交大概率统计2008-2009-1期末考试含答案

一。

单项选择题（每题3分，共18分）
1．设A 与B 为随机事件，且1)(0<<A P ，0)(>B P ，)|(1)|(A B P A B P -=则必有 （ ）
（Ａ）)|()|(B A P B A P =； （Ｂ）)|()|(B A P B A P ≠； （Ｃ）)()()(B P A P AB P =； （Ｄ）)()()(B P A P AB P ≠。

2．设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则X e Y 21-=服从 （ ）
（A ）泊松分布； （B ）指数分布； （C ）正态分布； （D ）均匀分布。

3．设)(321X X X ，，是取自总体)10(~，N X 的样本，以下数学期望)(X E 的点估计
中最有效的是
（ ）
(A)
321313131X X X ++； (B) 32141
4121X X X ++； (C) 321412121X X X ++； (D) 3214
1
4141X X X ++。

4．设二维随机变量)0;9,2;4,1(~),(N Y X ，则)2(22Y X E -=
（ ）
（Ａ）21； （Ｂ）－21； （Ｃ）5； （Ｄ）－7。

5．设),(~2
σμN X ，且2σ未知，则μ的置信度为95.0的置信区间为 （ ）
(A) )(025.0t n
S X ±
； (B) )(025.0t n
X σ
±
；
(C) )(025.0Z n
S X ±； (D) )(025.0Z n
X σ
±。

6．设随机变量X 和Y 相互独立, 且都服从均匀分布)1,0(U , 则以下随机变量中仍服从
均匀分布的随机变量是 （ ）
)(A Y X Z +=； )(B Y X Z -=； )(C ),(Y X ； )(D ),(2Y X 。

二．填空题（每题3分，共18分）
7．已知3.0)(,5.0)(=-=B A P B P ，则)(-
-B A P = 。

8．已知n X X X ,,,21 是取自于总体X 的样本，则i
n
i i X
k Y ∑==
1
是)(X E 的无偏估计的
充分必要条件为 。

9．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且0)4)(1(=--X X E ，则λ
＝ 。

10．设（621,,,X X X ）是来自正态分布)1,0(N 的样本，2
6
4
2
3
1
)()(
∑∑==+=i i i i X X
Y 。

则当c ＝ 时， cY =2
χ
服从2χ分布，且)(2χE ＝ 。

我承诺，我将严
格遵守考试纪律。

11．设总体X 的分布律⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-p p 5.05
.02
1
0，其中（210<<p ）。

已知容量为7的一个样本值
为（1,0,2,0,0,2,1），则参数p 的矩估计量的值为 ，极大似然估计量的值为 。

12. 设12(,,
,)n X X X 为取自总体),(~2σμN X 的简单随机样本，
2
21
1()1n
i i S X X n ==--∑。

则方差)(2
S D ＝ 。

三．计算题（每题8分，共48分）
13．设口袋中有4只球，其中2只是红球，每次从中随机取1只球，取出后不放回，直到2只红球都取
出为止。

设X 为取球的次数。

求：(1)X 的分布律和分布函数； (2)数学期望)(X E ，方差)(X D 。

14. 已知随机变量),(Y X 服从区域}10,20|),{(<<<<=y x y x G 上的均匀分布，令随机变量
⎩⎨⎧≤>=Y X Y X U 若若,0,1， ⎩⎨⎧≤>=Y
X Y X V 2,02,1若若。

（1）试求),(V U 的分布律；（2）试问随机变量U 与V 是否独立？是否不相关？为什么？
15．已知随机变量),(Y X 的密度函数⎩
⎨⎧≤≤=其他,01
,),(22y x y ax y x f 。

试求：
（1）常数a ；（2）条件密度函数)|(|y x f Y X ；（3）在条件5.0=y 下，X 的条件密度函数。

16．设12(,,
,)n X X X 为取自均匀总体)1,(+ααU 的简单随机样本，
},,,m ax {21n X X X =θ。

（1）试求统计量θ的概率密度函数；（2）试求常数β，使βθα
+=ˆ为参数α的无偏估计。

17． 某装配生产线完成一件产品的装配所需时间X （单位：分钟）服从参数2λ=指数分布。

（1）用切贝雪夫不等式估计完成装配1000件产品需要460分钟至540分钟的概率； （2）用中心极限定理计算在当天的9个工作小时中能完成装配1000件产品的概率。

（9943.0)53.2(=Φ）
18．某种产品的一项质量指标)(~2
σμ，N X ，在5次独立的测试中，测得数据（单位：cm ）；
1.23， 1.22， 1.20， 1.26， 1.23。

试检验：（1） 可否认为该指标的数学期望μ=1.23cm ？
（2） 若指标的标准差015.0≤σ，是否可认为这次测试的标准差显著偏
大？
（488.9)4(2
05.0=χ，7764.2)4(025.0=t ）)05.0(=α
四．简述题（本题8分）
19. 机器人通过迷宫的测试，迷宫的起点到终点之间有5个路口，每个路口有两条前进通道，
其中只有一条是正确的。

机器人在每个路口都需作出选择，用以确定继续前进的通道。

设机器人在每个路口是否能作出正确选择是相互独立的，且只有5个路口的选择都正确时才能抵达终点。

某台机器人测试了10次，其中有3次抵达终点。

试判断这台机器人在迷宫的路口是否具有作出选择的能力，并简单论述你作出此判断的依据。

五．证明题（本题8分）
20. 设随机变量),(Y X 的密度函数⎪⎩
⎪⎨⎧<<+=其他,01
||,1||,41),(y x xy y x f ，试证：
（1）X 与Y 不相互独立；（2）2
X 与2
Y 是相互独立的。

概率统计试卷(A 类) (评分标准) 2008.12.31
一．选择题 C D A B A C
二．填空题 7．0.2； 8．11
=∑=n
i i k ； 9．λ＝2； 10．1/3，2； 11．1/7，1/4； 12. 124
-n σ。

四．计算题
13．(1) ⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛2/13/16/1432， ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤<≤<≤<=x x x x x F 41
4
32/1326/120
)(； （4分）
（2）310)(=X E ，9
5
)(=X D 。

（4分）
14．（1）⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛2/1014/14/10
10\U
V ； （4分）
（2）不独立，因为8/1)0()0(4/1)0,0(===≠===V P U P V U P 。

（2分）
不是不相关，因为08/18/32/1)()()(),cov(≠=-=-=V E U E UV E V U 。

（2分） 15．（1）4
21
=a ； （2分）
（2）当10≤≤y 时，⎩
⎨
⎧<
<-=-其他,0,5.1)|(2/32|y
x y y x y x f Y X ； （4
分）
（3
）
⎩
⎨
⎧<<-=其他＝,05
.05.0,23)5.0|(2|x x y x f Y X 。

( 2分)
16
．
（
1
）
⎩
⎨
⎧+<<-=-其他,01
,)()(1αααθx x n x f n ；
（4分） (2)．
1
)(++
=n n
E αθ,
1
+-
=n n β。

（4分）
17． 设X 为完成装配1000件产品所需时间, i X 为第i 件产品完成装配所需时间, 则
∑==1000
1
i i X X .
据题设
2/1)(=i X E ，
4/1)(=i X D ，故∑===1000
1
500)()(i i X E X E ，
∑===1000
1
250)()(i i X D X D 。

（1）由切贝雪夫不等式
)
40)(()540460(<-=<<X E X P X P 84375
.040/)(12=-≥X D 。

( 4分)
（2）由中心极限定理近似有)250,500(~N X ，故9小时能完成包装任务的概率为
)
53.2()250/)500540(()960(Φ=-Φ=⨯<X P ＝0.9943。

( 4分)
18．（1）假设 01: 1.23;: 1.23H H μμ=≠.
检
验
统
计
量
)
1(~/0--=
n t n
S X T μ，拒绝域
(, 2.7764][2.7764,)W =-∞-⋃+∞
221.246,0.0288x s ==，0.0252
(1)(4) 2.7764t n t α-== ，
因为当0H 为真时，0 1.242T W
=∉， 所以接受0H .
（4分）
（2）假设 2222
01:0.015;:0.015H H σσ=>.
检验统计量
)1(~)1(220
2
2
--=
n S n χσ
χ，拒绝域 [9.488,)W =+∞
因为当0H 为真时，2
014.86W χ=∈，所以拒绝0H . （4
分）
四．简述题
19. 这台机器人在迷宫的路口有作出正确选择的能力。

因为若在每个路口随机选择，抵达的概率为1/32，抵达终点的次数)32/1,10(~B X ，
0029.0)32/31()32/1()3(73310≈==C X P 是小概率事件
五．证明题 20.（1） ⎩⎨
⎧≥<=1||,01||,2/1)(x x x f X ，⎩⎨⎧≥<=1
||,01
||,2/1)(y y y f Y ，)()(),(y f x f y x f Y X ≠,
所以X 与Y 不相互独立。

（4
分）
（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(2x x x x x F X ，⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(2y y y y y F Y ，
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧>>≤≤>>≤≤≤≤≤≤<<=1,1,
110,1,1,10,10,10,0,,0,
0),(22,y x y x y y x x y x xy Y or x y x F Y X ，
)()(),(2222,y F x F y x F Y X Y X =，
所以2X 与2Y 是相互独立的。

（4分）。