18届高三下学期五校联盟考试数学(理)试题(附答案)

五校联盟2017－2018学年度第二学期高三联考
数 学 试 卷（理科）
命题人：五校联盟数学学科命题组 第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 1. 已知集合}2{2x x y x A -==，}023{2<-+=x x x B .R 表示实数集，则下列结论正
确的是（ ）
A. B A ⊆
B. A C B R ⊆
C. B C A R ⊆
D. A B C R ⊆
2．复数z 满足(1)()i Z i i +=为虚数单位，则在复平面上，复数z 对应的点在（ ） A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知0152
573=+-+a a a ，则9S =（ ）
A. 35
B. 36
C. 45
D. 54
4. 小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口．已知十字路口的交通信号灯绿
灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒．如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是 A ．
34 B ．23 C ．12 D ．1
3
5. 设0.5
0.4
334
34(),(),log (log 4),4
3
a b c ===则（ ）
A. a b c <<
B. a c b <<
C. c a b <<
D. c b a << 6、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ） A. 90 B. 72 C. 68 D.60
7.执行如图所示的程序框图，若输入5,4,1n A x ===-，则输出的A 的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 2 D. 3
8. 把函数(
)2sin cos f x x x x =的图象向左平ϕ（0ϕ>）个单位，得到一个偶函数，则ϕ的最小值为（ ） A.
3π B. 4π C. 6π D. 12
π
9.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，
定点A .若射线FA 与抛物线C 相交于点M
（点M 在F 、A 中间），与抛物线C 的准线交于点N ，则FM
MN
=uuu r
uuu r ( )
A ．
14 B ．13 C ．12 D ．23
10. 已知ABC ∆中， 2
A π
∠=
， 1AB AC ==，点P 是AB 边上的动点，点Q 是AC 边
上的动点，则BQ CP ⋅u u u v u u v
的最小值为（ ） A. 4- B. 2- C. 1- D. 0
11. 函数()1log ,0,12x
a f x x a a ⎛⎫
=->≠ ⎪⎝⎭
.若该函数的两个零点为12,x x ，则（ ）
A. 121x x >
B. 121x x =
C. 121x x <
D. 无法判定
12. 已知正ABC V 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是（ ） A.
74π B. 2π C. 9
4
π D. 3π 第II 卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上) 13.在代数式7
21()x x
-
的展开式中，一次项的系数是______（用数字作答） 14.设实数,x y 满足2020240x y x y x y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-+≥⎩
，则32z x y =+的最小值为 .
15.已知椭圆2222111x y a b += 11(0)a b >>与双曲线22
2222
1x y a b -= 22(0,0)a b >> 有公共的
左、右焦点12,F F ,它们在第一象限交于点P ,其离心率分别为12,e e ,以12,F F 为直径的圆恰好过点P ,则
2
212
11
e e += . 16. 对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：
222213,3135,41357,=+=++=+++⋅⋅⋅； 333235,37911,413151719=+=++=+++L
根据上述分解规律，若2313511,m p =+++⋅⋅⋅+的分解中最小的正整数是43，则
m p +=________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（本题满分12分）
已知函数()f x
2
)cos()cos (
)2
x x x π
ππ+⋅-++．
(1)求函数()f x 的单调递增区间；
(2)已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()f A =3
2
，a=2，b+c=4， 求b ，c ． 18．（本题满分12分）
如图，在梯形ABCD 中，CD AB //，1===CB DC AD ，
60ABC ∠=，四边形ACFE 是矩形，且平面ACFE ⊥平面
ABCD .
（Ⅰ）求证:BC ⊥平面ACFE ；
（Ⅱ）当二面角D BF C --的平面角的余弦值为3
6
,求这个六面体ABCDEF 的体积.
19.（本题满分12分）
在信息时代的今天，随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了100人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成的人数如下表：（注：年龄单位：岁）
（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并通过计算判断是否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”？
（2）若从年龄在[55，65），[65，75）的别调查的人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中赞成“使用微信交流”的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望． 参考数据：
参考公式：K 2
=()()()()
d b c a d c b a bc ad n ++++-，其中n=a+b+c+d ．
20．（本题满分12分）
如图,椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为
21F F 、,椭圆C 上一点与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率
为
2
1
.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点2F 的直线l 交椭圆C 于B A 、两点,问在x 轴上是否存在定点P ,使得PA PB ⋅uu r uu r
为
定值？证明你的结论. 21．（本题满分12分） 已知函数()x ae x x f -+=ln 1
（Ⅰ）若曲线()x f y =在1=x 处的切线与x 轴平行，求实数a 的值； （Ⅱ）若对任意()+∞∈,0x ，不等式()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.
22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y θ
θ
⎧=⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数），以原点O 为极
点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为224sin =⎪⎭
⎫
⎝
⎛-πθρ． （1）求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；
（2）设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值． 23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数212)(--+=x x x f . （Ⅰ）求不等式2)(≥x f 的解集;
（Ⅱ）若对于任意R x ∈,不等式t t x f 2
11
)(2
-
>恒成立,求实数t 的取值范围.
五校联盟2017－2018学年度第二学期高三联考
数学参考答案（理科）
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
12、解：设正的中心为，连结
是正的中心，A、B、C三点都在球面上，
平面球的半径，球心O到平面ABC的距离为1，得，
中，．
又为AB的中点，是等边三角形，．
过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，
当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．
此时截面圆的半径，
可得截面面积为．
故选C．
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)
13.答案：21.
14. 答案：4.
15. 答案：2.
16.答案：13.
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17、【解析】(1)∵()f x π+x)·cos(π−x)+cos 2(2
π
+x)，
∴()f x −sin x)·(−cos x)+(−sin x)2
=
sin 2x+1cos 22x -=sin(2x −6π)+12．（3分）
由2k π−
2π≤2x −6π≤2k π+2π
，k ∈Z ， 得k π−6π≤x ≤k π+3
π
，k ∈Z ，
即函数()f x 的单调递增区间是[k π−6π，k π+3
π
]，k ∈Z ．（6分）
(2)由()f A =3
2
得，sin(2A −6π)+12=32，∴sin(2A −6π)=1，
∵0<A<π，∴0<2A<2π，−6π<2A −6π<116
π
，
∴2A −6π=2π，∴A=3
π
，（8分）
∵a=2，b+c=4 ①， 根据余弦定理得，
4=2
b +2
c −2bccos A=2
b +2
c −bc=(b+c)2
−3bc=16−3bc ， ∴bc=4 ②，
联立①②得，b=c=2．（12分）
18.【解析】（Ⅰ）在梯形ABCD 中,∵CD AB //,CB AD =, ∴=∠BAD 60ABC ∠=,
∴=∠ADC
120=∠BCD ,∵1==DC AD .
∴=∠CAD
30=∠ACD ,
∴
90=∠ACB ,∴AC BC ⊥.（4分）
∵平面ACFE ⊥平面ABCD ,平面 ACFE 平面ABCD AC =,∴⊥BC 平面ACFE .
（Ⅱ）在ADC ∆中,-+=2
22DC AD AC ADC DC AD ∠⋅cos 23=,∴3=
AC .
分别以CF CB CA ,,为x 轴,y 轴,z 轴建立平面直角坐标系, 设h CF =,则
)0,0,0(C ,)0,0,3(A ,)0,1,0(B ,
)0,0,2
1(D ,),0,0(h F ,则)0,1,21
(-=,),1,0(h BF -=,易知平面BCF 的一个法向量为
)0,0,1(=m ,设
∵平面B D F 的法向量为),,(z y x =,∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,
0BF n BD n 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,
0,021hz y y x 令1=z ,则
h x 2=,h y =,
∴平面BDF 的法向量为)1,,2(h h =,∵二面角D BF C --的平面角的余弦值为
6
6
, ∴>=
<n m ,cos 1
522+h h 6
6
=
,解得1=h ,即1=CF .（10分） 所以六面体ABCDEF 的体积为：
=ABCDEF V ACFE B V -ACFE
D V -+BC S ACF
E ⨯=正方形31
D ACF
E y S ⨯+正方形3
1
2
1
211311131=⨯⨯+⨯⨯=.（12分） 19.【解析】（1）根据频数分布，填写2×2列联表如下；
计算观测值K 2=
=≈14.512＞10.828，
对照临界值表知，在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”； （6分）
（2）根据题意，X 所有可能取值有0，1，2，3，
P （X=0）=•=，
P （X=1）=•+•=，
P （X=2）=•+•=，
P （X=3）=•=，
所以X 的分布列是 X 0
1
2
3
P
所以X 的期望值是E （X ）=0×+1×
+2×
+3×
=
． （12分）
20.【解析】（Ⅰ）由题设得622=+c a ,又2
1
==
a c e ,解得1,2==c a ,∴3=
b . 故椭圆C 的方程为13
42
2=+y x .（4分） （Ⅱ）)0,1(2F ,当直线l 的斜率存在时,设此时直线l 的方程为)1(-=x k y ,
设),(11y x A ,),(22y x B ,把)1(-=x k y 代入椭圆C 的方程1342
2=+y x ,消去y 并整理得, 01248)43(2
2
2
2
=-+-+k x k x k ,则2221438k k x x +=
+,2
22143124k k x x +-=, 可得)1)(1(212
21--=x x k y y ]1)([21212
++-=x x x x k 2
2
439k
k +-=.设点)0,(n P , 那么
),(),(2211y n x y n x -⋅-=⋅212
2121)(y y n x x n x x +++-=2
223
412)85(n k k n ++++-
=,
若x 轴上存在定点P ,使得PB PA ⋅为定值,则有
312485=+n ,解得8
11
=n , 此时,64
135
42
-
=+-=⋅n , 当直线l 的斜率不存在时,此时直线l 的方程为1=x ,把1=x 代入椭圆方程1342
2=+y x 解得2
3
±=y ,
此时,)23,1(A ,)23,1(-B , =⋅)23,83()23,83(--⋅-64
135
-=, 综上,在x 轴上存在定点)0,8
11
(P ,使得PB PA ⋅为定值.（12分） 21.【解析】：Ⅰ
，
．
由于曲线在
处的切线与x 轴平行，
，
解得，（4分）
Ⅱ由条件知对任意，不等式
恒成立，
此命题等价于
对任意
恒成立
令．
．
令．
则．
函数在上单调递减．
注意到，即是的零点， 而当时，；当时，． 又，所以当时，；当时，． 则当x 变化时，
的变化情况如下表：
因此，函数在，取得最大值，所以实数． （12分） 22.【解析】：（1）由曲线C 1：
，得， ∴曲线C 1的普通方程为：
， 由曲线C 2：，展开可得：， 即曲线C 2的直角坐标方程为：x -y +4=0．（4分）
（2）由（1）知椭圆C 1与直线C 2无公共点，
椭圆上的点到直线x -y -4=0的距离为
，
∴当时，d 的最小值为．（10分）
23.【解析】（Ⅰ）)由题意,⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≥+<≤---<--=,2,3,221,13,21,3)(x x x x x x x f 当21-
<x 时,23≥--x ,解得5-≤x ,∴5-≤x ; 当22
1<≤-x 时,213≥-x ,解得1≥x ,∴21<≤x ;
当2≥x 时, 23≥+x ,解得1-≥x ,∴2≥x ;
综上,不等式2)(≥x f 的解集为{}
1,5≥-≤x x x 或.（5分） （Ⅱ）当21-
<x 时,3)(--=x x f , 2
5)(->x f ; 当221<≤-x 时,2513)(-≥-=x x f ; 当2≥x 时, 53)(≥+=x x f . 所以2
5)(min -
=x f . 不等式t t x f 211)(2->恒成立等价于min 2)(211x f t t <-,即2
52112-<-t t , 解得521<<t .（10分）。