江苏省海州高级中学2024届高三第三次月考数学卷 学生版

2023－2024学年江苏省海州高级中学高三年级12月份阶段测试
数学试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的四个选项，只有一项符合题目要求）1.设M ={x |43x k =-，k ∈Z }，N ={x |21x k =-，k ∈Z }，则（）A .M N ⊆B .N M ⊆C .M N =D .M N ⋂=∅2.已知25i
1i
z -=-，则z 的虚部为（）
A .3
i 2
-B .
32
C .32
-
D .
3i 2
3.已知p 2>
，q ：0m x -<，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（
）
A .3
m <B .3
m >C .5
m <D .5
m >4.已知圆锥的母线长为
，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（）
A .
B .
2
2
C .
D .
32
5.某一物质在特殊环境下的温度变化满足：0
10
12ln
w w T w w -=--（T 为时间，单位为min ，0w 为特殊环
境温度，1w 为该物质在特殊环境下的初始温度，w 为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100°C ，特殊环境温度是20°C ，则经过12min ，该物质的温度最接近（）（参考数
据：e 2.72≈）A .48°C B .50°C C .52°C D .54°C 6.已知3log 2a =，1
sin 2
b =，0.5e
c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）
A .c a b >>
B .c b a
>>C .b c a
>>D .b a c >>7.已知β∈（0，2
π
），且3sin sin(2)αβα=-，则tan α的最大值为（）
A .4-
B .
4
C .4
-
D .
4
8.已知点12,F F 是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左右焦点，
点M 为椭圆E 上一点，点1F 关于12F MF ∠平分线的对称点N 也在椭圆E 上，若127
cos 8
F MF ∠=，则椭圆E 的离心率为（）
A.
33
B.
39 C.
105 D.
1025
二、多选选择题（本题共4小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9.设等差数列{a n }的前n 项和为n S ，公差为d ，若130a =，1219S S =，则（）
A .2
d =-B .15
n S S ≤C .150
a =D .300
S =10.已知圆C ：22(2)1x y -+=，点P 是直线l ：0x y +=上一动点，过点P 作直线PA 、PB 分别与圆C 相切于点A 、B ，则（
）
A .圆C 上恰有一个点到l 的距离为1
2B .直线AB 恒过定点（
32，12
-）C .|AB |D .四边形ACBP 面积的最小值为2
11.若x ，y 满足223x y xy +-=，则下列正确的是（）
A .2
x y +≤B .x y +≥-C .226
x y +≤D .224
x y +≥12.对于函数f （x ）1
sin sin22
x x =+，则下列结论正确的是（）
A .2π是f （x ）的一个周期
B .f （x ）在[0，2π]上有3个零点
C .f （x ）的最大值为
334
D .f （x ）在[0，
π
2
]上是增函数三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
13.已知a =
（1，0），b = （0
），则a b + 与a 的夹角为______.14.已知直线3x y b +=是函数f （x ）2
ln a x x
=+
在点（1，m ）处的切线，则a b +=__________.15.将正整数数列1，2，3，4，5，…的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表.数表中的第9行所有数字的和为______.
第15题第16题
16.三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题.古希腊数学家Pappus （约300~350前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C 为圆心作圆交角的两边于A ，B 两点；取线段AB 的三等分点O ，D ；以B 为焦点，A ，D 为顶点作双曲线H .双曲线H 与弧AB 的交点记为E ，连接CE ，则13BCE ACB ∠∠=
.①双曲线H 的离心率为________；②若π
2
ACB ∠=，||AC =
CE 交AB 于点P ，则||OP =________.
四、解答题（本题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知函数f （x
）π
)4
x ω=+
，其中x ∈R ，0ω>，函数f （x ）图象上相邻的两条对称轴之间的距离为
π2
.（1）求f （x ）的解析式和单调递增区间；
（2）若将函数f （x ）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移π
4
个单位长度，得到函数g （x ）的图象，求函数h （x ）(sin cos )()x x g x =+⋅在[0，
π
2
]上的最大值.18.（12分）已知等差数列{a n }的公差0d >，且满足11a =，1a ，2a ，4a 成等比数列.（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若数列{b n }满足2
2,1,n a n n n n b n a a
+⎧⎪
=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{b n }的前2n 项的和2n T .
19.（12分）抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中3双是一次性筷子，2双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双（2只都为一次性筷子或都为非一次性筷子），若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：（1）在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；（2）取了3次后，取出的一次性筷子的双数的分布列及数学期望.
20.（12分）如图，在多面体111ABC A B C -中，111////AA BB CC ，1CC ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，112BB CC ==，点M 是BC 的中点，//AM 平面11A BC .
（1）求证：平面11A BC ⊥平面11BB C C ；（2）求二面角11C A B C --的余弦值.
21.（12分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）经过点P （2，1），离心率为
2
.（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点P 作两条互相垂直的弦PA ，PB 分别与椭圆C 交于A ，B .（i ）证明直线AB 过定点；（ii ）求点P 到直线AB 距离的最大值.
22.（12分）已知函数f （x ）22e x x =.（1）求f （x ）的最小值；
（2）若对0x ∀>，0a >，f （x ）(1)ln()2ax ax x ≥+-恒成立，求实数a 的取值范围.。