初三数学解直角三角形(锐角三角函数)知识精讲

初三数学解直角三角形（锐角三角函数）
【本讲主要内容】
解直角三角形（锐角三角函数）
包括锐角三角函数：角的正弦、余弦、正切，解直角三角形等。

【知识掌握】 【知识点精析】
1. 在直角三角形中，锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA 。

2. 在直角三角形中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA 。

3. 在直角三角形中，锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA 。

4. 锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。

5. 特殊角的三角函数值： 2
1
60cos 30sin =
︒=︒，2330cos 60sin =︒=︒；
2
2
45cos 45sin =︒=︒；
360tan 145tan 3
3
30tan =︒=︒=︒，，
2
1 30° 3
2 1 1
45°
6. 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形。

（1）222c b a =+；
（2）︒=∠+∠90B A ；
（3）b
a A tan c
b A cos
c a
A sin ===，，； （4）c ch 2
1
ab 21S ==
∆。

B
c
a
A b C
D
h c
8. 应用解直角三角形的知识解一些简单的实际问题。

【解题方法指导】
例1. 选择题：在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝2∠A ，则tanA 等于（ ） A.
3 B. 33 C. 2
3 D.
2
1 分析：设法求出∠A 的度数，再求值。

解：Rt △ABC 中，∠A ＋∠B ＝90° 把∠B ＝2∠A 代入，得 3∠A ＝90° ∴∠A ＝30°
3
330tan A tan =
︒=∴ 故选B 。

评析：抓住直角三角形中两锐角互余，求出角的度数。

例 2. （2002年四川）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，
32AB 22AC ==，，设∠BCD ＝α，那么cos α的值是（ ）
A.
2
2 B.
2
3 C.
3
3 D.
3
6
分析：由∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，可知∠BCD ＝∠A ＝α，而AB
AC
A cos =，故可解。

解：在Rt △ABC 中，
∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴∠BCD ＝∠A ＝α
又32AB 22AC ==，
3
6cos 36
3222AB AC A cos =
α∴===
∴
故选D 。

评析：此题利用图中的等角关系，使cos α转化为cosA ，从而使问题得到解决。

此题还
可以利用△BCD ∽△BAC ，得出3
6
AB AC CB CD cos ===
α。

例3. （2005年 山西）如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB 上的点O 处，使斜边CD//AB ，则∠α的余弦值为_________。

分析：关键是由∠C ＝30°，∠COD ＝90°，求出∠α的度数。

由CD//AB ，可知∠AOC ＝∠C ＝30°，而∠AOB ＝180°，因此∠α的度数可求出，至此思路已通。

解：∵CD//AB ， ∴∠AOC ＝∠C ＝30° ∵∠COD ＝90°，∠AOB 是一个平角， ∴∠α＝180°―∠AOC ―∠COD ＝180°―30°―90° ＝60° 2
1
60cos cos =︒=α∴
评析：此题用到了平行线的知识，平角的知识，以及特殊角的余弦值，要善于观察图形。

例4. （2003年 北京）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，12
5
A tan =
，则sinB 的值为（ ） A. 135 B. 1312 C. 125 D. 5
12
分析：由正切函数的定义可知，125b a A tan ==，而c b
B sin =，关键是求出c ，可设参
数加以解决。

解：由12
5
b a A tan ==
设)0k (k 12b k 5a >==，
k 13)k 12()k 5(b a c 2222=+=+=∴ 13
12k 13k 12c b B sin ===
∴
故应选B 。

评析：此题是由tanA 转化为sinB ，要从定义出发，通过设参数加以解决，这种方法很重要，要牢记。

例5. （2005年 海南）如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，32AC 2
3
B tan ==，，则AB ＝_________。

B D
分析：由于AB 不是直角三角形的一条边，因此要设法使∠A 、∠B 分别是直角三角形的一个锐角，再应用三角函数去求。

解：作CD ⊥AB 于D （如图） 在Rt △ACD 中， ∵∠A ＝30°，32AC =
AC
AD
A cos =
∴
3AC 2
1
CD 32332A cos AC AD ==
=⨯
=⋅=∴
在Rt △BCD 中，
2
2
33B tan CD
DB DB CD B tan ==
=∴=
523DB AD AB =+=+=∴
评析：此题是解斜三角形，要回归定义，使图中出现直角三角形。

因此作CD ⊥AB 于D ，分别解两个直角三角形即可。

这种回归定义的思想很重要，要学会应用。

【考点突破】
【考点指要】 解直角三角形的知识十分重要，在图形的计算以及解决实际问题中都有着广泛的应用，正因为如此，所以在中考试题中频频出现，但大多把有关三角函数及特殊角的三角函数值当作一个工具，用以解决其他问题，难度不是很大，应熟练加以掌握。

对于解三角形的四种情况不要死记硬背，结合图形应用三角函数的定义去推导即可。

【典型例题分析】
例1. 已知：如图，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝6，5
4
A sin =，CD ＝12，求∠D 的三个三角函数值。

A B
C D
分析：由于∠BCD ＝90°，CD ＝12，欲求∠D 的四个三角函数值，还需求出BC 、BD
的长，而BC 又是Rt △ABC 的一条边长，可由AB ＝6，5
4
A sin =求得BC 的长。

解：在Rt △ABC 中， ∵∠ABC ＝90°，6A
B 5
4
AC BC A sin ===，
设BC ＝4x ，AC ＝5x ，则
4
x 36x 9)x 5()x 4(6222
22===+
∴x ＝2，x ＝－2（舍去负值）
∴BC ＝4x ＝4×2＝8，134128BD 22=+= 在134128BD 22=+=
1313
2
1348BD BC D sin ===
∴ 1313
3
13412BD CD D cos ===
3
2
128CD BC D tan ===
评析：当给出5
4
A s i n =
后，一般利用设参数的方法去求出边长，而不要由AC
BC
54A sin =
=
，便得BC ＝4，AC ＝5。

例2. （2002年 天津）某片绿地的形状如图所示，其中∠A ＝60°，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，AB ＝200m ，CD ＝100m ，求AD 、BC 的长（精确到1m ，732.13≈）。

分析：欲求AD 、BC 的长，若联结AC ，则使60°的角受到破坏；若联结BD ，将使直角受到破坏，能否既构造出直角三角形，又不使60°的角和直角受到破坏，可采取延长AD 、BC ，使它们交于E 点，于是得到两个直角三角形，从而为应用三角函数的定义创造了条件。

解：延长AD 、BC ，它们交于点E 在Rt △ABE 中，AB ＝200，∠A ＝60°，∠E ＝30° ∴AE ＝2AB ＝400 3200A tan AB BE =⋅=
在Rt △CDE 中，CD ＝100，∠E ＝30°，∠DEC ＝60° ∴CE ＝2CD ＝200
310060tan CD DE =︒⋅=∴
)m (1027.23100400DE AE AD 2⨯≈-=-=∴；
)m (1046.12003200CE BE BC 2⨯≈-=-=
答：AD 的长约为227m ，BC 的长约为146m 。

评析：构造直角三角形是一个目标，又是一种技巧，一定要根据题目的特点去添加辅助线，不可乱加。

例3. （2002年 黑龙江）曙光中学准备建一块三角形形状的花圃ABC ，拟设计∠A ＝︒30，AC ＝40米，BC ＝25米，请你求出这块花圃的面积。

分析：此题已知条件是“两边和其中一边的对角”，应先画图看△ABC 分几种情况，然后再作计算。

解：分两种情况计算： （1）如图（1），当∠B 是锐角时，作CD ⊥AB 于D ，则D 点落在AB 边上，在Rt △ACD 中，∠A ＝30°，AC ＝40，
图（1）
32030cos AC AD 20AC 2
1
CD =︒⋅===∴，
在Rt △BCD 中，15CD BC BD 22=-=
3200150CD )BD AD (2
1
CD AB 21S A BC +=⋅+=⋅=∴∆（米2）
（2）如图（2），当∠B 是钝角时，作CD ⊥AB 交AB 的延长线于D ，
在Rt △ACD 中，
32030cos AC AD 20AC 2
1
CD =︒⋅===，
在Rt △BCD 中，
15CD BC BD 22=-=
1503200CD )BD AD (2
1
CD AB 21S A BC -=⋅-=⋅=∴∆（米2）
图（2）
答：这块三角形的面积为（1503200+）米2或（1503200-）米2。

评析：根据所给的条件可知三角形分为∠B 为锐角及∠B 为钝角两种情况，进行分类讨
论。

例4. 已知：△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝5，AC ＝3。

求sinB ·sinC 的值。

分析：欲求sinB ·sinC 的值，需分别求出sinB 与sinC 的值。

但给出的三角形是钝角三角形，需添加辅助线，构造出直角三角形。

解：如图，作CD ⊥BA ，交BA 的延长线于D ，作BE ⊥CA ，交CA 的延长线于E 。

∵∠BAC ＝120°，∠D ＝∠E ＝90°
∴∠DAC ＝∠EAB ＝60°，∠ACD ＝∠ABE ＝30°
∵在Rt △ACD 中，32
360sin AC CD 23AC 21AD =︒⋅===
，
∴在Rt △BDC 中，2
13
235AD BA BD =+=+=
7)2
33()213(DC BD BC 2
222=+=+=
314
3
BC DC DBC sin ==
∠
∵在Rt △AEB 中，2
5
AB 21AE ==
，23560sin AB BE =︒⋅=
∴在Rt △EBC 中，14
3
5BC BE BCE sin ==
∠
196
45
14351433C sin B sin =⋅=
⋅∴ 评析：钝角三角形中，当给出120°的角时，常作垂线，使直角三角形中出现60°的角及30°的角，从而为解直角三角形创造了条件。

例5. （2004年 苏州）如图，苏州某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm ，深为30cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起始点为A ，斜坡的起始点为C ，现将斜坡的坡角∠BCA 设计为12°，求AC 的长度。

（精确到1cm ）
分析：欲求AC 的长度，作BD ⊥AC 直线于D ，由AD ＝60，只要求出CD 的长即可。

在Rt △CBD 中，由∠BDC ＝90°，∠C ＝12°，BD ＝60，可解。

解：如图，作BD ⊥CA 延长线于D
在Rt △BCD 中，∵∠C ＝12°，BD ＝20×3＝60
CD BD
12tan =
︒∴
3.28212tan 60
12tan BD CD ≈︒
=︒=∴
∵AC ＝CD －AD ＝282.3－60＝222.3≈222 答：AC 的长度约为222cm 。

评析：构造出直角三角形是解题的关键，要注意台阶的高，深的含义，问题便转化为解直角三角形的问题了。

【综合测试】
1. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，如果BC>AC ，那么cosA 与cosB 的大小关系是_________。

B C
2. 在△ABC 中，∠C ＝90°，2
3
A sin =，则cos
B 的值为（ ） A. 2
1
B. 22
C. 23
D. 33
3. 在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角A 的正切值（ ）
A. 扩大2倍
B. 缩小2倍
C. 扩大4倍
D. 没有变化
4.
2)130(tan -︒等于（ ）
A. 3
31-
B. 13-
C.
13
3- D. 31-
5. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是∠BAC 的平分线，已知34AB =，那么AD ＝_________。

C D B
6. 已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B ＝60°，∠C ＝45°，BC ＝6，求AD 的长。

7. 已知直角三角形的面积为350，斜边长为20，求这个直角三角形的两个锐角的度数。

8. 如图，天空中有一个静止的广告气球C ，从地面A 点测得C 点的仰角为45°，从地面B 点测得C 点的仰角为60°。

已知AB ＝20m ，点C 和直线AB 在同一铅垂平面上，求气球的高度（结果保留根号）。

C
A B
[参考答案]
http//
1. <
解：AB
BC
B cos AB A
C A cos =
=
， AB BC AB AC BC
AC <∴<
即B cos A cos < 2. C
解：︒=︒-︒=∠︒=∠∴=306090B 60A 2
3A sin ，， 2
3
30cos B cos =︒=∴
故应选C 。

3. D 解：设∠A 的对边为a ，∠A 的邻边为b 则新三角形的∠A 的对边为2a ，∠A 的邻边为2b
b
a
b 2a 2A tan ==∴，不变
故应选D 。

4. A
解：0130tan 13
3
30tan <-︒∴<=
︒，
3
3130tan 1|130tan |)130(tan 2-
=︒-=-︒=-︒∴ 故应选A 。

5. 4 解：Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°，32AB 2
1
AC ==∴ ∵∠CAB ＝60°，AD 平分∠CAB ， ∴∠CAD ＝∠DAB ＝30° ∴AD ＝DB
Rt △ACD 中，︒=∠=30CAD 32AC ，
23
3
3230tan AC CD =⨯
=︒⋅=∴ 633260tan AC CB =⨯=︒⋅=∴
426CD CB DB AD =-=-==∴
6. 339-
解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°
∵∠C ＝45°，∴∠DAC ＝45°，∴AD ＝DC
设CD ＝x ，则BD ＝6－x
在Rt △ADB 中，BD AD B tan =
3x 6x x 6x 60tan =-∴-=︒∴， 339x -=∴，即339AD -=
7. 30°，60°
解：设Rt △ABC 中，∠C ＝90°，斜边c ＝20，两直角边为a ，b 3100ab 350ab 2
1ab 21S ==∴=，， ① 又400b a c b a 22222=+∴=+，
② 由①、②，得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==3
10b 10a 10b 310a 或 310
310b a A tan ===
∴ ∴∠A ＝60°，∠B ＝30° 或3
331010b a A tan === ∴∠A ＝30°，∠B ＝60°
因此两个锐角的度数为30°，60°
8. （31030+）m
解：作CD ⊥AB 于D ，设CD ＝xm
在Rt △ACD 中，∠CAD ＝45°，
∴AD ＝CD ＝x
在Rt △CBD 中，∠CBD ＝60° x 3
330tan CD BD CD BD 30tan =︒⋅=∴=︒∴
又AB ＝AD －BD )
m (31030x x 33x 20+=∴-=∴
A B D。