高考备考指南理科数学试题第9章第3讲圆的方程

第九章 第3讲

[A 级 基础达标]

1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1 D ．x 2＋y 2＝4

【答案】A

【解析】AB 的中点坐标为(0,0)，|AB |＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22，所以圆的方程

为x 2＋y 2＝2.

2．(2018年烟台模拟)圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,3)的圆的方程是( ) A ．x 2＋( y －2)2＝1 B ．x 2＋( y ＋2)2＝1 C ．x 2＋( y －3)2＝1 D ．x 2＋( y ＋3)2＝1

【答案】C

【解析】由题意，设圆的标准方程为 x 2＋(y －b )2＝1，由圆过点(1,3)，可得1＋(3－b )2

＝1，解得b ＝3，所以所求圆的方程为 x 2＋(y －3)2＝1.

3．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ B ．⎝⎛⎭⎫－2

3，0 C ．(－2,0) D ．⎝

⎛⎭⎫－2，23 【答案】D

【解析】方程为⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝1－a －3a 2

4表示圆，则1－a －3a 2

4＞0，解得－2＜a ＜23. 4．(2018年牡丹江模拟)点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－1,1)

B ．(0,1)

C ．⎝⎛⎭⎫－1，1

5 D ．⎝⎛⎭

⎫－1

5，1 【答案】D

【解析】因为点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以d ＝(2a )2＋(a －2)2＝

5a 2－4a ＋4＜5，解得－1

5

＜a ＜1.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－15，1.

5．(2018年福州模拟)与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9外切的动圆圆心P 的轨迹方程是( )

A ．x 2

－y 2

8

＝1(x ＜0)

B ．x 2

－y 2

8

＝1

C ．x 24－y 2

5＝1(x ＜0)

D ．x 24－y 2

5

＝1

【答案】A

【解析】由题意，圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1的圆心C 1(－3,0)，r 1＝1，圆C 2：(x －3)2＋y 2

＝9圆心(3,0)，r 2＝3，设圆心P 的坐标为(x ，y )，动圆与圆C 1，C 2外切，所以(x ＋3)2＋y 2

－1＝

(x －3)2

＋y 2

－3.移项，两边平方整理得x 2

－y 2

8

＝1(x ＜0)．故选A ．

6．已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为( )

A ．2

B ．－2

C ．1

D ．－1

【答案】D

【解析】因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2

＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.

7．(2018年嘉峪关模拟)若圆C 的方程是x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0，则圆C 的半径为________．

【答案】2

【解析】圆C 的方程是x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0，即圆C ：(x －2)2＋(y －2)2 ＝4，故圆的半径为2.

8．若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________________．

【答案】(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝25

4

【解析】设圆心C 坐标为(2，b )(b <0)，则|b |＋1＝4＋b 2.解得b ＝－3

2

，半径r ＝|b |＋1

＝52

，故圆C 的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝25

4. 9．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点

C 和

D ，且|CD |＝410.

(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．

【解析】(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)，则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.

(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得 a ＋b －3＝0.①

又因为直径|CD |＝410，所以|P A |＝210. 所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②

由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝5，

b ＝－2.

所以圆心P (－3,6)或P (5，－2)．

所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.

10．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ． (1)求圆C 1的圆心坐标；

(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．

【解析】(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)．

(2)设M (x ，y )，因为A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点， 所以由圆的性质知MC 1⊥MO ，所以MC 1→·MO →

＝0. 又因为MC 1→＝(3－x ，－y )，MO →

＝(－x ，－y )， 所以由向量的数量积公式得x 2－3x ＋y 2＝0.

易知直线l 的斜率存在，所以设直线l 的方程为y ＝mx ，当直线l 与圆C 1相切时， d ＝

|3m －0|m 2＋1

＝2，解得m ＝±25

5

.

把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝5

3.

当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)．