中学数学圆锥曲线定值定点练习题(含答案)

解析几何之定值、定点问题
解析几何中定值定点问题是高考命题中常见的一个考点，也是解析几何中的一个难点，在求解过程中往往会涉及大量的运算，圆锥曲线中的定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.难度较大.定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值.化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的包成立、数式变换等寻找不受参数影响的量现就常见的题型做总结如下：
一、常考题型及方法总结
1、常考题型
(1)斜率(倾斜角)为定值
(2)角度为定值
(3)面积为定值
(4)数量积为定值
(5)线段长度为定值
(6)直线方程定式
(7)斜率乘积为定值
(8)数量关系为定值
(9)定点问题
2、处理圆锥曲线中定值问题的方法
(1)从特，殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
3、处理圆锥曲线中定点问题的方法
(1)探索直线过定点时，可设出「直线方程为y kx m,然后利用条件建立k, m等量关系进行消元，借助
丁直线系的思想找出定点.
(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
二、例题精讲
(一)斜率为定值
例1、已知椭圆C:2 x 2 a
所以C
a
2 a
1
2
b 2
，解得 2
a
b 2
8匕』 … x 2
所以椭圆C 的方程为—
2 8 因为/ PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴，所以PA 与AQ 所在的直线关于直线 x= 2对称. 设直线PA 的斜率为k,则直线AQ 的斜率为一 k.所以直线PA 的方程为y —1 = k(x- 2), 直线AQ 的方程为 v — 1 = 一 k(x - 2). y 设点 P(x 1，y 〔),Q(x 2, y ?),由 x 2 8 k(x 2 匕1 2 2) 得(1 4k 2)x 2 (16k 2 8k)x 16k 2 16k 因为点A(2,1)在椭圆C 上，所以x= 2是方程①的一个根，贝U 2x 1 一 2 -
16k 16k 4 ---------- 2 --- ,所以
1 4k
X 1
.2 -
8k 8k
同理X 2 -2 - - 8k 8k 2 1
4k 2 所以X 1 X 2 16k
2,X 1 4k 2 X 2 -
2
16k 4
1 4k 2
又 V 1 V 2 k(X 1 X 2 4) 8k
1 4k 2
所以直线PQ 的斜率 V 1 k PQ X 1 X 2 y 2 】，所以直线PQ 的斜率为定值，该值为 2 方法二 设直线PQ 的方程为y= kx+ b, 点 P(X 〔, y 1), Q(X 2, y 2)则 y 1 kx 1 b, y 2 kx 2 b ,所以 k PA Y1 x 1 2 1 二，k QA y 2 1 x 2 2 ' 因为/ PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴，所以PA 与AQ 所在的直线关于直线 x= 2对称, 所以k P A y 1
X 2 2 化简得 XM X 2y 〔 (X 1 X 2) 2(y 1 y 2) 4 0 所以 2kx 1x 2 (b 2k)(x 1 X 2) 4b
kx 由x2 2 y_ 8 2 2k 代入①，得义 若b 1 2k , 变式题
b 得(1 4k 2 )x 2 8kbx 4b 2 8 1 0②则x 1 x 2 8kb 2，x 〔X 2
1 4k 4b
2 1 4k 2 (4b 2 8) 8kb(b 1 2k) --- ----- 2- 4b 1 4k 4 0整理得(2k 1)(b 2k 1)
0所以k 1 , —或b
1
2
2k
可得方程①的一个根为 2,不符合题意.所以直线 PQ 的斜率为定值, 、，… 1 该值为 一
2
求证：PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，直线 证明：因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补 所以k pA k pB
所以所以y i y 2
2y 0
y i y 。

板 y 。

2
,y i
2 pX i
由 2
相减侍，(y 2 y i )(y 2 y i ) 2p(X 2
y 2 2pX 2
直线AB 的斜率为非零常数
卫
y 。

（二）角度为定值
例2、在平面直角坐标系Xoy 中，圆C 的方程为（X i ）2 y 2 4, p 为圆C 上一点.若存在一个定圆 M ，过P 作圆
M 的两条切线PA,PB ，切点分别为 A,B ，当P 在圆C 上运动时，使得 APB 恒为6。

，求圆M 的方程.
解：设定圆圆心 M a, b ,半径为r ,动点P x,y ，由题意知 MP 2r ,
口r
2
2
2
即 x a y b 4r ,
由于点P 在圆C: （x — i ）2+ y 2= 4上，
所以有 2 2a x 2by a 2 b 2 4r 2 3 。

对任意x, y 都成立， 所以 a i,b 0,r 2 i,
所求圆方程为（x —i ）2+ y 2= i.
变式题
2
-y i 2
y 。

2px i
2px 0
相减得，（y i y °）（y i y 0) 2p(x i X。

)
故K pA
y i
y。

X i X o
2p
y i
y。

(X i X o )
同理可得，K PB
y 2 y。

X 2
X。

2p y 2
y。

(X 2 X o )
2
X
2-i .已知双曲线 C :―2 a
0, b 0）的离心率h 为J3，右准线方程为
-3 工， 2
—•设直线l 是圆O : x 2
3
y 2 2上。

）处的切线,
l 与双曲线C 交于不同的两点 A,B,证明: AOB 的大小为定值.
e
证明：由题意： i — 2
L 所以b 2
c 2 a 2 2所以双曲线方程为：x 2
AB 的斜率为非零常数. 景* 2p 2p p
Xi) - - K AB
~-
所以 3x 0 2 4 0,且
16x 02 4(3x 02 4)(8 2x 02) 0
所以 AOB 为定值900. （三）面积为定值
如果不是，请说明理由.
解：AOB 的面积为定值，证明如下:
b 1 所以椭圆的方程为1
4
c 3
.
2 (1)当直线AB 斜率不存在时，即x 1 x 2, y 1
y 2,由m n 0得x 12 -y ^
2
X 0X 化简得x 0x y 0 y 2由2 x
VoV
2
V_ 2
2
2
2
2
2
-
及 x 0
y 0 2,得(3x 0
4)x 4x 0x 8
2x 。

1 2 0
因为切线l 与双曲线C 交于不同的两点 A,B 且 0
2
o
x °
2
设A, B 两点的坐标分别为（x 1, y 1）, （x 2, y 2）则x 1 x 2
4x 0
—2
,x 〔x 2
8 2x 。

2
3x 。

2 4
因为cos AOB
OA OB |OA| |OB|
且 OA OB
x 1x 2 y 1y 2 x 1x 2
1
-12(2 x °x i )(2 y 。

x °x 2)
x 〔x 2
1
2
x
[4 2x ° (x 〔 x ?) 2
x 0 x 〔x 2]
_
. 2
8 2x 0
2
3x 4 汶
[
4
8x °2
2
3x ° 4
2 ,
x ° (8
2
2x °2)] 4
_
.
2
8 2x 0
Z 2
_ 2
_
2x 0
8
-2
例 3、设 A （x 〔，y 〔），Bg, y 2）是椭圆
2 x
~2
a 2
y_ b 7
1(a b 0）上的两点，已知向量 m
x 〔 y 〔 (—,—),n
0且椭圆的离心率
'••3…八,
e —短轴长为 2
2,。

为坐标原点.试问:
AOB 的面积是否为定值？如果是,
请给予证明;
证明：由题意知
2b 2
e c 2解得
a 2
2
2
2
4
m:x 3y 6
0相交于 N ，探索AM AN 是否与直线l 的倾斜角有关。

若无关，请求出其值；若有关，请说明理由
解：因为 CM AN 所以 AM AN (AC
CM) AN AC AN
①当直线
5
l 与x 轴垂直时，易知 N ( 1, 一) 则AN
5、
(0, -), AC (1,3)所以 AM AN
AC AN ②当直线 l 与x 轴不垂直时，设直线方程为: y k(x 1)
所以三角形AOB 的面积为定值1.
变式题
3-1.已知椭圆C:今+ y 2= 1的右顶点为A,上顶点为B.设P 为第三象限内一点且在椭圆
C 上，直线PA 与y 轴交
4
于点M,直线PB 与x 轴交于点N,求证：四边形 ABNM 的面积为定值.
解：由题意知，A(2,0), B(0,1),设 P(x), y °)(x°v 0, y0V 0),则 x2+ 4y0 = 4, 所以直线叫的方程为v=3(x-2),令x=°,得yM =-涪2'从而1BM|=1-y M=1 +涪2, 直线所的方程为v=质x+ 1,令y =°,得X N =-嵩'从而A N|= 2-X N =2 +螺， 所以四边形ABNM 的面积
1
1 2 X 0
1 2y 0 x
2 + 4y0 + 4x 0y 0 — 4x 0— 8y 0+ 4 2x 0y 。

一 2x 0 — 4y 0+ 4 ?
S — 2|AN||BM|— 2
y 0
1
x o
2
2 X 0y 0 — x 0— 2y 0+ 2
X 0y 0—x 。

一 2y 0+2
，
从而四边形ABNM 的面积为定值. (四)
数量积为定值
2
3)
4，一条动直线l 过点A( 1,0)与圆C 相交于P, Q 两点，M 是PQ 的中点，l 与直线
所以S AOB 1 ,,,
, -| X I | | y 1 y 2 | 2
1
1|x 1 | 2成 |
2 1所以三角
形
AOB 的面积为定值
(2)当直线 AB 斜率存在时：设 AB 的方程为y
kx b
y 由y
2
~
4 kx
所以S
得(k 2 4)x 2
1
2kbx b 2 0所以x i
x 2
2 kb ———，x
〔x 2
k 4
b 2 4
得x 〔X 2 四丝 0
4 即 x 1 x 2
(kx 1 b)(kx 2 b)
0代入整理得:
2b 2 k 2 4
AOB ：—|b|2
|AB|
2
1 k
2 1
--------- 2
2〔b|,(x 1 X 2)
4x 1x 2
|b| ,4k 2 4b 2 16
k 2 4
业
1
2|b|
例4.已知圆C:
x 2 (y
综上所述：AM AN与直线l的斜率无关，因此与直线倾斜角也无关且AM AN 5.
变式题
(五)线段长度为定值
11
例5.如图，在平面直角坐标系xoy中，点F (一,0)，直线l : x 一，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的
22
交点，RQ PF,PQ l .
⑴求动点Q的轨迹C的方程；
(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由.
解(1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ PF , RQ是线段FP的垂直平分线.
•••点Q在线段FP的垂直平分线上，.•.|PQ| = |QF| ,
又|PQ|是点Q到直线l的距离，
故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2 2x(x 0).
⑵弦长|TS|为定值.理由如下：
取曲线C上点M (x0,y。

)，M到y轴的距离为d |x°| x°,圆的半径r | MA | J(x° 1)2—,
则|TS| 2折2 d22jy。

2 2x° 1 ,
2
因为点M在曲线C上，所以x0”，所以| TS | 2\'y02x0 1 2 是定值.
2
变式题
5-1. E知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P(2,0)为定点，若动圆M过点P,且圆心M在抛物线C上运
动。

点A, B是圆M与y轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线 C ,使| AB |为定值？若存在，求出这个定值；若不
存在，说明理由。

解：设圆心M(a,b)(a 0),点A(0,y1), B(0, y2).
因为圆M过点P (2,0)，可设圆M的方程为：(x a)2(y b)2(a 2)2 b2
令x 0,得y22by 4a 4 。

所以y〔y2b, y〔y2 4a 4
所以| AB | _ (y1 y2)2(y1 y2)24y1 y2.4b216a 16
设抛物线方程为：y2 mx(m 0)因为圆心M在抛物线C上，则b2 ma
5-2.在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆〔y21的左、右焦点分别为F'与F，圆F : (x寸3)2 y2 5 .若P 4
为椭圆上任意一点，以 P 为圆心，OP 为半径的圆P 与圆F 的公共弦为QT ，证明：点F 到直线QT 的距离FH 为定 值.
4,0),设 M(m,n),由 MF ' M F 1,得
冬.M 应，匝)或M M,-/).
3
3 3 3 3
（2）
设点
P （x o ,y °）,则圆 P 的方程为（x x o ）2 （y y 。

）2 知2 y 。

2.
2
2
2
2
一
即x y
2X 0X 2y o y 0.③又圆F 的方程为（x 寸3） y
5.④
'/3x 0
4
（2019沈阳模拟）已知椭圆C: #+ b|= 1（a>b>0）的焦点为F 〔，F2,离心率为；，点P 为其上一动点，且三角
形PF 1F 2的面积最大值为 寸3, O 为坐标原点.
（1）求椭圆C 的方程；
> —>
一， , ..................... 一…—
⑵若点M, N 为C 上的两个动点，求常数 m,使OM ON = m 时，点O 到直线MN 的距离为正值，求N 个7E 值.
［解］（1）当点P 位于短轴的端点时，△ PF 1F 2的面积最大，即；x 2cX b =瑚,
c 2= a 2 — b 2,
则有bc= &
解得:—* 所以椭圆C 的方程为W + *= 1.
a =2
(2)设 M(x 1 , y 1), N(X 2, y 2)，贝U x 〔x 2+ y 〔y 2= m,
f,、3x 2 + 4y 2=12, .....
联立
消去 y,得(4k 2 + 3)x 2+ 8knx+ 4n 2— 12 = 0,由 Q0 得 4k 2— n 2+ 3>0,
y= kx+ n,
所以 x*+ (kx 〔+ n)(kx 2+ n)= (k 2 + 1)xg + kn(x 〔 + x 2)+ n 2= m,整理得 kR 〔 = 12+ m ^2^ 1
由③，④得直线 QT 的方程为（x 0 73） x
y °y 1 0.
扇4
所以FH -
2
"(1 斗)2^3x0 3
|\^3x 0 4 学 2^3x 0 4
|73x 0 4
(上苛
2.
解：(1) F '( 73,0), F(
(m 3)(m
. 3) n * 2 * 1即m 2 n 2 4.①又(m 七③2 n 2 5.②
5-3.
当直线MN 的斜率存在时，设其方程为
y= kx+ n,则点 O 到直线 MN 的距离d =
则 x 〔 + x2=— 8kn
4k 2+ 3'
xg =
4n 2—12 4 k 2 + 3 ' 因为P （x 0,y °）在椭圆上，所以
................. _ 风. 3x2 + 4y2=〔2， c i2 当MN _Lx轴时，由m = 0碍k oM = ±\，联立消去y,碍x2^ —,
y=女, 7
点O到直线MN的距离d= |x|=癸殳亦成立.
综上可知，当m= 0时，点O到直线MN的距离为定值，这个定值是誓1
（六）直线方程为定式
因为d = V& i为常数，贝"m = 0, d = 专=零，此时吾任满足a 0.
例6、已知椭圆C的离心率e ◎,长轴的左右端点分别为
2
A,（ 2,0）,气（2,0），直线x my i与椭圆C交于P,Q两点，直线A1P与A2Q交于点S,试问：当m变化时，点S是否在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明
你的结论；若不是，请说明理由。

解：设椭圆C的方程为: b 0), P(x i, y〔), Q(x2，y2)
则a 2,e C
a2
所以c3,b2
a2 c2 i
2所以椭圆C的方程为：—y2 i
4 2
由4
x -y 1 my
i
得：(m2 4) y2 2 my
,yM
直线A1P方程为:
y i
X i 一(x
2 2），直线A2Q方程为:
X2
专(x 2)
yi /
—(x
x i 2 2)
y2 / ---- (x x2 2
得4x
2) * 2
2) *x 2)
2 y2(x i 2) y i(x2 2) y2(my i 3) y i(my2 1)
y2(X i 2) y i(X2 2) y2(my i 3) y i(my2 i) 2my i y2 3y2 y i
3y2 Y I
c 3 2m ------
y i) m 4
c , 2m 、
3（〉Y i）Y i m 4 y i —4
2m y2 2
m 3 0
则y i
3 -"2 7 m 4
变式题
（1）求椭圆C 的方程;
（2）0为坐标原点，A, B 是椭圆C 上不关于坐标轴对称的两点，设 的斜率的乘积为定值.
x 2
y 2
解：（1）由题怠知2c= 4,即c= 2,则椭圆C 的万程为孑+ a ^4= L
因为点P2,皓在椭圆C 上，所以圭+ 土 = 1,解得a2=5或a2 =蚩舍去），所以椭圆C 的方程为¥+ y 2=1.
(2)证明：设 A(x 〔，y 〔)，B(x 2, y 2), x 〔乒 x 2且 x 〔 + &丰 0,由 OA + O B = OD ,得 D(x 〔 + x 2, y 〔 + v 旗
所以直线AB 的斜率k AB = y 1M ，直线OD 的斜率k OD = y1土*, x 1 — x 2
x 1 + x 2
x 2 2
5 +y2= 1，
由2
普+ y2= 1，
5
1 ................................................................. 一一 .
1
所以k AB k oD — 5.故直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值-5.
2 2
7-2.E 知椭圆C 的方程为：x y J 1（a b 0）,过原点的直线l 交椭圆C 于P,Q 两点，M 为椭圆上异于P,Q 的 a 2
b 2
任一点。

求证：k
MP k
MQ 为定值。

（七）斜率乘积为定值
2
x 2
1的上、下顶点分别为 A,B ，点P 错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

在椭圆C 上且异于点 A, B 错误!未找到引用源。

,设直线AP, BP 的斜率分别为k i , k 2 .错误！未找到引 用源。

求证：k i k 2错误!未找到引用源。

为定值;
2
证明：由题设—y 2
1可
知,
点 A(0,1), B(0, 1).
令P （x °,y 。

），则由题设可知 所以，宜线AP 的斜率k 1
x ° 0.
y^ 1
x 0
PB 的斜率为
k 2
y 。

X o
2
又点P 在椭圆上，所以血-
4
（xo 乒0）,从而有
k 1 k 2
y ° 1 y °
1 x
x °
y °2 1
2~
7-1 .（2019昆明调研）已知椭圆
八 x 2 y 2
C ：
的
b 2=
1(a>b>0)的焦距为4, P
2,
平是椭圆C 上的点.
0D = 0A + 0B ，证明：直线AB 的斜率与OD
而 1 .................................................................. - * y 1 + y 2 y 1 — y 2
1
侍5(x1 + x 2)(x 1 — x 2) +
(y1 + y 2)(y1 — y 2) = 0
，即 x 1 + x2 x 1 — x 2=
— 5,
证明：设 P(X i ，y 〔),M (x o , y 0)则 Q (X 1 , y 1 ) 所以 k MP
k MQ
y ° y 〔 V 。

Y 1 X 0 X 1 X 0 X 1
2 2
V 。

Y I
2
2
X 0 X 1
2 X 1 ~2~ 由a 2 X 0 ~2" a 2 Y 1 萨 2 Y 0
2 得您 1 X 0 2
Y 1 -2
X I b 2 ___ —所以 k MP k MQ a b 2 ~2 a 为定值 (八)数量关系为定值
................ .3 _ _ b 0)的离心率为—,A(a,0), B(0,b),O(0,0), 2 OAB 的面积为1.设P 是椭圆C
上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M , 直线 PB 与x 轴交于点 c 皇
证明：由已知 a
1 -ab
2 2 a
2 1 得 .2 2
b c a b c 2
1 ■- 3 r 、土 X
2 .椭圆方程为—— 4 设椭圆上一点 P(X 0, 2
、 X 0 Y 0)则 2 y ° 1 彳x ° 0时，直线 例8.已知椭圆 1(a N .求证：| AN | | BM |为定值. PA 的方程为y
y 2 1 所以 A(2,0), B(0,1)
2 2 X y
C : — -2 a b y ° X 0
2
(x 2)，
令X 0得y M — X 0
|BM | |1 y M | |1 2y ° X 0
直线PB 的方程为 Y 0 1 x X 0 令y 0得X N x
一.所以| AN |
Y 0 1
|2 X N | |2
W| Y 0 1
所以 | AN | | BM |1
2
2y ° | | xo_ X 0 21 1 ,2
4y ° 4x 0 y ° 4x °
X 0V 0 X 0 2V 0
8y ° 2
4|
当X 0 0时，V 综上所述：| AN | 变式题
14X 0V 0 4X 0
8V^_8| 4 X o y o
X o
2y o
2
1,| BM | 2, | AN | | BM | 4为定值
8-1. E 知椭圆的中心为坐标原点 O ,焦点在
a (3, 1)共线。

(1)求椭圆的离心率; (2)设M 为椭圆上任意一点，且 OM 2 所以 | AN | | BM | 4
x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点 OA OB ( , R),证明:
F 的直线交椭圆于 A,B 两点，OA OB 与
2
2为定值
4a
2 (i)解：设椭圆方程为
3 a
2
i (a b b
0), F (c,0)
则直线AB 的方程为y
2
2
x
y
~2
V~
2
a b
1, 化简得
/ 2 , 2、 2
2
(a b )X 2a CX
2 2
2. 2
a c a b
0.
令 A
( Xi, yi), Bg, V2)，则 2a c X i X 2
--- ------ 2 , X i X 2
a b
2 2 2. 2
a c a
b a
b
由OA OB
(X i X 2,y i y 2),a (3, i),OA OB 与a 共线, 3(y i
y 2)
(X i
X 2)
0,又 Vi
X i
3(x i
X 2
(X i
X 2 )
0,
c, V 2
X 2
c ,
3 X i
X 2
-c.
2
b 2
c a
竺
所以
2
c ■- 6 a
3
(i) 知a 2
2c)
故离心率e
2
〜2
a 3
b .
即兰上 a b 2
■- 6 a ---- , 3
a b
设OM ， (x,y),由已知得
(x,y) (X i , V I )
(X 2, V 2),
x x i X 2,
,y)在椭圆上， (
、2
M (x
X i X 2)
3( y
X i
X 2.
即 2(x i 2 3y 2 2 2
i
) (X 2 3y ；)
2 (
X i X 2 3y i y 2) 3b 2. d
由(i)知X i
X 2
3c 2
—,a 3 2,2 i 2 c ,b
-c .
2 2
2
2 2
2 2
3 2 c a c
a b
2
a
b 2
8
X i X 2 3y i y 2
X i X 2 3(x i c)(X 2 c)
4x i x 2 3(x i
X 2)c 3c 2
3 2 9 2
2
一
c -c 3c =0- 2 2
2 2 2 2
又 x i
3y i 3b , x
2
3y 2 3b 2 ,代入①得
2
2
i.
(2)证明:
i 可化为X 2 2
_ 2
y i
y) 3b .
2
y
.2
故
2 2
为定值，定值为i
2 一 , … x 2 3b 2
,所
以椭圆f
3y 2 3b 2.
i i
8-2.过抛物线m : y ax ( a > 0)的焦点F 作直线l 交抛物线于P,Q 两点，试探究—— ——
PF QF
的值是否为定值?
2 (i)
解：抛物线m : y ax ( a > 0)的焦点F(0,——)
k 2
________ a k 2
k k 2
4a
a 2a
4a
⑴求点P 的轨迹E 的方程;
求证：点+南为定值・
— 、一 ___________________________________________ —>
解：(1)设 P(x, y),易知 N(x,0), NP = (0,
2才2
又点M 在椭圆上，刍+ — = 1 ,
9
4
设直线l 的方程为:
kx
1
——，P(x 〔，y 〔),Q(x 2,y 2) 4a y kx 4a 得：； y 2 ax
x 〔 X2
k
-,心 a
2
由 所以 kx
又由抛物线定义得: PF
4a
1 4a 2
y i
4a
kx 1
1
1 _ 1
,QF y 2 — kx ? 2a
4a 2a
1 十 1 所以—— PF
1 QF
1
2a
kx 2 1 1
2a
k(x 〔 x 2)
2
k k x 1x 2 ——(x 1
2a
a
x 2)/
4a
-一 1 所以— PF 1 QF
4a 为定值
8-3.设O 为坐标原点，动点 M
M 作x 轴的垂线，垂足为
N,点P 满足NP
⑵过F(1,0)的直线l i 与点P 的轨迹交于 A,
B 两点，过 F(1,0)作与l i 垂直的直线 12与点P 的轨迹交于 C, D 两点,
.••点P 的轨迹E 的方程为9 + y = 1.
16
⑵证明：当直线11与x 轴重合时，|AB|= 6, |CD|=；, • 3
1
1
17
-- + ~ =一
|AB| |CD| 48 . 17 AB| ' |CD| 48.
当直线11与x 轴垂直时，|AB|= 16, |CD|= 6, .•.击+二1 当直线11与x 轴不垂直也不重合时，可设直线 11的方程为y= k(x — 1)(k 乒0),则直线l 2的方程为y=
1, 八 k(x
— 1),
设 A (xi , y 1), B(x2, y 2), C(x3, y 3), D(x4, y 4),
y= k x- 1 ,
联立直线l 1与曲线E 的方程，得 x 2壬
得(8 + 9k 2)x 2— 18k 2x+ 9k 2— 72= 0,
甘 + 8 = 1，
1 4a 2
y),
又成=土茄=0
，专，X,专,
x 2 y 2
即 x+y=1.
△= — 18k 4 5 2-4 8+ 9k 2 9k 2— 72 > 0,
18k 2
一g xi+ X2= 一—2 , 可得
8 + 9 k 2 9k 2— 72
X 1X2=
不侑,
X 1
X 2= 98(胃.则 QD|= 1 + 1 寸
X 3+ X 6」一 4X 3X 4 = 'I .
1
_±_ = 8+ 9k 2 9+ 8k 2 = 17 AB| 声「48 k 2+ 1
48 k 2+ 1 — 48.
2
8-4. (2018全国卷I )设椭圆C: X +『=1的右焦点为
F,过F 的直线l 与C 交于A, B 两点，点M 的坐标为(2,0)
(1) 当l 与X 轴垂直时，求直线 AM 的方程； (2) 设O 为坐标原点，证明：/ OMA = Z OMB.
［解］(1)由已知得F(1,0),直线l 的方程为X = 1.则点A 的坐标为1,乎 或1,一考.
又M(2,0),所以直线AM 的方程为y=— ¥^x+寸2或y= ^x — yf 2, 即 x+ ■^y — 2 = 0 或 x — ^y — 2= 0.
(2)证明：当l 与x 轴重合时，/ OMA = Z OMB = 0°.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，
所以Z OMA = / OMB.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为y=k(x —1)(k 乒0), A(x 〔，y 〔)，B(x2, y2),
y 1 y 2
则X 1V 姬，X 2V 姬，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA + k MB = X 1—2+ X 2-2
,
2kx 1X 2 — 3k X 1 + X 2 + 4k
由 y 〔 = kx 1 — k, V2= kx 2 — k ，碍 k MA+ k MB =
-
-
X 1 — 2 X 2— 2
将 y= k(x- 1)代入y 2= 1,得(2k 2 + 1)x 2 — 4k 2x + 2k 2— 2 = 0,
kz
4 k 2
2k 2— 2
4k 7— 4k — 12k 3+ 8k 3 + 4k
所以 X 1 + x 2= 2k ?+ 1，X 1X2 = 2k ?+ 1 •则 2kx 1X 2 — 3k(x 1 + X 2) + 4k= _一
c . = 0.
从而k MA + k MB = 0，故MA , MB 的倾斜角互补.所以Z OMA = Z OMB.综上，/ OMA = Z OMB 成立.
4 求椭圆C 的标准方程；
5 设不经过点B(0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点 M , N,
若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明直线 过定点，并求出该定点的坐标.
(2)证明：当直线l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为y= kx+ m(m
乒1), M(x 〔，y 〔)，N(x 2, y 2).
［解］(1)由题意得，c=寸3, ：= 2, a 2= b 2 + c 2, • a = 2, b = 1,二椭圆 C 的标准方程为二 + y 2= 1.
综上可得 1 —
—T |AB|
|CD|
为定
值.
, ---- ..----------- = ------ 48 1 + k 2
. • |AB |=寸1 + k 寸 X1+ X 2 2 — 4X 1X2 =
2，
同理可得 X3 + X4= 8k2^_ 9，
2 k 2+ 1
小结:
圆锥曲线中证明问题，常见位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立等.在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法.
(九)定点问题
2
3= 1(a>b>0)的右焦点F(J3, 0), 长半轴长与短半轴长的比值为 2.
X
例9.已知椭圆C:今■+
y= kx+ m,
由 x 2
消去 y 可得(4k 2+ 1)x 2 + 8kmx+ 4m 2 — 4= o.
了+y 2=1，
. _____ _ 」 c
— 8 km
. . △= 16(4k 2 + 1 — m2)>o, xi + X2= 4^+〔，
•••点B 在以线段 MN 为直径的圆上，BM • B N = o.
——> ——>
o
O
.• BM BN = (x i, kx i + m — i) (x 2, kx 2+ m — i) = (k 2 + i)x i x 2+ k(m — i)(x i + x 2) + (m — i)2= o,
•■- (k 2+ i)4m 2 , : + k(m- i)—+ (m- i)2= o,整理，得 5m 2— 2m — 3 = o,解得 m = — 3或 m= i(舍去).
4r +1
4r +1
5
'
'
3 ........................................................................
直线l 的万程为y= kx-百易知当直线l 的斜率不存在时，不符合题意. 故直线l 过定点，且该定点的坐标为 小结:
圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定
点.
(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
变式题
x 2
9-i .如图，已知直线l: y= kx+ i(k> 0)美于直线y= x + i 对称的直线为li,直线l, li 与椭圆E: — + y 2= i 分别父于
点A, M 和A, N,记直线l i 的斜率为k i . (1)求k k i 的值; (2)当k 变化时，试问直线 MN 是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.
解：(1)设直线l 上任意一点P(x, y)关于直线y = x+ 1对称的点为P o (x o, y o ), 直线l 与直线l i 的交点为(0,1),
y — 1
y o — 1 , y+ y o x+ x o
. .I: y= kx+ 1, li ： y=k i x+ 1 , k= x ' k i = x o '由 2
得 y+ yo=x+ xo+ 2,①
v — y o
y= xo+ i,
由 =—L 得y — yo= xo — x,②，由①②得
x — x
o
yo= x+ i,
•••kki=yyo — y +yo +〔
x+ 1 xo+ 1 — x+ xo+ 2 + 1 』 -------------------------------- =1.
xx o
xx o
y= kx+ 1,
⑵由 x 2
〃 得(4k 2 + i)x 2+ 8kx= o,
4+y 2=1
i — 4k 2
.8L
设 M(X M , y M), N(XN , y N),
XM =《k ?*〔，V M =《k ?*〔
.同理可碍 —8k i —8k
x N
= 4k2+ i = 4 +k 2'
i — 4k 2 k 2— 4 yN =布
=
M.
4m 2— 4
X i X2=
京石.
1 — 4k2k2— 4
y M — y N 4k2 + 1 4 + k28— 8k4k2 + 1
k MN=XM3^N= - 8k - 8k = 8k 3k2- 3 一直线MN : y—yM= k MN（x—X M），
4 k2 + 广4 + k2
叫 1 — 4k2k2 +1 — 8k k2 +1 8 k2+1 1 — 4 k2k2+1 5
即v-4kT7=— ,x— 4k+^ '即v= 一§x— 3 4亍+1 + 4k+^ = — 1T x-3-
.••当k变化时，直线MN过定点0, —5.
3
2 1(a b 0)的离心率为^3，且过点A(2,1) .若P, Q是椭圆C上的两个动点，且使Z PAQ
b22
的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由. .......................................................................... .3 ..
解：万法一：因为椭圆C的离心率为-：「，且过点A(2,1),
1所以| x1 | '■J y1 |J2
.
x°2V0 2.3x0 3
x0 2 2 . x°
——y0 1,即y0 1 ——。