【走向高考】高考数学一轮总复习 11-7离散型随机变量及其分布列课后强化作业 北师大版

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基础达标检测
一、选择题
1．下列表中能成为随机变量X的分布列的是()
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析]选项A，D三个概率之和为1.1>1，故A、D错误；选项B中P(X＝3)＝－0.1错误，故选C.
2．(教材改编题)袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为()
A．25 B．10
C．7 D．6
[答案] C
[解析]X的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9，共7种．
3．设随机变量X等可能地取1,2,3，…，n，若P(X<4)＝0.3，则n的值为()
A．3 B．4
C．10 D．不确定
[答案] C
[解析] “X <4”的含义为X ＝1,2,3. ∴P (X <4)＝3
n
＝0.3，∴n ＝10.
4．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数，则P (X ≤1)等于( )
A.15
B.2
5 C.35 D.45
[答案] D
[解析] P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 34·C 02C 36＋C 24C 1
2C 36＝1
5＋35＝45
.
5．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，P (X ＝0)等于( )
A ．0 B.12 C.13 D.23
[答案] C
[解析] 设X 的分布列为
则“X ＝0”表示试验失败，“p ，则成功率为2p . ∴由p ＋2p ＝1得p ＝1
3
.应选C.
6．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47·C 68
C 1015
的是( )
A ．P (X ＝2)
B ．P (X ≤2)
C ．P (X ＝4)
D ．P (X ≤4)
[答案] C
[解析] X 服从超几何分布，基本事件总数为C 1015，事件数为C X 7C 10－
X
8
. ∴P (X ＝4)＝C 47C 6
8
C 1015
.
二、填空题
7．若X 的分布列为
，则常数c ＝[答案] 1
3
[解析] 由分布列的性质得⎩⎪⎨⎪
⎧
9c 2
－c ≥03－8c ≥0
9c 2－c ＋3－8c ＝1.
解得c ＝1
3
.
8．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝1
2k ＋1(k ＝1,2，…)，则P (2≤X ≤4)等于________．
[答案]
732
[解析] P (2≤X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＋125＝7
32.
9．设随机变量X 的分布列为
则p ＝________；P [答案] 0.1 0.3
[解析] ∑i ＝15
p i ＝1⇒0.4＋0.1＋0.2＋0.2＋p ＝1⇒p ＝0.1，P (3<X ≤5)＝P (X ＝4)＋P (X ＝5)
＝0.2＋0.1＝0.3.
三、解答题
10．(2013·天津高考)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．
[解析] (1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则
P (A )＝C 12C 35＋C 22C 2
5C 47
＝67.
所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为6
7.
(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.
P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34
C 47＝435，
P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36
C 47＝47.
所以随机变量X 的分布列是
随机变量X 的数学期望E (X )＝1×135＋2×435＋3×27＋4×47＝17
5
.
能力强化训练
一、选择题
1．在100张奖券中，有4张有奖，从这100张奖券中任意抽取2张，则2张都中奖的概率为( )
A.1
50 B.125 C.1825 D.14950
[答案] C
[解析] 由题意知，中奖奖券的张数服从超几何分布． ∴P (X ＝2)＝C 24
C 2100＝1825
.
2．(2014·烟台模拟)随机变量X 的概率分布列规律为P (X ＝n )＝a
n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其
中a 是常数，则P (12<X <5
2
)的值为( )
A.2
3 B.3
4 C.4
5 D.56
[答案] D
[解析] 因为P (X ＝n )＝
a n (n ＋1)
＝a (1n －1
n ＋1)，
所以∑n ＝14
P (X ＝n )＝a (1－12＋12－13＋13－14＋14－15)＝4
5a ＝1，
解得a ＝5
4
.
因此P (12<X <52)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×23＝5
6.
二、填空题
3．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________．
[答案] －1,0,1,2,3
[解析] X ＝－1，甲抢到一题但答错了．
X ＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，回答时一对一错． X ＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对， X ＝2时，甲抢到2题均答对． X ＝3时，甲抢到3题均答对．
4．如图所示，A 、B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X ，则P (X ≥8)＝________.
[答案] 4
5
[解析] 由已知X 的取值为7,8,9,10.
∵P (X ＝7)＝C 22C 12
C 35＝15，
P (X ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12
C 3
5＝310， P (X ＝9)＝C 12C 12C 1
1
C 3
5＝25， P (X ＝10)＝C 22C 11
C 35＝110
.
∴X 的概率分布列为
∴P (X ≥8)＝P (X ＝8)＋＝310＋25＋110＝45. 三、解答题
5．一个袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回去，直到取到白球为止，求取球次数的分布列．
[解析] 设取球次数为X ，则X 的可能取值为1,2,3,4,5， P (X ＝1)＝1A 15＝15，P (X ＝2)＝A 14
A 25＝15，
P (X ＝3)＝A 24A 35＝15，P (X ＝4)＝A 34
A 45＝15，
P (X ＝5)＝A 44A 55＝1
5
，
∴随机变量X 的分布列为：
6.袋中装着标有数字可能性都相等，则X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X 的分布列．
[解析] (1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则P (A )＝
C 35C 12C 12C 12
C 3
10＝23
. (2)由题意，X 所有可能的取值为2,3,4,5.
P (X ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 2
2
C 3
10＝130； P (X ＝3)＝C 24C 12＋C 14C 22
C 3
10＝215； P (X ＝4)＝C 26C 12＋C 16C 22
C 3
10＝310； P (X ＝5)＝C 28C 12＋C 18C 22
C 3
10＝815
. 所以随机变量X 的概率分布列为。