北京市房山区中考数学一模试卷解析(内含答案详析)

北京市房山区中考数学一模试卷
数学
（考试时间共100分钟，满分120分）
准考证号：__________ 姓名：________ 座位号：___________
{请同学们保持良好的心态，认真审真，认真答题，切不可马虎应付}
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．（3分）（2015•房山区一模）如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示2的相反数的点是（）
A．点A B．点B C．点C D．点D
2．（3分）（2015•房山区一模）据海关统计，前两个月，我国进出口总值为37900亿元人民币，将37900用科学记数法表示为（）
A． 3.79×102 B． 0.379×105 C． 3.79×104 D． 379×102
3．（3分）（2014•汕头）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（）
A． B． C． D．
4．（3分）（2015•房山区一模）如图，直线a，b，a∥b，点C在直线b上，∠DCB=90°，若∠1=70°，则∠2的度数为（）
A． 20° B． 25° C． 30° D． 40°
5．（3分）（2015•房山区一模）右图是某几何体的三视图，该几何体是（）
A．圆柱 B．正方体 C．圆锥 D．长方体
6．（3分）（2015•柳江县二模）某地为了缓解旱情进行了一场人工降雨，现测得6个面积相等区域的降雨量如下表所示：
区域 1 2 3 4 5 6
降雨量（mm） 14 12 13 13 17 15
则这6个区域降雨量的众数和平均数分别为（）
A． 13，13.8 B． 14，15 C． 13，14 D． 14，14.5
7．（3分）（2015•房山区一模）小强骑自行车去郊游，9时出发，15时返回．右图表示他距家的距离y（千米）与相应的时刻x（时）之间的函数关系的图象．根据这个图象，小强14时距家的距离是（）
A． 13 B． 14 C． 15 D． 16
8．（3分）（2015•房山区一模）如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，∠BOC=70°，则∠D等于（）
A． 25° B． 35° C． 55° D． 70°
9．（3分）（2015•鱼峰区二模）如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB．已知观测点C到旗杆的距离CE=8m，测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA=30°，旗杆底部B的俯角∠
ECB=45°，那么，旗杆AB的高度是（）
A．（+8）M B．（8+8）M C．（8+）M D．（8+）M
10．（3分）（2015•房山区一模）如图，已知抛物线y=x2+2x﹣3，把此抛物线沿y轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线与经过点（﹣2，0），（2，0）且平行于y轴的两条直线所围成的阴影部分的面积为s，平移的距离为m，则下列图象中，能表示s与m的函数关系的图象大致是（）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．（3分）（2014•本溪）因式分解：a3﹣4a= ．
12．（3分）（2015•房山区一模）把代数式x2﹣4x+1化成（x﹣h）2+k的形式，其结果是．
13．（3分）（2015•房山区一模）请写出一个y随x的增大而增大的反比例函数的表达式：．
14．（3分）（2015•房山区一模）甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次．已知他们的平均成绩相同，方差分别是，，那么甲、乙两人成绩较为稳定的是．
15．（3分）（2015•房山区一模）随着北京公交票制票价调整，公交集团更换了新版公交
站牌，乘客在乘车时可以通过新版公交站牌计算乘车费用．新版站牌每一个站名上方都有一个对应的数字，将上下车站站名所对应数字相减取绝对值就是乘车路程，再按照其所在计价区段，参照票制规则计算票价．具体来说：
乘车路程计价区段 0﹣10 11﹣15 16﹣20 …
对应票价（元） 2 3 4 …
另外，一卡通普通卡刷卡实行5折优惠，学生卡刷卡实行2.5折优惠．
小明用学生卡乘车，上车时站名上对应的数字是5，下车时站名上对应的数字是22，那么，小明乘车的费用是元．
16．（3分）（2015•房山区一模）如图，在平面直角坐标系中放置了5个正方形，点B1（0，2）在y轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3在x轴上，C1的坐标是（1，0），B1C1∥B2C2∥B3C3．则点A1到x轴的距离是，点A2到x轴的距离是，点A3到x轴的距离是．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
17．（5分）（2015•房山区一模）计算：．
18．（5分）（2015•房山区一模）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
19．（5分）（2012•武汉）如图，CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB．
20．（5分）（2015•房山区一模）已知x2+2x﹣8=0，求代数式的值．
21．（5分）（2015•房山区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k
≠0）的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限内交于点M，若△OBM的面积是2．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点P是x轴上一点，且满足△AMP是以AM为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标．
22．（5分）（2014•宁德）为了鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费），规定：用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费．以下是张磊家3月和4月所交电费的收据，问该市规定的第一阶梯电价和第二阶梯电价分别为每度多少元？
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23．（5分）（2015•房山区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若AB=4，CF=1，∠ABC=60°，求sin∠DEO的值．
24．（5分）（2015•房山区一模）某校开展“人人读书”活动．小明为调查同学们的阅读兴趣，抽样调查了40名学生在本校图书馆的借阅情况（每人每次只能借阅一本图书），绘制了统计图1．并根据图书馆各类图书所占比例情况绘制了统计图2，已知综合类图书有40本．校图书馆各类图书所占比例统计图各类图书借阅人次分布统计图
（1）补全统计图1；
（2）该校图书馆共有图书本；
（3）若该校共有学生1000人，试估算，借阅文学类图书的有人．
25．（5分）（2015•房山区一模）如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，交AB的延长线于点E．过点A作⊙O 的切线交ED的延长线于点G．
（1）求证：GE是⊙O的切线；
（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．
26．（5分）（2015•房山区一模）小明遇到这样一个问题：
如图1，在锐角△ABC中，AD、BE、CF分别为△ABC的高，求证：∠AFE=∠ACB．
小明是这样思考问题的：如图2，以BC为直径作半⊙O，则点F、E在⊙O上，
∠BFE+∠BCE=180°，所以∠AFE=∠ACB．
请回答：若∠ABC=40°，则∠AEF的度数是．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在锐角△ABC中，AD、BE、CF分别为△ABC的高，求证：∠BDF=∠CDE．
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
27．（7分）（2015•房山区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0），B（1，0），顶点为C．
（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；
（2）过点C作CH⊥x轴于点H，若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．
28．（7分）（2015•房山区一模）如图1，已知线段BC=2，点B关于直线AC的对称点是点D，点E为射线CA上一点，且ED=BD，连接DE，BE．
（1）依题意补全图1，并证明：△BDE为等边三角形；
（2）若∠ACB=45°，点C关于直线BD的对称点为点F，连接FD、FB．将△CDE绕点D 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△C′DE′，点E的对应点为E′，点C的对应点为点C′．
①如图2，当α=30°时，连接BC′．证明：EF=BC′；
②如图3，点M为DC中点，点P为线段C′E′上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM长度的取值范围？
29．（8分）（2015•房山区一模）【探究】如图1，点N（m，n）是抛物线上的任意一点，l是过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，过点N作直线NH⊥l，垂足为H．
①计算：m=0时，NH= ； m=4时，NO= ．
②猜想：m取任意值时，NO NH（填“＞”、“=”或“＜”）．
【定义】我们定义：平面内到一个定点F和一条直线l（点F不在直线l上）距离相等的点的集合叫做抛物线，其中点F叫做抛物线的“焦点”，直线l叫做抛物线的“准线”．如图1中的点O即为抛物线y1的“焦点”，直线l：y=﹣2即为抛物线y1的“准线”．可以发现“焦点”F在抛物线的对称轴上．
【应用】（1）如图2，“焦点”为F（﹣4，﹣1）、“准线”为l的抛物线
与y轴交于点N（0，2），点M为直线FN与抛物线的另一交点．MQ⊥l于点Q，直线l交y轴于点H．
①直接写出抛物线y2的“准线”l：；
②计算求值：= ；
（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，半径为1的⊙O与x轴分别交于A、B两点（A在B的左侧），直线与⊙O只有一个公共点F，求以F为“焦点”、x轴为“准线”的抛物线的表达式．
北京市房山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．（3分）（2015•房山区一模）如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示2的相反数的点是（）
A．点A B．点B C．点C D．点D
考点：相反数；数轴．
分析：相反数的定义：符号不同，绝对值相等的两个数叫互为相反数．根据定义，结合数轴进行分析．
解答：解：∵表示2的相反数的点，到原点的距离与2这点到原点的距离相等，并且与2分别位于原点的左右两侧，
∴在A，B，C，D这四个点中满足以上条件的是A．
故选A．
点评：本题考查了互为相反数的两个数在数轴上的位置特点：分别位于原点的左右两侧，并且到原点的距离相等．
2．（3分）（2015•房山区一模）据海关统计，前两个月，我国进出口总值为37900亿元人民币，将37900用科学记数法表示为（）
A． 3.79×102 B． 0.379×105 C． 3.79×104 D． 379×102
考点：科学记数法—表示较大的数．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将37900用科学记数法表示为：3.79×104．
故选：C．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2014•汕头）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（）
A． B． C． D．
考点：概率公式．
分析：直接根据概率公式求解即可．
解答：解：∵装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，
∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率=．
故选：B．
点评：本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
4．（3分）（2015•房山区一模）如图，直线a，b，a∥b，点C在直线b上，∠DCB=90°，若∠1=70°，则∠2的度数为（）
A． 20° B． 25° C． 30° D． 40°
考点：平行线的性质．
分析：先根据对顶角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
解答：解：∵∠1=70°，∠1与∠3是对顶角，
∴∠3=∠1=70°．
∵a∥b，点C在直线b上，∠DCB=90°，
∴∠2+∠DCB+∠3=180°，
∴∠2=180°﹣∠3﹣∠DCB=180°﹣70°﹣90°=20°．
故选A．
点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．5．（3分）（2015•房山区一模）右图是某几何体的三视图，该几何体是（）
A．圆柱 B．正方体 C．圆锥 D．长方体
考点：由三视图判断几何体．
分析：根据一个空间几何体的正视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体的形状．
解答：解：∵几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，
∴该几何体是一个柱体，
∵俯视图是一个正方形，
∴该几何体是一个长方体．
故选：D．
点评：本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为长方形，该几何体一定是柱体，底面由第三个视图的形状决定．
6．（3分）（2015•柳江县二模）某地为了缓解旱情进行了一场人工降雨，现测得6个面积相等区域的降雨量如下表所示：
区域 1 2 3 4 5 6
降雨量（mm） 14 12 13 13 17 15
则这6个区域降雨量的众数和平均数分别为（）
A． 13，13.8 B． 14，15 C． 13，14 D． 14，14.5
考点：众数；加权平均数．
分析：根据众数的定义即众数是指一组数据中出现次数最多的数据，平均数即把6个数据相加，再除以6即可求得．
解答：解：数据13出现了2次，出现的次数最多，则众数是13（mm）；
平均降水量=（14+12+13+13+17+15）=14（mm）．
则这6个区域降雨量的众数和平均数分别为13，14；
故选C．
点评：主要考查了众数和平均数，注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．
7．（3分）（2015•房山区一模）小强骑自行车去郊游，9时出发，15时返回．右图表示他距家的距离y（千米）与相应的时刻x（时）之间的函数关系的图象．根据这个图象，小强14时距家的距离是（）
A． 13 B． 14 C． 15 D． 16
考点：函数的图象．
分析：根据函数图象的纵坐标，可得返回时离家的距离，根据函数图象的横坐标，可得返回时所用的时间，根据路程与时间的关系，可得速度，再根据速度与时间的关系，可得路程．
解答：解：由纵坐标看出，返回时离家的距离是30千米，
由横坐标看出，返回时所用的时间是15﹣13=2小时，
由路程与时间的关系，得
返回时的速度是30÷2=15千米，
由时间、速度的关系得15×1=15千米，
故选：C．
点评：本题考查了函数图象，观察函数图象获得有效信息是解题关键，利用了时间、速度、路程的关系．
8．（3分）（2015•房山区一模）如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，∠BOC=70°，则∠D等于（）
A． 25° B． 35° C． 55° D． 70°
考点：圆周角定理．
分析：由AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，∠BOC=70°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．即可求得答案．解答：解：∵∠BOC=70°，
∴∠D=∠BOC=35°．
故选B．
点评：此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
9．（3分）（2015•鱼峰区二模）如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB．已知观测点C到旗杆的距离CE=8m，测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA=30°，旗杆底部B的俯角∠ECB=45°，那么，旗杆AB的高度是（）
A．（+8）M B．（8+8）M C．（8+）M D．（8+）M
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：利用∠ECA的正切值可求得AE；利用∠ECB的正切值可求得BE，有AB=AE+BE．解答：解：解：在△EBC中，有BE=EC×tan45°=8，
在△AEC中，有AE=EC×tan30°=，
∴AB=8+（米）．
故选D．
点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣﹣俯角、仰角问题，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．
10．（3分）（2015•房山区一模）如图，已知抛物线y=x2+2x﹣3，把此抛物线沿y轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线与经过点（﹣2，0），（2，0）且平行于y轴的两条直线所围成的阴影部分的面积为s，平移的距离为m，则下列图象中，能表示s与m的函数关系的图象大致是（）
A． B． C． D．
考点：动点问题的函数图象；二次函数图象与几何变换．
分析：根据图形平移后面积不变的性质，可把不规则阴影部分的面积转化为规则图形（矩形）即可判断．
解答：解：如图，我们把抛物线沿y轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线及直线x=2，x=﹣2所围成的阴影部分的面积S可以看做和矩形BB′C′C等积，于是可以看出S与m 是正比例函数关系
故选：B．
点评：本题主要考查了函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，因此可把平移后不规则图形转化为规则图形解决问题．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．（3分）（2014•本溪）因式分解：a3﹣4a= a（a+2）（a﹣2）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
专题：因式分解．
分析：首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
解答：解：a3﹣4a=a（a2﹣4）=a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：a（a+2）（a﹣2）．
点评：此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．
12．（3分）（2015•房山区一模）把代数式x2﹣4x+1化成（x﹣h）2+k的形式，其结果是（x﹣2）2﹣3 ．
考点：配方法的应用．
分析：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
解答：解：x2﹣4x+1
=x2﹣4x+22+1﹣22
=（x﹣2）2﹣3．
故答案是：=（x﹣2）2﹣3．
点评：本题考查了配方法的应用．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
13．（3分）（2015•房山区一模）请写出一个y随x的增大而增大的反比例函数的表达式：
y=﹣（x＞0）（答案不唯一）．
考点：反比例函数的性质．
专题：开放型．
分析：反比例函数的图象在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则反比例函数的反比例系数k＜0；反之，只要k＜0，则反比例函数在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．
解答：解：只要使反比例系数小于0即可．如y=﹣（x＞0），答案不唯一．
故答案为：y=﹣（x＞0）（答案不唯一）．
点评：本题主要考查了反比例函数y=（k≠0）的性质：
①k＞0时，函数图象在第一，三象限．在每个象限内y随x的增大而减小；
②k＜0时，函数图象在第二，四象限．在每个象限内y随x的增大而增大．
14．（3分）（2015•房山区一模）甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次．已知他们的平均成绩相同，方差分别是，，那么甲、乙两人成绩较为稳定的是甲．
考点：方差．
分析：根据方差的意义可作出判断；方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．解答：解：∵他们的平均成绩相同，方差分别是，，
∴S甲2＜S乙2，
∴成绩较稳定的同学是甲．
故答案为：甲．
点评：本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
15．（3分）（2015•房山区一模）随着北京公交票制票价调整，公交集团更换了新版公交站牌，乘客在乘车时可以通过新版公交站牌计算乘车费用．新版站牌每一个站名上方都有一个对应的数字，将上下车站站名所对应数字相减取绝对值就是乘车路程，再按照其所在计价区段，参照票制规则计算票价．具体来说：
乘车路程计价区段 0﹣10 11﹣15 16﹣20 …
对应票价（元） 2 3 4 …
另外，一卡通普通卡刷卡实行5折优惠，学生卡刷卡实行2.5折优惠．
小明用学生卡乘车，上车时站名上对应的数字是5，下车时站名上对应的数字是22，那么，小明乘车的费用是 1 元．
考点：有理数的混合运算．
分析：首先用下车时站名上对应的数字减去上车时站名上对应的数字，求出小明乘车的
路程是多少，进而求出相应的票价是多少；然后用它乘以0.25，求出小明乘车的费用是多少元即可．
解答：解：因为小明乘车的路程是：22﹣5=17，
所以小明乘车的费用是：
4×0.25=1（元）．
答：小明乘车的费用是1元．
故答案为：1．
点评：此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，解答此题的关键是求出小明乘车的路程、相应的票价是多少．16．（3分）（2015•房山区一模）如图，在平面直角坐标系中放置了5个正方形，点B1（0，2）在y轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3在x轴上，C1的坐标是（1，0），B1C1
∥B2C2∥B3C3．则点A1到x轴的距离是 3 ，点A2到x轴的距离是，点A3到x轴的距离是．
考点：正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质．
专题：规律型．
分析：根据勾股定理可得正方形A1B1C1D1的边长为，根据相似三角形的性
质可得后面正方形的边长依次是前面正方形边长的，依次得到第1、2、3个正方形和第1、2、3个正方形的边长，进一步得到点A1、A2、A3到x轴的距离．
解答：解：如图，∵点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，B1C1∥B2C2∥B3C3，∴△B1OC1∽△B2E2C2∽B3E4C3…，△B1OC1≌△C1E1D1，…，
∴B2E2=1，B3E4=，B4E6=，B5E8=，
作A1E⊥x轴，延长A1D1交x轴于F，
则△C1D1F∽△C1D1E1，
∴，
在Rt△OB1C1中，OB1=2，OC1=1，
正方形A1B1C1D1的边长为，
∴D1F=，
∴A1F=，
∵A1E∥D1E1，
∴，
∴A1E=3，
∴点A2到x轴的距离是，点A3到x轴的距离是；
故答案为：3；；．
点评：此题主要考查了正方形的性质以及解直角三角形的知识，得出正方形各边长是解题关键．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
17．（5分）（2015•房山区一模）计算：．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
专题：计算题．
分析：原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负指数幂法则计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．
解答：解：原式=2﹣2+3+1
=4．
点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（5分）（2015•房山区一模）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
专题：计算题．
分析：根据一元一次不等式的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解．
解答：解：去分母得，6﹣3（x﹣2）≤2（x+1），
去括号得，6﹣3x+6≤2x+2，
移项得，﹣3x﹣2x≤2﹣6﹣6，
合并同类项得，﹣5x≤﹣10，
系数化为1得，x≥2．
在数轴上表示如下：
点评：本题考查了一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
19．（5分）（2012•武汉）如图，CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB．
考点：全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：求出∠DCE=∠ACB，根据SAS证△DCE≌△ACB，根据全等三角形的性质即可推出答案．
解答：证明：∵∠DCA=∠ECB，
∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE，
∴∠DCE=∠ACB，
∵在△DCE和△ACB中
，
∴△DCE≌△ACB，
∴DE=AB．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生能否运用全等三角形的性质和判定进行推理，题目比较典型，难度适中．
20．（5分）（2015•房山区一模）已知x2+2x﹣8=0，求代数式的值．
考点：分式的化简求值．
分析：首先将原式分母分解因式进而利用分式除法运算法则化简，进而求出即可．
解答：解：原式=×﹣，
=﹣，
=﹣，
=﹣，
=﹣，
∵x2+2x﹣8=0，
∴x2+2x=8，
∴原式=﹣．
点评：此题主要考查了分式的化简求值，正确分解因式是解题关键．
21．（5分）（2015•房山区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k ≠0）的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数（m≠0）的图象在第一象
限内交于点M，若△OBM的面积是2．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点P是x轴上一点，且满足△AMP是以AM为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：（1）根据一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）可得到关于b、k的方程组，进而可得到一次函数的解析式，设M（p，q）作MD⊥x轴于点D，由△OBM的面
积为2可求出q的值，将M（p，4）代入y=2x﹣2求出p的值，由M（3，4）在双曲线（m ≠0）上即可求出m的值，进而求出其反比例函数的解析式；
（2）作MD⊥x轴于D，分两种情况：①过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，由MD ⊥BP可求出∠PMD=∠MBD=∠ABO，再由锐角三角函数的定义可得出OP的值，进而可得出结论；
②过点A（0，﹣2）作AP⊥AM交x轴于点P，由MD⊥BP可求出∠MBD=∠ABO=∠PAO，再由锐角三角函数的定义可得出OP的值，进而可得出结论．
解答：解：（1）∵直线y=kx+b过A（0，﹣2），B（1，0）两点
∴，
解得：
∴一次函数的表达式为y=2x﹣2，
∴设M（p，q），作MD⊥x轴于点D
∵S△OBM=2，
∴OB•MD=2，
∴q=2，
∴q=4，
∴将M（p，4）代入y=2x﹣2得4=2p﹣2，
∴p=3
∵M（3，4）在双曲线（m≠0）上，
∴4=，
∴m=12，
∴反比例函数的表达式为：y=；
（2）作MD⊥x轴于D，
①如图1，过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，∵MD⊥BP，
∴∠PMD=∠MBD=∠ABO
∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO==2，
∴在Rt△PDM中，=2，
∴PD=2MD=8，
∴OP=OD+PD=11或OP=PD﹣OD=8﹣3=5
∴当PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）．
②如图2，过点A（0，﹣2）作AP⊥AM交x轴于点P，∵MD⊥BP，
∴∠MBD=∠ABO=∠PAO，
∴tan∠PAO=tan∠MBD=tan∠ABO==2，
∴在Rt△POA中，=2，
∴OP=4，
∴当PA⊥AM，此时点P的坐标为（﹣4，0）．
点评：本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到的知识点为用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式、锐角三角函数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键．
22．（5分）（2014•宁德）为了鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费），规定：用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费．以下是张磊家3月和4月所交电费的收据，问该市规定的第一阶梯电价和第二阶梯电价分别为每度多少元？
考点：二元一次方程组的应用．
分析：设第一阶梯电价每度x元，第二阶梯电价每度y元，分别根据3月份和4月份的电费收据，列出方程组，求出x和y值．
解答：解：设第一阶梯电价每度x元，第二阶梯电价每度y元，
由题意可得，，
解得．
答：第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯电价每度0.6元．
点评：本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23．（5分）（2015•房山区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若AB=4，CF=1，∠ABC=60°，求sin∠DEO的值．
考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
分析：（1）由四边形ABCD是菱形，可得AD∥BC，OA=OC，OB=OD，即可证得∠AEO=∠CFO，继而证得△AOE≌△COF，则可得OE=OF，即可判定四边形BFDE是平行四边形；
（2）首先由在菱形ABCD中，∠ABC=60°，证得△ABC，△ADC为等边三角形，然后过点M作OM⊥AD于M，然后利用三角函数与勾股定理，求得OM与OE的长，则可求得答案．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，OA=OC，OB=OD，
∴∠AEO=∠CFO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形BFDE是平行四边形；
（2）∵菱形ABCD，∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，AB=BC=AD=CD=4，∠ADO=∠CDO=30°，
∴△ABC，△ADC为等边三角形，
∴AO=AD=2，∠OAD=60°，
∴OD==2，
过点M作OM⊥AD于M，
∴OM=OA•sin60°=，
∴AM=OA•cos60°=1，
∵△AOE≌△COF，
∴AE=CF=1，
∴EM=AE+AM=2，
∴OE==，
在Rt△EOM中，sin∠DEO===．
点评：此题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
24．（5分）（2015•房山区一模）某校开展“人人读书”活动．小明为调查同学们的阅读兴趣，抽样调查了40名学生在本校图书馆的借阅情况（每人每次只能借阅一本图书），绘制了统计图1．并根据图书馆各类图书所占比例情况绘制了统计图2，已知综合类图书有40本．校图书馆各类图书所占比例统计图各类图书借阅人次分布统计图
（1）补全统计图1；
（2）该校图书馆共有图书800 本；
（3）若该校共有学生1000人，试估算，借阅文学类图书的有350 人．。