湖南省名校2025届高三下学期联考数学试题含解析

湖南省名校2025届高三下学期联考数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2
x ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦
恒成立，则a 的最小值是 （ ）
A ．0
B ．2-
C ．52
-
D ．3-
2．设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =--.若对任意(,]x m ∈-∞，都有40
()9
f x ≤
，则m 的取值范围是（ ）. A ．9,4
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．19,
3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
C ．(,7]-∞
D ．23,
3⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦
3．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为4
3
时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）
A ．
4π3
B 82
C ．
32π3
D 642
4．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A ．
12
B ．1
3
C ．
23
D ．
56
5．M 是抛物线2
4y x =上一点，N 是圆()()2
2
121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最
小值是（ ） A ．
1112
- B ．31- C ．221-
D ．
32
6．设集合{}
12M x x =<≤，{}
N x x a =<，若M N M ⋂=，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞
B ．(],1-∞
C ．()2,+∞
D ．[)2,+∞
7． “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（ ）
A ．
165
B ．
325
C ．10
D ．
185
8．已知实数,x y 满足约束条件30202x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则3z x y =+的最小值为（ ）
A ．-5
B ．2
C ．7
D ．11
9．集合*
12|x N Z x ⎧⎫
∈∈⎨⎬⎩
⎭
中含有的元素个数为（ ） A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
10．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知函数()1
2x f x e -=，()ln 12
x
g x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ） A ．0 B ．4
C ．132e -
D ．5+ln 6
2
12．复数432
i
z i +=-的虚部为（ ） A ．2i
B ．2i -
C ．2
D ．2-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知曲线2222
:1(0)2x y Q x a a -=>，点A ，B 在曲线Q 上，且以AB 为直径的圆的方程是22
(2)(1)1x y -+-=．则a =_______．
14．已知,i j 是夹角为90︒的两个单位向量，若=+a i j ，b j =，则a 与b 的夹角为______.
15．如图，从一个边长为12的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边形，余下部分再以虚线为折痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底，则所得正三棱柱的体积为______.
16．某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x- y 的值为________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.
18．（12分）已知在多面体ABCDEF 中，平面CDFE ⊥平面ABCD ，且四边形ECDF 为正方形，且DC //AB ，
36AB DC ==，5AD BC ==，点P ，Q 分别是BE ，AD 的中点.
（1）求证：//PQ 平面FECD ；
（2）求平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值.
19．（12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且(sin sin )()sin sin A B a b b C c C +-+=. （1）求A ；
（2）若2b c =，点D 为边BC 的中点，且7AD =ABC ∆的面积.
20．（12分）已知函数1()lnx
f x x
+=
（1）若1
()f x ax x
<+恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）若方程()f x m =有两个不同实根1x ，2x ，证明：122x x +>．
21．（12分）如图1，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，60BCD ∠=︒，23AB =3BC =，E 为线段CD 上一点，满足BC CE =，F 为BE 的中点，现将梯形沿BE 折叠（如图2），使平面BCE ⊥平面ABED .
（1）求证：平面ACE ⊥平面BCE ；
（2）能否在线段AB 上找到一点P （端点除外）使得直线AC 与平面PCF 所成角的正弦值为3
4
？若存在，试确定点P 的位置；若不存在，请说明理由.
22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线2
2
12:C x y -=，曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y θ
θ=+⎧⎨
=⎩
（θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线1C 、2C 的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，射线．．
6
π
θ=与曲线1C ，2C 分别交于A 、B 两点（异于极点O ），定点(3,0)M ，求MAB ∆的面
积
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
试题分析：将参数a 与变量x 分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论． 解：不等式x 2+ax+1≥0对一切x ∈(0，
12]成立，等价于a≥-x-1x 对于一切10,2x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
成立， ∵y=-x-
1x 在区间10,2⎛⎤
⎥⎝⎦
上是增函数
∴115
222
x x --≤--=-
∴a≥-
52
∴a 的最小值为-
5
2
故答案为C ． 考点：不等式的应用
点评：本题综合考查了不等式的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题 2、B 【解析】
求出()f x 在(2,22]x n n ∈+的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案. 【详解】
当(2,22]x n n ∈+时，2(0,2]x n -∈，()2(2)2(2)(22)n n
f x f x n x n x n =-=----，
max ()2n f x =，又40
489
<
<，所以m 至少小于7，此时3()2(6)(8)f x x x =---， 令40()9f x =，得3
402(6)(8)9x x ---=，解得193x =或233x =，结合图象，故193m ≤
. 故选：B. 【点睛】
本题考查不等式恒成立求参数的范围，考查学生数形结合的思想，是一道中档题. 3、B 【解析】
利用均值不等式可得()1122211211
3333
B AC
C A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=,即可求得AB ,进而求得外接球的半径,即可求解.
【详解】
由题意易得BC ⊥平面11ACC A , 所以()1122211211
3333
B AC
C A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=
⋅⋅=⋅≤+=, 当且仅当AC BC =时等号成立, 又阳马11B ACC A -体积的最大值为4
3
, 所以2AB =,
所以堑堵111ABC A B C -的外接球的半径22
1222AA AB R ⎛⎫⎛⎫=+=
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭, 所以外接球的体积348233
V r ππ==, 故选:B 【点睛】
本题以中国传统文化为背景,考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用,体现了数学运算、直观想象等核心素养. 4、C 【解析】
根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积. 【详解】
根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：
由图可知，该几何体是在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中截去四棱锥1B ABCD -所形成的几何体， 该几何体的体积为3
2
1
21113
3
V =-⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题. 5、C 【解析】
求出点()1,2关于直线10x y --=的对称点C 的坐标，进而可得出圆()()2
2
121x y -+-=关于直线10x y --=的
对称圆C 的方程，利用二次函数的基本性质求出MC 的最小值，由此可得出min min 1MN MC =-，即可得解. 【详解】 如下图所示：
设点()1,2关于直线10x y --=的对称点为点(),C a b ，
则12
1022
211
a b b a ++⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，整理得3030a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得30a b =⎧⎨=⎩，即点()3,0C ，
所以，圆()()2
2
121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆C 的方程为()2
231x y -+=，
设点2,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()
2
24222213948416216y y y MC y y ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭
当2y =±时，MC 取最小值22min min 1221MN MC =-=. 故选：C. 【点睛】
本题考查抛物线上一点到圆上一点最值的计算，同时也考查了两圆关于直线对称性的应用，考查计算能力，属于中等
题. 6、C 【解析】
由M N M ⋂=得出M N ⊆，利用集合的包含关系可得出实数a 的取值范围. 【详解】
{}12M x x =<≤，{}N x x a =<且M N M ⋂=，M N ∴⊆，2a ∴>.
因此，实数a 的取值范围是()2,+∞. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题. 7、D 【解析】
直接根据几何概型公式计算得到答案. 【详解】
根据几何概型：809200S p ==，故185
S =. 故选：D . 【点睛】
本题考查了根据几何概型求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力. 8、A 【解析】
根据约束条件画出可行域，再将目标函数化成斜截式，找到截距的最小值. 【详解】
由约束条件30
202x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，画出可行域ABC 如图
3z x y =+变为3y x z =-+为斜率为-3的一簇平行线，z 为在y 轴的截距， ∴z 最小的时候为过C 点的时候，
解3020x y x y -+=⎧⎨+=⎩得21
x y =-⎧⎨=⎩所以()2,1C -， 此时()33215z x y =+=⨯-+=-
故选A 项
【点睛】
本题考查线性规划求一次相加的目标函数，属于常规题型，是简单题. 9、B 【解析】 解：因为*
12|x N Z x ⎧⎫
∈∈⎨⎬⎩
⎭
集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B 10、C 【解析】
利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可． 【详解】
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高
分，平均成绩为低于
分，①错误；
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间
内，②正确；
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确； ④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确． 故选：C ． 【点睛】
本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题． 11、A 【解析】
令()()f m g n t ==，进而求得122ln 2t n m e t --=--，再转化为函数的最值问题即可求解. 【详解】
∵()()f m g n t ==∴12
ln
12
m
n
e t -=+=（0t >）
，∴122ln 2t n m e t --=--， 令：()1
22ln 2t h t e
t -=--，()12
2t h t e t
-'=-，()h t '在()0,∞+上增，
且()10h '=，所以()h t 在()0,1上减，在()1,+∞上增，
所以()()min 1220h t h ==-=，所以n m -的最小值为0.故选：A 【点睛】
本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用，考查了转化的数学思想，恰当的用一个未知数来表示n 和m 是本题的关键，属于中档题. 12、D 【解析】
根据复数的除法运算，化简出z ，即可得出虚部. 【详解】
解：432i z i +=
-=()()()()
43251012225i i i
i i i +++==---+-， 故虚部为-2. 故选：D. 【点睛】
本题考查复数的除法运算和复数的概念.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13
、±
【解析】
设AB 所在直线方程为:1(2)AB l y k x -=-设A ､B 点坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，都在Q 上，代入曲线方程，两式作差可得
12121212114
1222
y y x x x x y y -+==⨯=-+，从而可得直线的斜率，联立直线AB 与Q 的方程，由||2AB =，利用
弦长公式即可求解. 【详解】
因为AB 是圆的直径，必过圆心(2,1)点， 设AB 所在直线方程为:1(2)AB l y k x -=-
设A ､B 点坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，都在Q 上，
故22
1122
22
2222
1212x y a a x y a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相减， 可得
()()()()121212122
2
2x x x x y y y y a a -+-+=
12121212114
1222
y y x x x x y y -+⇒
==⨯=-+
(因为(2,1)是AB 的中点)，即1k = 联立直线AB 与Q 的方程：
222
2
22142201
2y x x x a x y a
a =-⎧⎪⇒-++=⎨-=⎪⎩ 又||2AB =，即2
|4|AB =，即
()
()2
2
12124x x y y -+-=
又因为1212y y x x -=-，
则有()()22
1212124224x x x x x x ⎡⎤=-=+-⎣⎦
()22
24422a ⎡⎤=-+⎣⎦
即2882a -=
∴2
a =±
.
故答案为： 【点睛】
本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系、弦长公式，考查了学生的计算能力，综合性比较强，属于中档题. 14、45︒ 【解析】
依题意可得0i j =，再根据()
2
22
2a i j i i j j =+=++求模，()
2
a b i j j i j j ⋅=+=+求数量积，最后根据夹
角公式计算可得；
解：因为,i j 是夹角为90︒的两个单位向量 所以0i j =， 又=+a i j ，b j = 所以(
)
2
22
22212012a i j
i i j j =
+=++=+⨯+=，1b j ==，()
2
1a b i j j i j j ⋅=+=+=
所以12
cos ,2
21a b a b a b
⋅=
=
=⨯， 因为0,180a b ≤≤所以cos ,45a b =︒； 故答案为：45︒ 【点睛】
本题考查平面向量的数量积的运算律，以及夹角的计算，属于基础题. 15、1 【解析】
由题意得正三棱柱底面边长6，高为3，由此能求出所得正三棱柱的体积． 【详解】
如图，作AO BC ⊥，交BC 于O ，2212663AO =-=， 由题意得正三棱柱底面边长6EF =，高为3h =
，
∴所得正三棱柱的体积为：
1
66sin 603272
DEF V S h ∆=⋅=⨯⨯⨯︒⨯=．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查立体几何中的翻折问题、正三棱柱体积的求法、三棱柱的结构特征等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意翻折前后的不变量．
【解析】
根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x 、y 的值. 【详解】
根据茎叶图中的数据，得：
甲班5名同学成绩的平均数为1(7277808690)815
x ⨯+++++=， 解得0x =；
又乙班5名同学的中位数为73，则3y =；
033x y -=-=-.
故答案为：3-. 【点睛】
本题考查茎叶图及根据茎叶图计算中位数、平均数，考查数据分析能力，属于简单题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）3(1,2,)n a n n ==，132(1,2,)n n b n n -=+=；（2）3(1)212
n
n n ++-
【解析】
试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n 项和公式即可求得数列{}n b 前n 项和． 试题解析：
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d ，由题意得 d=
=
= 1．∴a n =a 1+（n ﹣1）d=1n
设等比数列{bn ﹣an}的公比为q ，则 q 1=
=
=8，∴q=2，
∴b n ﹣a n =（b 1﹣a 1）q n ﹣1=2n ﹣1， ∴bn=1n+2n ﹣1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n =1n+2n ﹣1， ∵数列{1n}的前n 项和为n （n+1），
数列{2n ﹣1}的前n 项和为1×= 2n ﹣1，
∴数列{bn}的前n 项和为；
考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；1.数列求和． 18、（1）证明见解析；（2）17
25
. 【解析】
（1）构造直线PQ 所在平面PHQ ，由面面平行推证线面平行；
（2）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再由法向量之间的夹角，求得二面角的余弦值. 【详解】
（1）过点PH BC ⊥交BC 于H 点，连接QH ，如下图所示：
因为平面CDFE ⊥平面ABCD ，且交线为CD , 又四边形CDFE 为正方形，故可得CE CD ⊥， 故可得CE ⊥平面ABCD ，又CB ⊂平面ABCD ， 故可得CE CB ⊥.
在三角形CBE 中，因为P 为BE 中点，,PH CB CE CB ⊥⊥， 故可得PH //CE ，H 为CB 中点；
又因为四边形ABCD 为等腰梯形，,H Q 是,CB AD 的中点， 故可得HQ //CD ；
又,PH HQ H CD CE C ⋂=⋂=，
且,PH HQ ⊂平面PHQ ，,CD CE ⊂平面DFEC , 故面//PHQ 面EFDC ， 又因为PQ ⊂平面PHQ ， 故//PQ 面FECD .即证.
（2）连接AE ，AC ，作DM AB ⊥交AB 于M 点，
由（1）可知CE ⊥平面ABCD ，又因为DF //CE ，故可得DF ⊥平面ABCD ， 则,DF DM DF DC ⊥⊥；
又因为AB //CD ，DM AB ⊥，故可得DM DC ⊥ 即DM ，DC ，DF 两两垂直，
则分别以DM ，DC ，DF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，
则22225221DM AD AM -=-=
(0,0,0)D ，(0,0,2)F ，(0,2,2)E ，
21,2,0)A -，21P ⎫
⎪⎪⎝⎭
，(0,2,0)C
设面AEF 的法向量为(),,m x y z =，则FE (0,2,0)=，AF (21,2,2)=-，
则00m FE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩2021220y x y z =⎧⎪⇒⎨++=⎪
⎩， 可取m 21)=，
设平面PDC 的法向量为n (,,)x y z =，则DC (0,2,0)=，DP 21⎫
=⎪⎪⎝⎭
， 则00n DC n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩2021302
y x y z =⎧
⇒++=⎪⎩，
可取n (2,0,21)=，
可知平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值为
2222117221
25
n m cos n m
θ⋅⨯-=
=
=
+. 【点睛】
本题考查由面面平行推证线面平行，涉及用向量法求二面角的大小，属综合基础题.
19、（1）3
A π
=；（2）ABC S ∆=【解析】
(1)利用正弦定理边化角,再利用余弦定理求解即可.
(2) 为AD 为ABC ∆的中线,所以2AD AB AC =+再平方后利用向量的数量积公式进行求解,再代入2b c =可解得
2,4c b ==,再代入面积公式求解即可.
【详解】
（1）由(sin sin )()sin sin A B a b b C c C +-+=, 可得222a b bc c -+=,
由余弦定理可得2221
cos 22
b c a A bc +-=
=, 故3
A π
=
.
（2）因为AD 为ABC ∆的中线,所以2AD AB AC =+, 两边同时平方可得2
2
2
42||||cos AD AB AC AB AC A =++⋅, 故2228c b bc =++. 因为2b c =,所以2,4c b ==.
所以ABC ∆的面积1
sin 2
ABC S bc A ∆==. 【点睛】
本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题,同时也考查了向量在解三角形中的运用,属于中档题. 20、（1）1
(,)2e
+∞（2）详见解析 【解析】
（1）将原不等式转化为2
ln x a x >
，构造函数2ln ()x
g x x =，求得()g x 的最大值即可；
（2）首先通过求导判断()f x 的单调区间，考查两根的取值范围，再构造函数()()(2)h x f x f x =--，将问题转化为证明()0h x <，探究()h x 在区间内的最大值即可得证．
【详解】
解：（1）由1
()f x ax x <+，即
ln x ax x
<， 即2ln x
a x
>
， 令2
ln (),(0)x
g x x x =
>，则只需max ()a g x >，
3
12ln ()x
g x x
'-=，令()0g x '=，得x =
()g x ∴在上单调递增，在)+∞上单调递减，
max 1()2g x g e
∴==
， a ∴的取值范围是1
(
,)2e
+∞； （2）证明：不妨设'
122ln ,()x
x x f x x
<=-
， ∴当(0,1)x ∈时，'()0,()f x f x >单调递增，
当(1,)x ∈+∞时，'
()0,()f x f x <单调递减，
1(1)1,0f f e ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，当x →+∞时，()0f x →，
121
0m 1,1x x e
∴<<<<<，
要证122x x +>，即证212x x >-， 由211,
21,
()x x f x >->在(1,)+∞上单调递增，
只需证明()()212f x f x <-，
由()()12f x f x =，只需证明()()112f x f x <-， 令()()(2)h x f x f x =--，(0,1)x ∈， 只需证明()0h x <，
易知22
ln ln(2)
(1)0,()()(2)(2)x x h h x f x f x x x '
'
'
-==+-=-
--，
由(0,1)x ∈，故22ln 0,(2)x x x -><-，
22
ln ln(2)ln[(2)]
()0(2)(2)
x x x x h x x x '-----∴>
=>--， 从而()h x 在(0,1)上单调递增，
由(1)0h =，故当(0,1)x ∈时，()0h x <， 故122x x +>，证毕． 【点睛】
本题考查利用导数研究函数单调性，最值等，关键是要对问题进行转化，比如把恒成立问题转化为最值问题，把根的个数问题转化为图像的交点个数，进而转化为证明不等式的问题，属难题．
21、（1）证明见解析；（2）存在点P 是线段AB 的中点，使得直线AC 与平面PCF 【解析】
（1）在直角梯形ABCD 中，根据3BE BC ==，60BCD ∠=︒，得BCE ∆为等边三角形，再由余弦定理求得AE ，满足222AE BE AB +=，得到AE BE ⊥，再根据平面BCE ⊥平面ABED ，利用面面垂直的性质定理证明.
（2）建立空间直角坐标系：假设在AB 上存在一点P 使直线AC 与平面PCF 所成角的正弦值为
4
，且AP AB λ=，
()0,1λ∈，求得平面PCF 的一个法向量，再利用线面角公式
cos ,CA n =
=
求解. 【详解】
（1）证明：在直角梯形ABCD 中，3BE BC ==，60BCD ∠=︒，
因此BCE ∆为等边三角形，从而3BE =，又AB =
由余弦定理得：212923cos303AE =+-⨯︒=，
∴222AE BE AB +=，即AE BE ⊥，且折叠后AE 与BE 位置关系不变， 又∵平面BCE ⊥平面ABED ，且平面BCE 平面ABED BE =.
∴AE ⊥平面BCE ，∵AE ⊂平面ACE ， ∴平面ACE ⊥平面BCE .
（2）∵BCE ∆为等边三角形，F 为BE 的中点，
∴CF BE ⊥，又∵平面BCE ⊥平面ABED ，且平面BCE
平面ABED BE =，
∴CF ⊥平面ABED ，
取AB 的中点G ，连结FG ，则//FG AE ，从而FG BE ⊥，以F 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系：
则33,,02A ⎫-⎪⎭，33C ⎛ ⎝⎭，则3333,,2CA ⎛=- ⎭
， 假设在AB 上存在一点P 使直线AC 与平面PCF 3
AP AB λ=，()0,1λ∈， ∵30,,02
B ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，∴()
3,3,0AB =-，故()
3,3,0AP λλ=-，
∴)()33331,
21,22CP CA AP λλ=+=⎛--- ⎭，又330,0,2FC ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝
⎭， 该平面PCF 的法向量为(),,n x y z =，
)()333
3121002033
0x y z n CP n FC z λλ⎧-+-=⎪⎧⋅=⎪⇒⎨
⎨⋅=⎩⎪=⎪， 令()21y λ=-得()()(
)
321,21,0n λλ=--，
∴()()
2
2
3
2332141cos ,CA n λλ=
⋅-+-=
，
解得12λ=或76
λ=（舍），
综上可知，存在点P 是线段AB 的中点，使得直线AC 与平面PCF 【点睛】
本题主要考查面面垂直的性质定理和向量法研究线面角问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
22、（1）22221:cos sin 2C ρθρθ-=，2:4cos C ρθ=；（2）32
. 【解析】
（1）先把参数方程化成普通方程，再利用极坐标的公式把普通方程化成极坐标方程；
（2）先利用极坐标求出弦长AB ，再求高，最后求MAB ∆的面积．
【详解】
（1）曲线1C 的极坐标方程为：2222cos sin 2ρθρθ-= ，
因为曲线2C 的普通方程为：()2
224x y -+= ，2240.x y x ∴+-= ∴曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=；
（2） 由（1）得：点A 的极坐标为2,6π⎛
⎫ ⎪⎝⎭， 点B 的极坐标为6π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，
∴22AB =-=，
()3,0M 点到射线()06π
θρ=≥的距离为33sin 62
d π
==
∴MAB ∆的面积为 ()
1132222AB d ⋅=⨯⨯=. 【点睛】
本题考查普通方程、参数方程与极坐标方程之间的互化，同时也考查了利用极坐标方程求解面积问题，考查计算能力，属于中等题.。