2014年高考立体几何(解析版)

2014年高考真题立体几何汇编解析版
16．（2014江苏）(本小题满分14 分)如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，，的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =．
（1）求证：直线P A ∥平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC ．
【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系， 考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分. （1）∵D E ，
为PC AC ，中点 ∴DE ∥P A ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴P A ∥平面DEF （2）∵D E ，
为PC AC ，中点 ∴13DE PA == ∵E F ，
为AC AB ，中点 ∴142
EF BC == ∴2
2
2
DE EF DF += ∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF
∵//DE PA PA AC ⊥，
，∴DE AC ⊥ ∵AC EF E = ∴DE ⊥平面ABC
∵DE ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABC ．
17.（2014山东）（本小题满分12分）
如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60,DAB ∠=
22AB CD ==，M 是线段
AB 的中点.
（I ）求证：111//C M A ADD 平面；
B 1
C 1
D 1
A 1
D
C
B
M
A
（II ）若1CD 垂直于平面ABCD
且1CD 平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值. 解：（Ⅰ）连接1AD
1111D C B A ABCD - 为四棱柱，11//D C CD ∴ 11D C CD =
又M 为AB 的中点，1=∴AM AM CD //∴,AM CD =
11//D C AM ∴,11D C AM =
11D AMC ∴为平行四边形 11//MC AD ∴
又111ADD A M C 平面⊄ 111A D D A AD 平面⊂
111//ADD A AD 平面∴
（Ⅱ）方法一：11//B A AB 1111//D C B A
共面与面1111D ABC M C D ∴
作AB CN ⊥,连接N D 1 则NC D 1∠即为所求二面角
在ABCD 中， 60,2,1=∠==DAB AB DC 2
3
=
∴CN 在CN D Rt 1∆中，31=CD ,23=CN 2
151=∴N D 方法二：作AB CP ⊥于p 点
以C 为原点，CD 为x 轴，CP 为y 轴，1CD 为z 轴建立空间坐标系，
)0,23
,21(),3,0,0(),3,0,1(11M D C -∴
)3,2
3
,21(),0,0,1(111-==∴M D D C
设平面M D C 11的法向量为),,(111z y x =
⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=∴0323
2
101111z y x x )1,2,0(1=∴n 显然平面ABCD 的法向量为)0,0,1(2=n
55
5
1,cos 21==
<∴n n 显然二面角为锐角，
所以平面M D C 11和平面ABCD 所成角的余弦值为
5
5
55
15
32
1523
cos 11====∠∴N D NC CN D
18．三棱锥A BCD -及其侧视图、俯视图如图所示。

设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN NP ⊥。

（1）证明：P 为线段BC 的中点； （2）求二面角A NP M --的余弦值。

解：（1）由三棱锥A BCD -及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A BCD -中： 平面ABD ⊥平面CBD ，2AB AD BD CD CB ===== 设O 为BD 的中点，连接OA ，OC
于是OA BD ⊥，OC BD ⊥ 所以BD ⊥平面OAC ⇒BD AC ⊥
因为M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，所以//MN BD ，又MN NP ⊥，故BD NP ⊥ 假设P 不是线段BC 的中点，则直线NP 与直线AC 是平面ABC 内相交直线 从而BD ⊥平面ABC ，这与60DBC ∠= 矛盾 所以P 为线段BC 的中点
（2）以O 为坐标原点，OB 、OC 、OA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，
则A
，1(2M -
，1(2N
，1(2P
于是1(,0,2AN =
，(0,PN = ，(1,0,0)MN =
设平面ANP 和平面NPM 的法向量分别为111(,,)m x y z = 和222(,,)n x y z =
由00
AN m PN m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
⇒11111020x z y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，设11z =
，则m = C
A
B
D M N
P
由00
MN n PN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
⇒2220
0x y z =⎧⎪
⎨+=⎪⎩，设21z =，则(0,1,1)n =
cos ,||||m n m n m n ⋅===⋅
所以二面角A NP M --
17.（本小题满分12分）
在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BCD CD BD ⊥⊥.将ABD ∆沿BD 折起，使得平面
ABD ⊥平面BCD ，如图.
（1）求证：CD ⊥CD ；
（2）若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值
.
（17）（2014天津）（本小题满分13分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，AD AB ^，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点. （Ⅰ）证明 BE DC ^；
（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ^， 求二面角F AB P --的余弦值.
（17）本小题主要考查空间两条直线的位置关系，二面角、直线与平面所成的角，直线与平面垂直等基础知识. 考查用空间向量解决立体几何问题的方法. 考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 满分13分.
依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得
()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2P .由E 为棱PC
的中点，得()1,1,1E
.
C
（Ⅰ）证明：向量()0,1,1BE = ，()2,0,0DC =
，故0BE DC
? . 所以，BE DC ^.
（Ⅱ）解：向量()1,2,0BD =- ，()1,0,2PB =-
.
设(),,n x y z = 为平面PBD 的法向量，则0,0,n BD n PB ìï?ïíï?ïî 即20,20.x y x z ì-+=ïïíï-=ï
î 不妨令1y =，可得()2,1,1n =
为平面PBD 的一个法向量.于是有
cos ,3
n BE n BE n BE
×==
=
×
所以，直线BE 与平面PBD
所成角的正弦值为
3
. （Ⅲ）解：向量()1,2,0BC = ，()2,2,2CP =-- ，()2,2,0AC = ，()1,0,0AB =
.
由点F 在棱PC 上，设CF CP l =
，01l
＃.
故()12,22,2BF BC CF BC CP l l l l =+=+=--
. 由BF AC ^，得0BF AC
?
，
因此，()()2122220l l -+-=，解得3
4
l =
.即113,,222BF 骣÷ç=-÷ç÷
ç桫 . 设()1,,n x y z = 为平面FAB 的法向量，则110,
0,n AB n BF
ìï?ïíï?ïî
即0,1130.2
22x x y z ì=ïï
ïíï-++=ïïî 不妨令1z =，可得()10,3,1n =-
为平面FAB 的一个法向量.
取平面ABP 的法向量()20,1,0n =
，则
12
1211
cos ,10
n n n n n n ×==
=-
×
. 易知，二面角F AB P --
是锐角，所以其余弦值为10
.
19． （2014湖南）（本小题满分12分）
如图6，四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等，11111,,AC BD O AC B D O == 四边形
1111ACC A BDD B 和四边形均为矩形．
（I ） 证明：1;O O ABCD ⊥底面
（II ）
若1160,CBA C OB D ∠=-- 求二面角的余弦值．
19、（本小题满分12份）
解：（I ）如图（a ），因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥.同理1DD BD ⊥。

因为1CC ∥1DD ，所以
1CC BD ⊥。

而0AC BD = ，因此1CC ⊥底面ABCD 。

由题设知，1O O ∥1C C 。

故1O O ⊥底面ABCD 。

（Ⅱ）解法I 如图（a ），过1O 作11O H OB ⊥于H ，连接1HC .
由（I ）知，1O O ⊥底面ABCD ，所以1O O ⊥底面1111A B C D ，于是1O O ⊥11AC
.
又因为四棱柱ABCD-1111A B C D 的所有棱长都相等，所以四边形1111A B C D 是菱形，因此1111AC B D ⊥，从而
1111AC BDD B ⊥平面，所以111AC OB ⊥，于是111OB O HC ⊥平面，进而11OB C H ⊥。

故11C HO ∠是二面角
11C OB D --的平面角。

不妨设AB=2。

因为60O
CBA ∠=
，所以OB =
11OC =，OB 在11t R OO B ∆
中，易知11111OO O B O H OB ⋅=
=111O C =，
于是。

故111119O H
COS C HO C H
∠=
==。

即二面角11C OB D --。

解法2 因为四棱柱ABCD-1111A B C D 的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 是菱形，因此AC BD ⊥。

又1O O ⊥
底面ABCD ，从而OB ，OC, 1OO 两两垂直。

如图（b ），以O 为坐标原点，OB,OC, 1OO 所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系。

不妨设AB=2.
因为60O
CBA ∠=
，所以OB =1OC =，于是相关各点的坐标为：O(0，0，0)
，1B ，1(0,1,2)C .
易知，1(0,1,0)n =是平面11BDD B 的一个法向量。

设2(,,)n x y z =是平面11OB C 的一个法向量，则21210,
0,
n OB n OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即20,20.z y z +=+=⎪⎩
取z =，
则
2,3x y ==
2n =。

设二面角11C OB D --的大小为θ，易知θ是锐角，于是12,COS COS n n θ=
1212n n n n ⋅=
==
⋅19。

故二面角11C OB D --
18．（2014广东）（本小题满分13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，0
30DPC ∠=，AF PC ⊥于点F ，//FE CD ，交PD 于点E . （1）证明：CF ADF ⊥平面
（2）求二面角D AF E --的余弦值。

18.（１）PD ⊥ 平面ABCD ，
PD AD ∴⊥，又CD AD ⊥，PD CD D = ， AD ∴⊥平面PCD ，
AD PC ∴⊥，又AF PC ⊥，
PC ∴⊥平面ADF ，即CF ADF ⊥平面；
（２）设1AB =，则Rt PDC ∆中，1CD =，又
DPC ∠=2PC ∴=，PD =，由（１）知CF DF ⊥
DF ∴=，AF =
=，
12
CF ∴==，又//FE CD ，
14DE CF PD PC ∴==，DE ∴=，同理3344
EF CD ==，
如图所示，以D 为原点，建立空间直角坐标系，则(0,0,1)A E ，3,0)4
F ，P ，(0,1,0)C ，
设(,,)m x y z = 是平面AEF 的法向量，则m AE m EF ⎧⊥⎨⊥⎩ ，又3
(0,,0)
4
AE EF ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ， 所以0
304
m AE x z m EF y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩
，令4x =，得z =m = ， 由（１）知平面ADF 的一个法向量(,0)PC =
， 设二面角D AF E --的平面角为θ，可知θ为锐角，
||
cos |cos ,|||||m PC m PC m PC ⋅=<>==⋅
θ=，即所求．
A B C D E F
P
20．（2014安徽）(本题满分13分)如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面ABCD .四边形ABCD 为梯形，BC AD //,且BC AD 2=.过D C A ,,1三点的平面记为α，1BB 与α的交点为Q 。

（Ⅰ）证明：Q 为1BB 的中点；
（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比； （Ⅲ）若A A 14=，2=CD ，梯形ABCD 的面积为6，求 平面α与底面ABCD 所成二面角大小。

20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）证：∵11 BQ//AA , //AD,BC BQ=B,AD AA BC A =
∴1A QBC AD 平面∥平面
从而平面1A CD 与这两个平面的交线相互平行，即1A QC D ∥ 故QBC ∆与1A AD ∆的对应边相互平行，于是1A QBC AD ∆∆∽ ∴
11BQ BQ 1
BB 2
BC AA AD ===，即Q 为1BB 的中点。

（Ⅱ）解：如图，连接QA ，QD 。

设1AA h =，梯形ABCD 的高为d ， 四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V 上和V 下， BC a =，则2AD a =。

1111
2323Q A AD V a h d ahd -=⋅⋅⋅⋅=， 1211
()3224
Q ABCD a a V d h ahd -+=⋅⋅⋅=
∴17
12
Q A AD Q ABCD V V V ahd --=+=下 又111132A B C D ABCD V ahd -=，∴11113711
21212
A B C D ABCD V V V ahd ahd ahd -=-=-
=下上 故
11
7
V V =上下 （Ⅲ）解法1：如图1，在ADC ∆中，作AE DC ⊥，垂足为E ，连接1A E 又1DE AA ⊥，且1AE AA A = ∴1DE AEA ⊥平面，∴1DE A E ⊥
∴1AEA ∠为平面α和平面ABCD 所成二面角的平面角。

∵ //AD BC ，2AD BC =， ∴2ADC ABC S S ∆∆=
又∵梯形ABCD 的面积为6，DC=2，∴4ADC S ∆=，4AE =
图1
于是11tan 1AA AEA AE ∠=
=，14
AEA π
∠=, 故平面α和底面ABCD 所成二面角的大小为
4
π。

解法2：如图2，以D 为原点，DA ，1DD
分别为x 轴和z 轴正方向，建立空间直角坐标系。

设CDA θ∠= 因为22sin 62
ABCD a a
V θ+=
⋅=，所以2sin a θ=，从而(2cos ,2sin ,0)C θθ，14(
,0,4)sin A θ 设平面1A DC 的法向量为(,,1
)n x y =
由1
4DA 40sin DC 2cos 2sin 0n x n x y θθθ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩
得sin ,cos x y θθ=-= 所以(sin ,cos ,1)n θθ=- 又平面ABCD 的法向量(0,0,1)m =
所以cos ,2||||
m n m n m n ⋅<>==⋅
故平面α和底面ABCD 所成二面角的大小为4
π。

17.（2014北京）（本小题14分）
如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P - 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；
（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.
（17）（共14分） 解：（I ）在正方形中，因为B 是AM 的中点，所以AB ∥DE 。

又因为AB ⊄平面PDE ， 所以AB ∥平面PDE ，
因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF 平面PDF FG =，
所以AB ∥FG 。

（Ⅱ）因为PA ⊥底面ABCDE,所以PA AB ⊥，PA AE ⊥.
如图建立空间直角坐标系Axyz ，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ,(2,1,0)C ,(0,0,2)P ,(0,1,1)F ,
BC
(1,1,0)=.
设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =，则
0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,0.
x y z =⎧⎨+=⎩ 令1,z =，则1y =-。

所以(0,
1,1n =-，设直线BC 与平面ABF 所成角为a,则
1sin cos ,2n BC a n BC n BC ⋅=== 。

设点H 的坐标为(,,).u v w 。

因为点H 在棱PC 上，所以可设(01),PH PC λλ= ，
即(,,2)(2,1,2).u v w λ-=-。

所以2,,22u v w λλλ===-。

因为n 是平面ABF 的法向量，所以0n AB ⋅= ，即(0,1,1)(2,,22)0λλλ-⋅-=。

解得23λ=，所以点H 的坐标为422(,,).333。

所以2PH ==
19、（2014上海）（本题满分12分）
底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其表面展开图是三角形321p p p ，如图，求△321p p p 的各边长及此三棱锥的体积V
.
19.解：∵由题得，三棱锥P ABC -是正三棱锥
∴侧棱与底边所成角相同且底面ABC ∆是边长为2的正三角形 ∴由题得，3ABC BCA CAB π
∠=∠=∠=，
112233
PBA PAB P BC PCB P AC PCA ∠=∠=∠=∠=∠=∠ 又∵,,A B C 三点恰好在123,,P P P 构成的123PP P ∆的三条边上 ∴112233
3PBA P AB P BC P CB P AC PCA π∠=∠=∠=∠=∠=∠=
∴1122332PA PB P B PC PC P A ====== ∴1213234PP PP P P ===，三棱锥P ABC -是边长为2的正四面体
∴如右图所示作图，设顶点P 在底面ABC 内的投影为O ，连接BO ，并延长交AC 于D
∴D 为AC 中点，O 为ABC ∆的重心，PO ⊥底面ABC
∴233BO BD =
=，3PO =112232233V =⋅⋅⋅⋅=。