国家开放大学《工程数学》章节测试参考答案

国家开放大学《工程数学》章节测试参考答案
第2章 矩阵
（一）单项选择题（每小题2分，共20分）
⒈设，则（D ）
．
A. 4
B. －4
C. 6
D. －6
⒉若
，则（A ）
． A.
B. －1
C.
D. 1
⒊乘积矩阵中元素（C ）． A. 1 B. 7 C. 10 D. 8
⒋设均为阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（B ）． A. B.
C. D.
⒌设均为阶方阵，且，则下列等式正确的是（D ）．
A. B. C. D.
⒍下列结论正确的是（A ）． A. 若是正交矩阵，则也是正交矩阵
B. 若均为阶对称矩阵，则也是对称矩阵
C. 若均为阶非零矩阵，则也是非零矩阵
D. 若均为阶非零矩阵，则
a a a
b b b
c c c 1
231
231
2
32=a a a a b a b a b c c c 1
2
3
1122
331
2
3
232323---=0001000
02001
00
1a a
=a =1
2
-1
2
1124103521-⎡⎣⎢⎤⎦⎥-⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥c 23=A B ,n A B
A
B
+=+---1
1
1
()AB BA
--=11
()A B A B +=+---111()AB A B ---=111A B ,n k >0k ≠1A B A B +=+AB n A B =kA k A =-=-kA k A n ()A A -1A B ,n AB A B ,n AB A B ,n AB ≠0
⒎矩阵的伴随矩阵为（C ）．
A. B. C. D. ⒏方阵可逆的充分必要条件是（B ）．
A.
B.
C.
D.
⒐设均为阶可逆矩阵，则（D ）．
A. B. C.
D.
⒑设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A ）． A. B.
C.
D.
（二）填空题（每小题2分，共20分）
⒈ 7 。

⒉是关于的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 。

⒊若为矩阵，为矩阵，切乘积有意义，则为 5×4 矩阵。

⒋二阶矩阵 [
15
1]。

⒌设，则 [
6
―3
5
―18]。

⒍设均为3阶矩阵，且，则 72 。

1325⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥1325--⎡⎣⎢⎤⎦⎥--⎡⎣⎢⎤
⎦⎥13255321--⎡⎣⎢⎤⎦⎥--⎡⎣⎢⎤⎦
⎥5321A A ≠0A ≠0A *≠0A *>0A B C ,,n ()ACB '=-1()'---B A C 111'--B C A 11A C B ---'111()()B C A ---'111A B C ,,n ()A B A AB B +=++2222()A B B BA B +=+2()221111ABC C B A ----=()22ABC C B A '='''2
1
140001
---=---1
1
1
1
1111
x x A 34⨯B 25⨯AC B ''C A =⎡⎣⎢⎤⎦
⎥=11015
A B =-⎡⎣⎢⎢⎢⎤
⎦
⎥⎥⎥=
--⎡⎣⎢⎤⎦
⎥124034120314,()A B +''=A B ,A B ==-3-=2AB
⒎设均为3阶矩阵，且，则 -3 ．
⒏若为正交矩阵，则 0 ． ⒐矩阵的秩为 2 ．
⒑设是两个可逆矩阵，则
[
A ―1
1
O
O
A ―12
]
． （三）解答题（每小题8分，共48分）
⒈设，求⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹． 解：=[03
18] =[
66
04] =[1716
37]
=[2622
120]
=[
7723
12]
=[5621
15180]
⒉设，求． 解：=（A+B ）C=[
024
201
][
―1
14
3―21002]=[
6―410―2
210]
⒊已知，求满足方程中的． 解：∵
∴X =1
2（3A ―B ）=1
2
[
83―2
―252711
5]
=[
4
3
2―1
―15217
2
112
52
]
⒋写出4阶行列式
A B ,A B =-=-13,-'=-312()A B A a =⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥
101a =212402033--⎡⎣⎢⎢⎢⎤
⎦
⎥⎥⎥A A 12,A O O A 1
21
⎡⎣⎢
⎤⎦
⎥=-A B C =-⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥=-⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥=-⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥123511435431,,A B +A C +23A C +A B +5AB ()AB C 'A B +A C +23A C +A B +5AB ()AB C 'A B C =--⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎤
⎦
⎥⎥⎥121012103211114321002,,AC BC +AC BC +A B =-⎡⎣⎢⎢⎢⎤
⎦
⎥⎥⎥=
-⎡⎣⎢⎢⎢⎤
⎦
⎥⎥⎥310121342102111211,32A X B -=X 32A X B -=
中元素的代数余子式，并求其值． 解：α41=（―1）
4+1
|020
4362―53|
=0 α42=（―1）
4+2
|
120
―1360
―53
|
=45 ⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：
⑴ ； ⑵ ； ⑶ ． 解：（1）A
―1
=
[
1929292919
―29
29
―
29
19
]
（2）A ―1=[
22―6―2617―17
520―13―1
02―14―1―53
]
（3）A ―1=[
1000―1
1000
―1100
―1
1
]
⒍求矩阵的秩． 解：
1020143602533110
--a a 4142,122212221--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦
⎥⎥⎥1
2342
31211111
026---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥
⎥⎥
⎥1
00110011101
111⎡⎣⎢⎢
⎢⎢
⎤⎦
⎥⎥⎥⎥10110111
10110010121012
113
20
1⎡⎣⎢⎢
⎢⎢⎤⎦
⎥
⎥⎥⎥
（四）证明题（每小题4分，共12分） ⒎对任意方阵，试证是对称矩阵．
⒏若是阶方阵，且
，试证或．
⒐若是正交矩阵，试证也是正交矩阵．
第3章 线性方程组
（一）单项选择题(每小题2分，共16分)
⒈用消元法得的解为（C ）． A. B.
C.
D.
⒉线性方程组（B ）
． A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解
⒊向量组的秩为（A ）．
A. 3
B. 2
C. 4
D. 5
A A A +'A n AA I '=A =1-1A 'A x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩
⎪x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥[,,]102-'[,,]--'722[,,]--'1122[,,]---'1122x x x x x x x 12313232326334
++=-=-+=⎧⎨⎪
⎩
⎪100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤
⎦
⎥⎥⎥,,,,
⒋设向量组为，则（B ）是极大无关组．
A. B. C. D.
⒌与分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D ）． A. 秩秩 B. 秩秩
C. 秩秩
D. 秩秩
⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）．
A. 可能无解
B. 有唯一解
C. 有无穷多解
D. 无解
⒎以下结论正确的是（D ）． A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解 B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解 C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解
D. 齐次线性方程组一定有解
⒏若向量组线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出． A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量
C. 至多有一个向量
D. 任何一个向量
（二）填空题(每小题2分，共16分)
⒈当 1 时，齐次线性方程组有非零解．
⒉向量组线性 相关 ． ⒊向量组的秩是 3 ．
⒋设齐次线性方程组的系数行列式，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量是线性 相关 的．
αααα12341100001110101111=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦
⎥
⎥⎥⎥,,,αα12,ααα123,,ααα124,,α1A A ()A =()A ()A <()A ()A >()A ()A =(A -1ααα12,,, s λ=x x x x 121
20
0+=+=⎧⎨⎩λ[][]αα12000111==,,,,,[][][][]123120100000,,,,,,,,,,,ααα1122330x x x ++=ααα1230=ααα123,,
⒌向量组的极大线性无关组是 α1，α
2
．
⒍向量组的秩与矩阵的秩 相同 ．
⒎设线性方程组中有5个未知量，且秩，则其基础解系中线性无关的解向量有 2 个．
⒏设线性方程组有解，是它的一个特解，且的基础解系为
，则的通解为
．
（三）解答题(第1小题9分，其余每小题11分) 1．设有线性方程组
为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?
2．判断向量能否由向量组线性表出，若能，写出一种表出方式．其
中 [][][]ααα123100100===,,,,,ααα12,,, s []ααα12,,, s AX =0()A =3AX b =X 0AX =0X X 12,AX b =λλλλλ11111112⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦
⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥x y z λβααα123,,βααα=---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤
⎦
⎥
⎥⎥⎥83710271335025631123,,,
3．计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关；（2）求出该向量组的一个极大无关组。

4．求齐次线性方程组
的一个基础解系． 解：
αααα1234112343789131303319636=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=----⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥,,
,x x x x x x x x x x x x x x x 12341234
123412
43205230112503540-+-=-+-+=--+-=++=⎧⎨
⎪⎪⎩⎪⎪
5．求下列线性方程组的全部解．
解：
6．求下列线性方程组的全部解．
x x x x x x x x x x x x x x x 12341234124123
452311
3425
94175361
-+-=-+-+=----=++-=-⎧⎨
⎪⎪⎩⎪
⎪x x x x x x x x x x x x x x x x 1234123412341234
326
38502412432
---=-++=-+-+=--+--=⎧⎨
⎪⎪⎩⎪⎪
（四）证明题(本题4分)
⒏试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解．
第4章 随机事件与概率
（一）单项选择题(每小题2分，共16分) ⒈为两个事件，则（B ）成立． A. B.
C.
D.
⒉如果（C ）成立，则事件与互为对立事件．
A. B.
C. 且
D. 与互为对立事件
⒊袋中有5个黑球，3个白球，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为（A ）．
A B ,()A B B A +-=()A B B A +-⊂()A B B A -+=()A B B A -+⊂A B AB =∅AB U =AB =∅AB U =A B
A.
B.
C.
D.
⒋10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为（D ）．
A.
B. C. D.
⒌同时掷3枚均匀硬币，恰好有2枚正面向上的概率为（D ）．
A. 0.5
B. 0.25
C. 0.125
D. 0.375
⒍已知，则（B ）成立． A. B.
C.
D.
⒎对于事件，命题（C ）是正确的．
A. 如果互不相容，则互不相容
B. 如果，则
C. 如果对立，则对立
D. 如果相容，则相容
⒏某随机试验每次试验的成功率为，则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（B ）．
A. B.
C.
D.
（二）填空题(每小题2分，共18分)
⒈从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为 2/5 ．
⒉从个数字中有返回地任取个数（，且个数字互不相同），则取到的个数字中有重复数字的概率为1―P r n /n r
．
⒊有甲、乙、丙三个人，每个人都等可能地被分配到四个房间中的任一间内，则
5
8
4C (38583C 843385
8
()38
C 103
20703⨯⨯..03.07032..⨯307032⨯⨯..P B A A (),>=∅012P A B ()10>P A A B P A B P A B [()]()()1212+=+P A A B ()120≠P A A B ()121=A B ,A B ,A B ,A B ⊂A B ⊂A B ,A B ,A B ,A B ,p p ()01<<()13-p 13-p 31()-p ()()()111322-+-+-p p p p p n r r n ≤n r
三个人分配在同一间房间的概率为 1/16 ，三个人分配在不同房间的概率为 3/8 ．
⒋已知，则当事件互不相容时， 0.8 ，
0.3 ．
⒌为两个事件，且，则 P(A) ． ⒍已知，则 1-P
．
⒎若事件相互独立，且，则 P+q-Pq ． ⒏若互不相容，且，则 0 ，若相互独立，且
，则 P(B)
．
9．已知，则当事件相互独立时， 0.65 ，
0.3 ．
（三）解答题(第1、2、3小题各6分，其余题目各8分，共66分) ⒈ 设A,B 为两个事件，试用文字表示下列各个事件的含义：
（1）； （2）； （3）； （4）； （5）；
（6）．
参考答案：
⒉ 为三个事件，试用的运算分别表示下列事件：
（1）中至少有一个发生； （2）中只有一个发生；
P A P B ().,().==0305A B ,P A B ()+=P AB (=A B ,B A ⊂P A B ()+=P AB P AB P A p ()(),()==P B ()=A B ,P A p P B q (),()==P A B ()+=A B ,P A ()>0P B A ()=A B ,P A ()>0P B A ()=P A P B ().,().==0305A B ,P A B ()+=P A B ()=A B +AB A B -A AB -AB AB AB +A B C ,,A B C ,,A B C ,,A B C ,,
（3）中至多有一个发生；
（4）中至少有两个发生；
（5）中不多于两个发生；
（6）中只有发生．
参考答案：
⒊袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求下列事件的概率：
（1）2球恰好同色；
（2）2球中至少有1红球．
参考答案：
（1）袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，所有可能的结果为，2球恰好同色，即同为红球或同为白球，可能的结果有。

所以，2球恰好同色的概率为4/10=0.4。

（2）2球中至少有1红球，即1红1白或者2红，可能的结果有。

所以，2球中至少有1红球的概率为9/10=0.9。

⒋一批产品共50件，其中46件合格品，4件次品，从中任取3件，其中有次品的概率是多少? 次品不超过2件的概率是多少?
参考答案：
有次品的概率为：1―C346 C350
A B C
,,
A B C
,,
A B C
,,
A B C
,,
C
次品不超过2件的概率为：1―C34 C350
⒌设有100个圆柱圆柱形零件，其中95个长度合格，92个直径合格，87个长度直径都合格，现从中任取一件该产品，求：
（1）该产品是合格品的概率；
（2）若已知该产品直径合格，求该产品是合格品的概率；
（3）若已知该产品长度合格，求该产品是合格品的概率．
参考答案：
设长度合格为A事件，直径合格为B事件，则长度直径都合格为AB事件，根据题意有：P(A)=0.95，P(B)=0.92，P(AB)=0.87。

（1）该产品是合格品的概率为；
（2）已知该产品直径合格，则该产品是合格品的概率为
；
（3）已知该产品长度合格，则该产品是合格品的概率为。

⒍加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出来的零件是正品的概率．
参考答案：
设事件A1={第一道工序为正品}；事件A2={第二道工序为正品}；事件B={加工出来的零件为正品}。

所以，加工出来的零件是正品的概率为：
⒎市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率．
参考答案：
设事件A1={甲厂产品};
事件A2={乙厂产品};
事件A3={丙厂产品};
事件B={买到一个热水瓶是合格品}。

所以，买到一个热水瓶是合格品的概率为：
⒏一批产品中有20%的次品，进行重复抽样检查，共抽得5件样品，分别计算这5件样品中恰有3件次品和至多有3件次品的概率．
参考答案：
5件样品中恰有3件次品的概率为：
；
5件样品中至多有3件次品的概率为：。

⒐加工某种零件需要三道工序，假设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%,3%,5%，并假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率．
参考答案：
设事件A1={第一道工序为正品};
事件A2={第二道工序为正品};
事件A3={第三道工序为正品};
事件B={加工出来的零件为正品}。

加工出来的零件的次品率为：
第5章 随机变量及其数字特征
（一）单项选择题(每小题2分，共14分)
⒈设随机变量，且，则参数与分别是（A ）．
A. 6, 0.8
B. 8, 0.6
C. 12, 0.4
D. 14, 0.2
⒉设为连续型随机变量的密度函数，则对任意的，（A ）．
A. B.
C.
D.
⒊在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B ）．
A.
B.
C.
D.
⒋设连续型随机变量的密度函数为，分布函数为，则对任意的区间，则（D ）
． A. B. C.
D.
⒌设为随机变量，则（D ）．
A. B.
C.
D.
⒍设为随机变量，，当（C ）时，有
．
A. B.
X B n p ~(,)E X D X ().,().==48096n p f x ()X a b a b ,()<E X ()=xf x x ()d -∞+∞⎰xf x x a
b ()d ⎰
f x x a
b
()d ⎰
f x x ()d -∞
+∞⎰
f x x x ()sin ,,
=-<<
⎧
⎨⎪⎩⎪ππ2320其它f x x x ()sin ,,=<<
⎧
⎨⎪⎩⎪020π其它f x x x ()sin ,,
=<<⎧⎨⎪
⎩⎪0320π其它f x x x ()sin ,,
=<<⎧⎨⎩00π
其它X f x ()F x ()(,)a b P a X b ()<<=F a F b ()()-F x x a b ()d ⎰f a f b ()()-f x x a
b
()d ⎰
X D X ()23-=23D X ()+2D X ()23D X ()-4D X ()X E X D X (),()==μσ2E Y D Y (),()==01Y X =+σμY X =-σμ
C. D.
7. 设是随机变量，，设，则（B ）． (A) (B) (C)
(D)
（二）填空题(每小题2分，共14分)
⒈已知连续型随机变量的分布函数，且密度函数连续，则
⒊ 随机变量，则的分布函数{x (0,1)0
其它
． ⒊若，则 6 ．
⒋ ，则 0.9974 ．
⒌ 二维随机变量的相关系数，则称 相互独立 ． ⒍称为二维随机变量的 协方差 ． 7. 设连续型随机变量的密度函数是，则∫b
a
f (x )dx ． （三）解答题(每小题8分，共72分)
⒈某射手连续向一目标射击，直到命中为止．已知他每发命中的概率是，求所需设计次数的概率分布． 参考答案：
P{x=1}=P{A 1}=p P{x=2}=P{A 1A 2}=(1-p)p P{x=2}=P{A 1A 2A 3}=(1-p)2p
……
⒉设随机变量的概率分布为
Y X =
-μ
σ
Y X =
-μ
σ2
X 2)(σ=X D Y aX b =+=)(Y D a b σ2+a 22σa σ2b a +22σX F x ()f x ()f x ()=X U ~(,)01X F x ()=X B ~(,.)2003E X ()=X N ~(,)μσ2P X ()-≤=μσ3(,)X Y ρX Y ,=0X Y ,E X E X Y E Y [(())(())]--(,)X Y X )(x f =<<)(b X a P p X X 0
12345601015
020*********.......⎡⎣⎢⎤⎦⎥
试求． 参考答案：
P （X ≤4）=P （X=0）+ P （X=1）+ P （X=2）+ P （X=3）+ P （X=4）=1- P （X=5）- P （X=6）=0.87
P （2≤X ≤5）=P （X=2）+ P （X=3）+ P （X=4）+ P （X=5）=0.72 P （X ≠3）=1- P （X =3）=0.7 ⒊设随机变量具有概率密度
试求．
参考答案：
P{x ≤1/2}=∫1
202xdx =x ²|12
0=1/4
P{1/4＜x ＜2}=∫1
14
2xdx +0=x ²|12
0=1-1/16=15/16
⒋已知随机变量的概率分布为
求． 参考答案：
由公式有
E(X)=∑10
i =1x k P k =∑10
i =12i ×1
10=2
10∑10
i =1i =11
由于
E(X 2)=∑
10
i =1x 2i P i =∑10
i =1(2i)2×1
10=154
因此
D(X)=E(X 2)-(E(X)2=154-112=33
⒌设，求．
P X P X P X (),(),()≤≤≤≠4253X f x x x (),,=≤≤⎧⎨⎩
2010其它P X P X (),()≤<<121
4
2X P X k k ()(,,,,,)==
=1
10
2461820 E X D X (),()X f x x x ~(),,
=≤≤⎧⎨⎩201
0其它E X D X (),()
参考答案：
E(X)=∫1
x
∙2xdx =∫1
02x 2dx
=
2x 33|10
=
23
D(X)=∫10(x
―
23)
2∙2xdx =
∫10
(2x
3
―
83x
2+
89x
)dx
=
(x 42
―
89x
3+
49x
2)
|10
=
1
18
⒍已知100个产品中有5个次品，现从中任取1个，有放回地取3次，求在所取的3个产品中恰有2个次品的概率． 参考答案：
每次取一次然后放回，该事件符合几何分布，设随机变量X 为取得次品的数量。

则，P(x =2)=
C 23
×
(5100)
2
×95
100=0.007125
⒎某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为0.8，该运动员投篮4次，求⑴投中篮框不少于3次的概率；⑵至少投中篮框1次的概率． 参考答案：
投中篮框不少于3次的概率：P(A)=C 34×(0.8)3
×(1―0.8)=0.4096
至少投中篮框1次的概率：P(B)=1―(0.2)4=0.9984 ⒏设，计算⑴；⑵． 参考答案：
=P
(0.2―M 8
<
X ―M 8
<
1.8―M 8
)
=P (―99<
X ―M 8
<―91)
=Ф(―91)―Ф(-99)
=1―Ф(91)―1+Ф(99)
=Ф(99)―Ф(91)(查表) ≈0
=1―P(X ≤0)
X N ~(,.)20022P X (..)0218<<P X ()>0P X (..)0218<<P X ()>0
=1―P
(
X ―M 8
<―100)
=1―Ф(―100) =Ф(100) =1
9. 设是独立同分布的随机变量，已知，设
，求．
参考答案：
第6章 统计推断
（一）单项选择题(每小题2分，共6分)
⒈设是来自正态总体（均未知）的样本，则（A ）是统计量．
A.
B.
C.
D.
⒉设是来自正态总体（均未知）的样本，则统计量（D ）不是的无偏估计． A. B.
C.
D.
3.对正态总体方差的检验用的是（C ）． (A) 检验法
(B) 检验法 (C) 检验法
(D) 检验法
X X X n 12,,, E X D X (),()112==μσX n X i i n
==∑11
E X D X (,(
x x x n 12,,, N (,)μσ2μσ,2x 1x 1+μx 12
2
σμx 1x x x 123,,N (,)μσ2μσ,2μmax{,,}x x x 1231
2
12()x x +212x x -x x x 123--U T 2χF
（二）填空题(每小题2分，共14分)
1．统计量就是 不含未知参数的样本的函数 ．
2．参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 ．常用的参数点估计有 矩估计法_和 最大似然估计法 两种方法．
3．比较估计量好坏的两个重要标准是 无偏性 ， 有效性 ．
4．设是来自正态总体（已知）的样本值，按给定的显著性水平检验，需选取统计量U =X ―μ0σ/n ．
5．假设检验中的显著性水平为 “弃真”错误，即事件（当H 0为真时拒绝H 0） 发生的概率．
6．当方差已知时，检验所用的检验量是 t 检验量 。

7．若参数的估计量满足E [θ(x 1,x 2,…,x n )]=θ，则称为的无偏估计。

（三）解答题(每小题10分，共80分)
1．设对总体得到一个容量为10的样本值
4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5,
5.0, 3.5, 4.0
试分别计算样本均值和样本方差．
参考答案：
2．在测量物体的长度时，得到三个测量值：
3.00 2.85 3.15
若测量值，试求的最大似然估计值．
参考答案：
x x x n 12,,, N (,)μσ2σ2αH H 0010:;:μμμμ=≠α2σ0100μμμμ≠=:,:H H θ),,,(
21n x x x ϕ),,,(21n x x x ϕθX x s 2X N ~(,)μσ2μσ,2
3．设总体的概率密度函数为
试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数．
参考答案：
4．测两点之间的直线距离5次，测得距离的值为（单位：m ）：
108.5 109.0 110.0 110.5 112.0
测量值可以认为是服从正态分布的，求与的估计值．并在⑴；⑵未知的情况下，分别求的置信度为0.95的置信区间． 参考答案：
X f x x x (;)(),,θθθ=+<<⎧⎨⎩1010其它
θN (,)μσ2μσ2σ225=.σ2μ
5．测试某种材料的抗拉强度，任意抽取10根，计算所测数值的均值，得
假设抗拉强度,试以95％的可靠性估计这批材料的抗拉强度的置信区间。

参考答案：
∑===10
120101i i x x ∑==--=10
122
521101i i x x s .)
(
6．设某产品的性能指标服从正态分布，从历史资料已知，抽查10个样品，求得均值为17，取显著性水平，问原假设是否成立．
参考答案：
7．某零件长度服从正态分布，过去的均值为20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取8个样品，测得的长度为（单位：cm ）：
20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5
问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（）．
参考答案：
N (,)μσ2σ=4α=005.H 020:μ
=α=005
.
8．从一批袋装食盐中随机抽取5袋称重，重量分别为（单位：g ）
1000，1001，999，994，998
假设这批食盐的重量服从正态分布，试问这批食盐重量的均值可否认为是1000g?( ).
参考答案：
05.0=
α。