2019年高考数学二轮复习考前回扣7概率与统计学案

7.概率与统计
1．随机抽样方法
简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样．[问题1]　某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭．在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为________．答案　24
解析　设本次抽取的总户数为x ，由抽样比例可知，＝，则x ＝24.
6
x 480－200－160
4802．对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率．茎叶图没有原始数据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了．
[问题2]　某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x ＋y 的值为________.
答案　8
解析　依题意，甲班学生的平均分为
85＝，故x ＝5.78＋79＋85＋80＋x ＋80＋92＋96
7乙班学生成绩的中位数为83，故其成绩为76,81,81,83,91,91,96，所以y ＝3，x ＋y ＝8.
3．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值．平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和，众数是最高矩形的中点的横坐标．
[问题3]　某公司为了解用户对其产品的满意度，随机调查了40个用户，根据用户满意度的评分制成频率
分布直方图(如下)，则该地区满意度评分的平均值为________．
答案　77.5
解析　由直方图估计评分的平均值为55×0.05＋65×0.2＋75×0.35＋85×0.25＋95×0.15＝77.5.4．互斥事件的概率公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )(1)公式适合范围：事件A 与B 互斥．(2)P ()＝1－P (A )．
A [问题4]　抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件
B 为出现2点，已知P (A )＝，P (B )＝，则出现奇数点或2点的概率之和为________．
121
6答案　235．古典概型
P (A )＝(其中，n 为一次试验中可能出现的结果总数，m 为事件A 在试验中包含的基本事件个数)．
m
n [问题5]　袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为________．答案　25
解析　设袋中1个红球用a 表示，2个白球分别用b 1，b 2表示，3个黑球分别用c 1，c 2，c 3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为(a ，b 1)，(a ，b 2)，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(a ，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15个．
两球颜色为一白一黑的基本事件为(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，共6个．∴其概率为＝.6152
56．几何概型
一般地，在几何区域D 内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的
概率为P (A )＝.此处D 的测度不为0，其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和
d 的测度
D 的测度立体图形时，相应的测度分别为长度、面积和体积等．
即P (A )＝.
构成事件A 的区域长度(面积或体积)
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)[问题6]　在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．答案　1－π
12
解析　记“点P 到点O 的距离大于1”为事件A ，
P (A )＝
＝1－.
23－
12×4
3π×1323π
12易错点1　抽样方法理解不准
例1　一个总体中100个个体的编号为0,1,2,3，…，99，并依次将其分为10个小组，组号为
0,1,2，…，9.要用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定如果第0组(号码0～9)随机抽取的号码为l ，那么依次错位地抽取后面各组的号码，即第k 组中抽取的号码的个位数为l ＋k 或l ＋k －10(如果
l ＋k ≥10)．若l ＝6，则所抽取的第5组的号码是________．
易错分析　本题易错点有两个：一是忽视题中对组号的描述，误以为第一个号码6为第一组的号码导致错误；二是忽视系统抽样号码抽样法则的制定，误以为组距为10，所以每组抽取号码的个位数都为6.所以解决此类问题，一定要根据题中的条件准确进行编号与抽样．
解析　由题意，第0组抽取的号码为6，则第一组抽取的号码的个位数为6＋1＝7，所以选17.因为7＋1＝8，第二组抽取号码的个位数为8，故选28.因为8＋1＝9，第三组抽取号码的个位数为9，故选39.
因为9＋1＝10≥10,9＋1－10＝0，第四组抽取号码的个位数为0，故选40.因为0＋1＝1，第五组抽取号码的个位数为1，故选51.答案　51
易错点2　误解基本事件的等可能性
例2　若将一枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为________．
易错分析　解本题时易出现的错误在于对等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念的理解不深刻，错误地认为基本事件总数为11(点数和等于2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)，或者将点数和为4的事件错误地计算为(1,3)(2,2)两种，从而导致出错．
解析　将先后掷2次出现向上的点数记作点坐标(x ，y )，则共可得点坐标的个数为6×6＝36，而向上点数之和为4的点坐标有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3个，故先后掷2次，出现向上的点数之和为4的概率P ＝＝.
336112答案　1
12
易错点3　几何概型中“测度”确定不准
例3　在等腰直角三角形ABC 中，直角顶点为C .(1)在斜边AB 上任取一点M ，求AM <AC 的概率；
(2)在∠ACB 的内部，以C 为端点任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM <AC 的概率．
易错分析　本题易出现的问题是混淆几何概型中对事件的度量方式，不注意题中两问中点M 生成方式的差异，误以为该题两问中的几何概型都是用线段的长度来度量造成错解．解　(1)由题意可知，AB ＝AC .
2由于点M 是在斜边AB 上任取的，所以点M 等可能分布在线段AB 上，因此基本事件的区域应是线段AB .
所以P (AM <AC )＝＝.
AC 2AC 2
2(2)由于在∠ACB 内作射线CM ，等可能分布的是CM 在∠
ACB 内的任一位置(如图所示)，因此基本事件的区域应是∠ACB ，
所以P (AM <AC )＝＝＝.
∠ACC ′∠ACB π－
π42
π
2
34易错点4　互斥事件概念不清
例4　对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，
C ＝{恰有一次击中飞机}，
D ＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互为互斥事件的是________；互为对立事件
的是________．
易错分析　对事件互斥意义不明确，对事件的互斥与对立之间的关系不清楚，就会出现错误的判断．对立事件和互斥事件都不可能同时发生，但对立事件必有一个要发生，而互斥事件可能都不发生．所以两个事件对立，则两个事件必是互斥事件；反之，两事件是互斥事件，但未必是对立事件．
解析　因为A ∩B ＝∅，A ∩C ＝∅，B ∩C ＝∅，B ∩D ＝∅，故A 与B ，A 与C ，B 与C ，B 与D 为彼此互斥事件，而B ∩D ＝∅，B ∪D ＝Ω，故B 与D 互为对立事件．
答案　A 与B ，A 与C ，B 与C ，B 与D B 与D
1．(2018·江苏盐城中学模拟)有100件产品编号从00到99，用系统抽样方法从中抽取5件产品进行检验，分组后每组按照相同的间隔抽取产品，若第5组抽取的产品编号为91，则第2组抽取的产品编号为________．答案　31
解析　根据系统抽样原理，抽样间隔为l ＝＝20.100
5设第1组抽取数据为a 0，
则第5组抽取的产品编号为4×20＋a 0＝91，解得a 0＝11.
∴第2组抽取的产品编号为1×20＋a 0＝31.
2．若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在直线x ＋3y ＝15两侧的概率为________．答案　1718
解析　由题意可知，m ∈{1,2,3,4,5,6}，n ∈{1,2,3,4,5,6}，点P (m ，n )共有36种可能，其中只有当Error!和Error!时，点P 落在直线x ＋3y ＝15上，故点P 落在直线x ＋3y ＝15两侧的概率为P ＝1－＝.23617
183．某市教研室在组织全市高三学生一模考试后，对全市14 500名高三学生的数学成绩(满分：160分)进行分析，发现成绩全部在区间[85,145]上，将成绩绘制成频率分布直方图如图所示，则此次考试该市学生成绩在[125,135)之间的人数为________．
答案　1 740
解析　由频率分布直方图可得成绩在[125,135)之间的频率为1－(0.010＋0.024＋0.030＋0.016＋0.008)×10＝0.12，则此次考试该市学生成绩在[125,135)之间的人数为0.12×14 500＝1 740.
4．同时抛掷两枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)，观察向上的点数，则两个点数之积不小于10的概率为________．
答案　1936
解析　同时抛掷两枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)，观察向上的点数，基本事件总数n ＝6×6＝36，列表如下：
(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
两个点数之积不小于10包含的基本事件有19个，∴两个点数之积不小于10的概率P ＝.
19
365．如图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的概率为________.
答案　1
10
解析　甲的平均成绩为＝90，88＋89＋90＋91＋92
5设被污损一个数字为x ，则乙的平均成绩为>90，83＋83＋87＋99＋90＋x
5解得x >8⇒x ＝9，所以所求概率为.
1
106．某中学部分学生参加高中数学竞赛，指导老师统计了本校所有参赛学生的成绩(成绩均为整数，满分120分)，并且按[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120]绘制了如图所示的频数分布图，如果不低于90分则获奖，那么该校参赛学生的获奖率为________．
答案　43.75%
解析　由题意知，参赛人数为4＋6＋8＋7＋5＋2＝32，获奖人数为7＋5＋2＝14，所以该校参赛学生的获奖率为＝43.75%.
14
327．一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是________．答案　81.2,4.4
解析　设这组数据为x 1，x 2，…，x n ，都减去80后，得到新数据为12x x '
'
，，…，n x '
，则
12n
x x x n
'''
+++ ＝1.2，
所以＝1280n x x x n
n
'''
++++ ＝1.2＋80＝81.2.
x 1＋x 2＋…＋xn n 因为方差是刻画数据离散程度的，
所以各数据减去(或加上)同一个数后，方差的大小不变．
8．袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．答案　3
5
解析　方法一　从5只球中一次随机摸出2只球，有10种取法，摸出2只颜色不同球的情况有2×3＝6(种)，故其概率为＝.
6103
5方法二　从5只球中一次随机摸出2只球，有10种取法，摸出2只颜色相同的情况有3＋1＝4(种)，故摸出2只颜色不同的球的概率为1－＝.
4103
59．设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为________．答案　－1412π
解析　由|z |≤1，可得(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y ≥x 的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式，可得所求概率为
P ＝＝＝－.
14π×12－12×12π×12π4－12π141
2π10．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是________．(填序号)①甲地：总体均值为3，中位数为4；②乙地：总体均值为1，总体方差大于0；③丙地：中位数为2，众数为3；④丁地：总体均值为2，总体方差为3.答案　④
解析　根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，①中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在③中也有可能；②中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；④中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3，故填④.。