2018学年高中数学选修4-5课件：第1讲 不等式和绝对值

2 2
1 x × 2＝2， x
2
1 当且仅当 x ＝ 2即 x
2
x＝± 1 时等号成立，B 正确． 1 C．∵x<0，∴－x>0，－ >0， x
1 － (－x)＋ x ≥2 1 － －x· x＝2，所以
x<0 时，
1 x＋ ≤－2， x 1 当且仅当－x＝－ 即 x＝－1 时等号成立，C 正确． x 1 1 D．∵x>0，∴ >0，∴x＋ ≥2 x x 1 x·＝2， x
1 当且仅当 x＝ 即 x＝1 时等号成立，D 正确． x 答案： A
a b c 2．已知 a，b，c 为正数，则 ＋ ＋ 有( b c a A．最小值 3 C．最小值 2 B．最大值 3 D．最大值 2
)
解析： 因为 a，b，c 为正数 3 abc a b c 所以 ＋ ＋ ≥3 ··＝3 b c a bca 最小值 3.
预习学案
1．重要不等式 定理 1
a＝b 如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥2ab，当且仅当_____
时，等号成立． 2．基本不等式 定理 2
a＋b ≥ ab 2 如果 a>0，b>0，那么______________ ，当且仅当
a＝b 时，等号成立．
a＋b (1)算术—几何平均：如果 a，b 都是正数，我们就称 为 2 a，b 的算术平均， ab为 a，b 的几何平均．
为用平均不等式证明．
[ 解题过程]
(1)∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c≥3 abc>0，
2
3
从而(a＋b＋c) ≥9 a2b2c2>0. 3 1 1 1 1 又 2＋ 2＋ 2≥3 >0， a b c a2b2c2 3 1 1 1 2 ＋ ＋ ∴ ( a ＋ b ＋ c ) ≥3 2 2 2 a b c 1 3 2 2 2 · 9 a b c ＝27， a2b2c2
答案： A
3 ． 若 正 数 x ， y 满 足 xy2 ＝ 4 ， 求 x ＋ 2y 的 最 小 值 为 ________．
4 解析： ∵xy ＝4，x>0，y>0，∴x＝ 2. y
2
3 4 4 4 3 x＋2y＝ 2＋2y＝ 2＋y＋y≥3 · y· y＝3 4. y y y2 当且仅当 x＝y＝ 4时，等号成立，此时 x＋2y 的最小值为 3 4. 3 3
3Hale Waihona Puke 三个正数的算术—几何平均不等式1.探索并了解三个正数的算术—几何平均不等式的证明过 程． 2.会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．
3.会用平均不等式解决实际中的应用问题.
1.利用平均不等式比较代数式的大小及证明简单不等式是
常考内容．(难点)
2.利用平均不等式求函数的最值以及实际问题中的最值问 题，多以小题的形式进行考查．(重点、难点)
答案： 3 4.
3
3 4．求函数 y＝2x ＋ (x>0)的最小值． x 3 2 解析： 由 x>0 知 2x >0， >0，则 2x
2
3 3 9 3 3 3 3 3 y＝2x2＋ ＝2x2＋ ＋ ≥3 2x2· · ＝3 . x 2x 2x 2x 2x 2 3 3 3 当且仅当 2x2＝ ，即 x＝ 时， 2x 4 3 9 33 ymin＝3 ＝ 36. 2 2
3
当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
1 1 1 1．设 a，b，c 为正实数，求证： 3＋ 3＋ 3＋abc≥2 3. a b c
[ 思路点拨] 式子成立．
先观察式子的结构，再用平均不等式来证明
解析： 因为 a，b，c 为正实数，由平均不等式可得 3 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ≥3 ··， a 3 b 3 c3 a 3 b 3 c3 1 1 1 3 即 3＋ 3＋ 3≥ (当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立)． a b c abc 1 1 1 3 所以 3＋ 3＋ 3＋abc≥ ＋abc. a b c abc
a1＝a2＝…＝an 时，等号成立． ≥ a1a2„an，当且仅当__________________
n
1．下列不等式不成立的是( 1 A．x＋ ≥2 x 1 C．x<0，x＋ ≤－2 x
) 1 B．x ＋ 2≥2 x
2
1 D．x>0，x＋ ≥2 x
1 解析： A．当 x＝－1 时 x＋ ＝－2，A 错误． x 1 B．∵x >0，∴x ＋ 2≥2 x
课堂学案
用平均不等式证明不等式
设 a，b，c∈R＋，求证：
1 1 1 2 (1)a2＋b2＋c2 ( a ＋ b ＋ c ) ≥27； 1 1 1 9 ＋ ＋ (2)(a＋b＋c) ≥2. a ＋ b b ＋ c a ＋ c
[ 思路点拨]
先观察求证式子的结构，然后通过变形转化
3
当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
(2)∵a，b，c∈R＋， ∴(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥3 a＋bb＋cc＋a>0， 3 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ≥3 · · >0， a＋b b＋c a＋c a＋b b＋c a＋c
1 1 1 9 ＋ ＋ ∴(a＋b＋c) ≥2. a ＋ b b ＋ c a ＋ c
3 而 ＋abc≥2 abc 号成立)，
3 · abc＝2 3(当且仅当 a2b2c2＝3 时， 等 abc
a＋b＋c ≥ 3 R ＋ ，那么 2．定理 3：如果 a，b，c∈_____ ____ abc， 3
a＝b＝c 时，等号成立．即：三个正数的算术平 当且仅当____________
不小于 它们的几何平均． 均_________
3．对于 n 个正数的算术平均 a1，a2，„，an，它们的算术 a1＋a2＋„＋an 不小于 平 均 __________ 它 们 的 几 何 平 均 ， 即 n
两个正数的算术平均不小于(即大于或等于) (2)语言表述：______________________________________ 它们的几何平均 ______________________ ．
≥ 1．如果 a，b，c∈R＋那么 a3＋b3＋c3______ 3abc，当且仅 a＝b＝c 当___________________ 时，等号成立．