2019届高考数学一轮复习 第九章 统计、统计案例 课堂达标54 几何概型 文 新人教版

课堂达标(五十四) 几何概型

[A 基础巩固练]

1．(2016·全国Ⅱ卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )

A.

7

10

B.5

8 C.3

8

D.310

[解析] 由题至少等15秒遇绿灯的概率为

P ＝

40－1540＝5

8

.故选B. [答案] B

2．(2018·贵阳市监测考试)在[－4,4]上随机取一个实数m ，能使函数f (x )＝x 3

＋mx 2

＋3x 在R 上单调递增的概率为( )

A.14

B.38

C.58

D.34

[解析] 由题意，得f ′(x )＝3x 2

＋2mx ＋3，要使函数f (x )在R 上单调递增，则3x 2

＋2mx ＋3≥0在R 上恒成立，即Δ＝4m 2

－36≤0，解得－3≤m ≤3，所以所求概率为

3－－4－

－＝3

4

，故选D. [答案] D

3．在区间⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－π6，π2上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈[1，2]的概率是( ) A.12 B.34 C.38

D.58

[解析] 因为x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－π6，π2，所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，3π4，

由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[1，2]，得22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，

所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，故要求的概率为π

2－0π2－⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π6＝34

.

[答案] B

4．(2018·石家庄模拟)已知O 、A 、B 三地在同一水平面内，A 地在O 地正东方向2 km 处，B 地在O 地正北方向2 km 处，某测绘队员在A 、B 之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘．O 地为一磁场，距离其不超过 3 km 的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确．则该测绘队员能够得到准确数据的概率是( )

A.12

B.22

C ．1－

32

D ．1－

22

[解析] 由题意知在等腰直角三角形OAB 中，以O 为圆心，3为半径的圆截AB 所得的线段长为2，而|AB |＝22，故该测绘队员能够得到准确数据的概率是1－222

＝1－2

2.

[答案] D

5．(2018·山西四校联考)在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，则△PBC 的面积大于S

4的概率为( )

A.14

B.34

C.49

D.916

[解析] 设AB ，AC 上分别有点D ，E 满足AD ＝34AB 且AE ＝3

4AC ，

则△ADE ∽△ABC ，DE ∥BC 且DE ＝3

4

BC .

∵点A 到DE 的距离等于点A 到BC 的距离的3

4，

∴DE 到BC 的距离等于△ABC 高的1

4

.

当动点P 在△ADE 内时，P 到BC 的距离大于DE 到BC 的距离， ∴当P 在△ADE 内部运动时，△PBC 的面积大于S

4，

∴所求概率为S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝9

16

. [答案] D

6．(2018·佛山二模)已知函数f (x )＝x 2

＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4.记函数f (x )满足条件⎩⎪⎨

⎪⎧

f ，

f

－

为事件A ，则事件A 发生的概率为( )

A.14

B.5

8 C.12

D.38

[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧

4＋2b ＋c ≤12，4－2b ＋c ≤4，

0≤b ≤4，

0≤c ≤4，

即⎩⎪⎨⎪⎧

2b ＋c －8≤0，

2b －c ≥0，

0≤b ≤4，0≤c ≤4

表示的区域如图阴影部分所示，可知阴影部分的面积为8，

所以所求概率为1

2

，故选

C.

[答案] C

7．如图，正四棱锥S ­ABCD 的顶点都在球面上，球心O 在平面ABCD 上，在球O 内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为______．

[解析] 设球的半径为R ，则所求的概率为P ＝V 锥V 球＝13×1

2×2R ×2R ·R 43πR 3＝1

2π

.

[答案]

12π

8．如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP

与线段BC 有公共点的概率为______．

[解析] 当点P 在BC 上时，AP 与BC 有公共点，此时AP 扫过△ABC ，所以P ＝∠BAC ∠BAD ＝

30°

90°＝13

. [答案] 1

3

9．在体积为V 的三棱锥S ­ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S ­APC 的体积大于V

3的

概率是______．

[解析] 由题意可知

V S ­APC V S ­ABC >1

3

，三棱锥S ­ABC 的高与三棱锥S ­APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM ，BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S ­APC V S ­ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN >13，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB >1

3

，故所求的概率为2

3

(即为长度之比)．

[答案] 2

3

10．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M . (1)求四棱锥M ­ABCD 的体积小于1

6的概率；

(2)求M 落在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1内的概率．

[解] (1)正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，设M ­ABCD 的高为h ，令13×S 四边形ABCD ×h ＝1

6，

∵S 四边形ABCD ＝1，∴h ＝1

2

.

若体积小于16，则h <1

2，即点M 在正方体的下半部分，

∴P ＝1

2V 正方体V 正方体＝12

.