2019届高三高考理科数学考试大纲解读 专题10 不等式、推理与证明

2019年考试大纲解读
10 不等式、推理与证明
考纲原文
（十三）不等式
1．不等关系
了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景. 2．一元二次不等式
（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.
（2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. （3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. 3．二元一次不等式组与简单线性规划问题 （1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.
（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. （3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
4．基本不等式：
0,0)2
a b
a b +≥≥≥ （1）了解基本不等式的证明过程.
（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.
（十八）推理与证明
1．合情推理与演绎推理
（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用. （2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理. （3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 2．直接证明与间接证明
（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. （2）了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点. 3．数学归纳法
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 名师解读
这部分内容与2018考纲相比没有什么变化，主要以客观题的形式出现，命题方向如下:
不等式的命题方向为：（1）选择题、填空题中以简单的线性规划、不等式的性质为主，有时也与其他知识相交汇，试题难度中等；（2）解答题中通常以其他知识为主，结合不等式的相关知识或有关不等式问题的证明等，试题难度中等偏上.
推理与证明的命题方向为：（1）选择题或填空题中常将有关归纳方法的应用与其他知识相交汇，有时以数学文化为背景，试题难度中等；（2）解答题中通常以其他知识为主，通过推理与证明来解决相关问题，注意反证法的应用，试题难度中等或中等偏上. 样题展示
考向一 解不等式
样题1 （2018新课标全国Ⅲ理科）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则
A ．0a b ab +<<
B ．0ab a b <+<
C ．0a b ab +<<
D ．0ab a b <<+
【答案】B
【解析】∵0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，.0.3030.211log ,lo 2g a b ∴
==，0.311
lo 0.g 4a b
∴+=，
,即
，又
，
，即
，故选B.
考向二 一元二次不等式的解法
样题2 （2018新课标全国Ⅰ理科）已知集合{
}
2
20A x x x =-->，则A =R ð A ．{}
12x x -<< B ．{}
12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}
{}{|1|2x x x x ≤-≥
【答案】B 【解析】解不等式
得
，所以
，所以可以求得
{}|12A x x =-≤≤R ð，故选B
样题3 若不等式的解集为,则不等式的解集为
A ．或
B ．
C ．
D ．
或
【答案】B
考向三 目标函数的最值问题]
样题4 （2018新课标I 理科）若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
，则32z x y =+的最大值为
_____________．
【答案】6
【解析】根据题中所给的约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
，画出其对应的可行域，如图所示：
由32z x y =+可得3122y x z =-
+，画出直线32y x =-，将其上下移动，结合2
z
的几何意义，可知当直线过点B 时，z 取得最大值，
由220
x y y --=⎧⎨
=⎩，解得()2,0B ，此时max 3206z =⨯+=，故答案为6.
【名师点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型，根据不同的形式，应用相应的方法求解.
样题5 已知,x y 满足22
416
x y x y +≥+≤⎧⎨⎩，则22
6825z x x y y =++++的取值范围是 A ．121,812⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
B ．121,732⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
C ．[]
65,73 D ．[]
65,81
【答案】A
【解析】作出不等式组2
2
416
x y x y +≥+≤⎧⎨
⎩所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，目标函数
2
z = 表示点()3,4P -- 与可行域内点的距离的平方，点P 到直线4x y +=的
=
，点P 到坐标原点的距离加上半径： 49=， 则目标函数2
2
6825z x x y y =++++的取值范围是121,812⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
.故选A ．
考向四 利用线性规划解决实际问题
样题6 某颜料公司生产
两种产品，其中生产每吨产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，
生产每吨产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨和200吨，如果产品的利润为300元/吨，产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天之内可获得的最大利润为
A．14000元B．16000元
C．16000元D．20000元
【答案】A
【解析】依题意，将题中数据统计如下表所示：学-科网
设该公司一天内安排生产产品吨、产品吨，所获利润为元，依据题意得目标函数为，
约束条件为
50
4160
25200
0,0
x y
x
x y
x y
+≤
≤
+≤
⎧
⎪
≥
⎨
≥
⎪
⎪
⎪⎩
,欲求目标函数的最大值，先画出约束条件表
示的可行域，如图中阴影部分所示，则点，，，，作直线，
当移动该直线过点时，取得最大值，则也取得最大值（也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得）.
故.
所以工厂每天生产产品40吨，产品10吨时，才可获得最大利润，为14000元.选A．
考向五推理
样题7 （2017新课标全国Ⅱ理科）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：
你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则 A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩
【答案】D
考向六 数学归纳法
样题8 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n =0有一根为S n －1(n ∈N *)． （1）求a 1，a 2；
（2）猜想数列{S n }的通项公式，并给出证明．
【解析】（1）当n =1时，方程x 2－a 1x －a 1=0有一根为S 1－1=a 1－1， ∴(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1=0，解得a 1=12
.
当n =2时，方程x 2－a 2x －a 2=0有一根为S 2－1=a 1+a 2－1=a 2－1
2，
∴⎝⎛⎭⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎫a 2－12－a 2=0，解得a 2=16
.
下面用数学归纳法证明这个结论．
①当n =1时，结论成立．
②假设n =k (k ∈N *，k ≥1)时结论成立，即S k =k
k ＋1，
当n =k +1时，S k +1=1
2－S k
=
1
2－k k ＋1=k ＋1k ＋2=1(1)1k k +++. 即当n =k +1时结论成立．
由①②知S n =n
n ＋1对任意的正整数n 都成立．。