初中数学培优专题学习专题22 与圆相关的比例线段

专题22 与圆相关的比例线段
阅读与思考
比例线段是初中数学的一个核心问题.
我们开始是用平行线截线段成比例进行研究的，随着学习的深入、知识的增加，在平行线法的基础上，我们可以利用相似三角形研究证明比例线段，在这两种最基本的研究与证明比例线段方法的基础上，在不同的图形中又发展为新的形式.
在直角三角形中，以积的形式更明快地表示直角三角形内线段间的比例关系.
在圆中，又有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系. 相交弦定理、切割线定理及其推论，它们之间有着密切的联系： 1．从定理的形式上看，都涉及两条相交直线与圆的位置关系；
2．从定理的证明方法上看，都是先证明一对三角形相似，再由对应边成比例而得到等积式. 熟悉以下基本图形和以上基本结论.
T
P
B
D
C
B
A
P
P A
D
C
B
A
例题与求解
【例1】如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F .若DE =3
4
CE ，AC =85，点D 为EF 的中点，则AB = . （全国初中数学联赛试题） 解题思路：设法求出AE 、BE 的长，可考虑用相交弦定理，勾股定理等.
例1题图 例2题图
【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，以BC 上一点O 为圆心作⊙O 与AC 、AB 都相切，又⊙O 与BC 的另一个交点为D ，则线段BD 的长为（ ）
A ．1
B ．12
C ．13
D ．1
4
（武汉市中考试题）
解题思路：由切割线定理知BE 2=BD ·BC ，欲求BD ，应先求BE . 须加强对图形的认识，充分挖掘隐含
条件.
【例3】如图，AB 是半圆的直径，O 是圆心，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于D ，DE ⊥AB 于E .已知AE ∶ EB =4∶ 1，CD =2，求BC 的长.
（成都市中考试题）
解题思路：由题设条件“直径、切线”等关键词联想到相应的知识，寻找解题的突破口.
【例4】如图，AC 为⊙O 的直径且P A ⊥AC ，BC 是⊙O 的一条弦，直线PB 交直线AC 于点D ，DB DP =DC DO =2
3.
（1）求证：直线PB 是⊙O 的切线； （2）求cos ∠BCA 的值.
（呼和浩特市中考试题）
解题思路：对于（1），恰当连线，为已知条件的运用创设条件；对于（2），将问题转化为求线段的比值.
P
【例5】如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点.延长BC 至D ，使CD =BC ，CE ⊥AD 于E ，BF 交⊙O 于F ，AF 交CE 于P .
求证：PE =PC .
（太原市竞赛试题）
解题思路：易证PC 为⊙O 切线，则PC 2=PF ·P A ，只需证明PE 2= PF ·P A . 证△PEF ∽△P AE ，作出常用辅助线，突破相关角.
B
【例6】如图，已知点P 是⊙O 外一点，PS 、PT 是⊙O 的两条切线. 过点P 作⊙O 的割线P AB ，交⊙O 于A 、B 两点，与ST 交于点C .
求证：
1PC =12（1P A +1PB
）. （国家理科实验班招生试题）
解题思路：利用切割线定理，再由三角形相似即可证.
能力训练
A 级
1．如图，PA 切⊙O 于A 点，PC 交⊙O 于B 、C 两点，M 是BC 上一点，且PA =6，PB =BM =3，OM =2，则⊙O 的半径为 .
（青岛市中考试题） 2．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，且AB =AC ，直径AD 交BC 于点E ，F 是OE 的中点.如果BD ∥CF ，BC =25，则CD = .
（四川省竞赛试题）
P
D
（第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图）
3．如图，AB 切⊙O 于点B ，AD 交⊙O 于点C 、D ，OP ⊥CD 于点P . 若AB =4cm ，AD =8cm ，⊙O 的半径为5cm ，则OP = .
（天津市中考试题）
4．如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，PA =4，PB =3，PC =6，EA 切⊙O 于点A ，AE 与CD 的延长线交于点E ，AE =25，那么PE 的长为 .
（成都市中考试题）
5．如图，在⊙O 中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM =MC ，若AM =1.5，BM =4，则OC 的长为（ ） A ．2 6 B ． 6 C ．2 3 D ．2 2
（辽宁省中考试题）
D
C
C
（第5题图）（第6题图）（第7题图）
6．如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD=13，PD=4，则两圆组成的圆环的面积为（）
A．16πB．36πC．52πD．81π
（南京市中考试题）7．如图，两圆相交于C、D，AB为公切线，若AB=12，CD=9，则MD=（）
A．3 B．3 3 C．6 D．6 3
8．如图，⊙O的直径AB=10，E是OB上一点，弦CD过点E，且BE=2，DE=22，则弦心距OF为（）A．1 B． 2 C．7 D． 3
（包头市中考试题）
B
（第8题图）（第9题图）（第10题图）9．如图，已知在△ABC中，∠C=90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD=6，AE=62，求DE的长.
（南京市中考试题）
10．如图，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B、C两点，D为PC的中点，连结AD并延长交⊙O于E，已知：BE2=DE·EA.
求证：（1）PA=PD；（2）2BP2=AD·DE.
（天津市中考试题）
11．如图，△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC.已知⊙O过点C且与AC相交于F，与AB 相切于AB的中点G.求证：AD⊥BF.
（全国初中数学联赛试题）
12．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A . 连结CO 并延长交⊙O 于点D 、E ，连结BD 并延长交边AC 于点F.
（1）求证：AD ·AC =DC ·EA ；
（2）若AC =nAB （n 为正整数），求tan ∠CDF 的值.
（太原市竞赛试题）
B 级
1．如图，两个同心圆，点A 在大圆上，AXY 为小圆的割线，若AX ·AY =8，则圆环的面积为（ ） A ．4π B ．8π C ．12π D ．16π
（咸阳市中考试题）
2．如图，P 为圆外一点，PA 切圆于A ，PA =8，直线PCB 交圆于C 、B ，且PC =4，AD ⊥BC 于D ，∠ABC =α，∠ACB =β. 连结AB 、AC ，则sin α
sin β
的值等于（ ）
A ．14
B ．1
2
C ．2
D ．4
（黑龙江省中考试题）
βα
P
A
D C
B
（第1题图） （第2题图） （第3题图）
3．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，E 为DC 的中点，直线BE 交⊙O 于点F ，若⊙O 的半径为2，则BF 的长为（ ）
A ．
23 B ．2
2 C ．556 D ．554
（南京市中考试题）
4．如图，已知⊙O 的半径为12，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，OM ⊥AB 于点M ，则sin ∠CBD 的值等于（ ）
A ．OM 的长
B ．2OM 的长
C ．C
D 的长 D ．2 CD 的长
（武汉市中考试题）
（第4题图） （第5题图） （第6题图）
5．如图，PC 为⊙O 的切线，C 为切点，PAB 是过O 点的割线，CD ⊥AB 于D .若tan ∠B =1
2，PC =10cm ，求
△BCD 的面积.
（北京市海淀区中考试题）
6．如图，已知CF 为⊙O 的直径，CB 为⊙O 的弦，CB 的延长线与过F 的⊙O 的切线交于点P . （1）若∠P =45°，PF =10，求⊙O 半径的长；
（2）若E 为BC 上一点，且满足PE 2=PB ·PC ，连结FE 并延长交⊙O 于点A .求证：点A 是
⌒BC 的中点. （济南市中考试题）
7．已知AC 、AB 是⊙O 的弦，AB ＞AC .
（1）如图1，能否在AB 上确定一点E ，使AC 2=AE ·AB ?为什么？
（2）如图2，在条件（1）的结论下延长EC 到P ，连结PB ，如果PB =PE ，试判断PB 与⊙O 的位置关系并说明理由；
（3）在条件（2）的情况下，如果E 是PD 的中点，那么C 是PE 的中点吗？为什么？
（重庆市中考试题）
图2
图1
P
A D
C B E
A
C
B
（第7题图） （第8题图）
8．如图，P 为⊙O 外一点，PA 与⊙O 切于A ，PBC 是⊙O 的割线，AD ⊥PO 于D ，求证：PB BD =PC
CD
.
（四川省竞赛试题）
9．如图，正方形OABC 的顶点O 在坐标原点，且OA 边和AB 边所在的直线的解析式分别为：y =4
3
x 和y =3
25
34+
-
x .D 、E 分别为边OC 和AB 的中点，P 为OA 边上一动点（点P 与点O 不重合），连接DE 和CP ，其交点为Q ．
（1）求证：点Q 为△COP 的外心； （2）求正方形OABC 的边长；
（3）当⊙Q 与AB 相切时，求点P 的坐标．
（河北省中考试题）
（第9题图） （第10题图） （第11题图）
10．如图，已知BC 是半圆O 的直径，D 是 ⌒AC 的中点，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E . （1）求证：AC ·BC =2BD ·CD ；
（2）若AE =3，CD =25，求弦AB 和直径BC 的长.
（天津市竞赛试题）
11．如图，P A 是⊙O 的切线，切点为A ，PBC 是⊙O 的割线，AD ⊥OP ，垂足为D . 证明：AD 2=BD ·CD .
（全国初中数学联合竞赛试题）。