x＋1 1在(－1,1)上单调递增． ∴y<(1＋1)－1＋1 1＝32. ∴a≥32.
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【归纳拓展】 利用导数研究函数单调性的一般 步骤：
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数
f(x) 的 定 义 域 内 解 ( 或 证 明 ) 不 等 式 f′(x)>0 或 f′(x)<0.
②若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0 或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．
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变式训练2 设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)． (1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求 a，b的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值点．
因为 a<0，所以 x＝1a<0，f′(x)<0 对 x∈(0，＋∞) 成立， 所以 f(x)在区间(0，e]上单调递减， 故 f(x)在区间(0，e]上的最小值为 f(e)＝1e＋aln e＝1e ＋a， 由1e＋a<0，得 a<－1e，即 a∈－∞，－1e.
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【归纳拓展】 利用导数研究函数的极值的一般 步骤：
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【解】 (1)因为 f′(x)＝－x12＋ax＝axx－2 1， 当 a＝1 时，f′(x)＝x－x2 1， 令 f′(x)＝0，得 x＝1，
又 f(x)的定义域为(0，＋∞)．
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f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x f′(x)
f(x)
(0,1) －
(1)确定定义域．
(2)求导数f′(x)．
(3)①若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检验 f′(x)在方程根左、右值的符号，求出极值．(当根
中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)
②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方
程f′(x)＝0根的大小或存在情况，从而求解．
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5．函数的单调性与极值的关系
一般地，对于函数y＝f(x)，且在点a处有f′(a)＝
0.
(1)若在x＝a附近的左侧导数小于0，右侧导数大 于0，则f(a)为函数y＝f(x)的极小值． (2)若在x＝a附近的左侧导数大于0，右侧导数小 于0，则f(a)为函数y＝f(x)的极大值．
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