高考数学一轮复习 简单的三角恒等变换课件
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第六节 简单的三角恒等变换
1.
的值等于
(
)
解析： tan150 tan(75 75 )
2 tan 75 , 1 tan 75
答案：D
2.如果α∈( (α＋ ) ＝
， )且
，那么sin(α＋
)＋cos ( )
解析：∵sinα＝ <α<π，∴cosα＝ sin( ) cos( ) 2 sin( )
所以 tan( )
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝
又0
2
,0
2
, 故0 2
3 , 2
从而由tan(α＋2β)＝－1得
3 2 . 4
1 13 , 且0 , 2.已知cos ,cos( ) 7 14 2
求证: tan 2 x
观察左、右两边式子间的差异，若选择“从左
证到右”，则“切化弦”的方法势在必行；若选择
“从右证到左”，则倍角公式应是必用公式.
【证明】法一：左边
法二：右边
=左边.
3.求证：
证明：左边
=右边. 故原等式成立
从近几年高考试题来看，本节内容主要灵活运用公 式，利用恒等变换进行三角函数的化简与求值，其考查
或具有某种关系.
3.“给值求角”：实质上是转化为“给值求值”，关键也是变 角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值 结合该函数的单调区间求得角.
(2008· 江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中， 以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆 交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为 (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值.
故原式=
1.化简
解：原式
1.“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看 是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关
系.解题时，要利用观察得到的关系，结合三角公式转化
为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.
2.“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一 些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同
故函数f(x)的最大值为
，最小正周期为π.
C 1 1 3 1 (1)由 f ( ) , 即 sin C , 2 4 2 2 4 3 解得 sin C . 2
又C为锐角，所以
由cosB＝
所以β＝
三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条
件恒等式.
1.证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左 右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两 边化异为同.
2.条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证
等式之间的联系，选择适当途径对条件等式进行变形，
直到得到所证等式，或者将欲证等式及条件进行变式， 创造机会代入条件，最终推导出所证等式.
由三角函数的定义可得cosα、cosβ，从而可求得 tanα、tanβ的值，所求问题可以求解.
【解】
(1)由已知条件及三角函数的定义可知，
cos
cos
因α为锐角，故sinα＞0，从而sinα＝ 5 1 同理可得 sin .因此 tan 7, tan . 5 2
.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析： sinθ=
即cosθ
cosθ－sinθ+1<0
3 24 ∴ cosθ= , sin 2 2sin cos . 5 25
答案：
进行三角化简的几种解题思路
1.角的变换：观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少
角的种类，化异角为同角. 2.函数名称的变换：观察、比较题设与结论之间，在等号 左右两边的函数名称的差异，化异名为同名. 3.常数的变换常用方式有：
3 2 2 cos . 5
答案：D
4
4
2
3.已知
则
等于
(
)
解析：
2 2 tan 3.
答案：A
4.已知α、β均为锐角，且 ＝ .
则tan(α＋β)
解析：tan ∵ α、β均为锐角， ∴α+β= 答案：1 tan(α+β)=1.
5.已知 sinθ=
且cosθ－sinθ＋1＜0，则sin2θ＝
3 1 sin cos tan , sin 等. 4 2 3
2 2
4.次数的变化：常用方式是升次或降次；主要公式是二倍 角的余弦公式及其逆向使用. 5.结构变化：对条件、结论的结构进行调整，或重新分组， 或移项，或变除为乘，或求差等.
(1)f(α)＝2tanα－
求f (
的热点是借助三角变换研究三角函数的性质、解三角形
有关的问题.2009年山东卷就考查了这一问题
(2009· 山东高考)设函数f(x)＝cos(2x＋ △ABC的三个内角，若cosB＝ ＝ ，且C为锐角，求sinA.
)＋sin2x.
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期； (2)设A，B，C为
[解] (1) f ( x ) cos 2 x cos
(1)求tan2α的值； (2)求β.
1 , 0 ,得 解：(1)由cosα＝ 7 2
sin
tan
于是tan2α＝
(2)由0<β<α< ∴sin(α－β)＝
，得0<α－β<
.
又∵cos(α－β)＝
由β＝α－(α－β)，得
cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
3
sin 2 x sin
3
1 cos 2 x 2
1 3 1 1 cos 2 x sin 2 x cos 2 x 2 2 2 2 1 3 sin 2 x . 2 2
所以当 2 x
3 2k ，即 x
4
k ( k Z) 时，
f(x)取得最大值，[f(x)]最大值 f(x)的最小正周期
12
);
(2)已知tan2θ 2
2, 2 2 , 求
的值.
要先化简再求值，将所给关系式尽可能化成最简式或化
成含有已知式子的形式，运用整体代入的方法求值.
【解】
(1)f(α)＝2tanα－
(2)原式＝
又tan2θ＝
解得tanθ=
∵π＜2θ＜2π，∴
＜ θ＜ π ，
∴tanθ＝
1.
的值等于
(
)
解析： tan150 tan(75 75 )
2 tan 75 , 1 tan 75
答案：D
2.如果α∈( (α＋ ) ＝
， )且
，那么sin(α＋
)＋cos ( )
解析：∵sinα＝ <α<π，∴cosα＝ sin( ) cos( ) 2 sin( )
所以 tan( )
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝
又0
2
,0
2
, 故0 2
3 , 2
从而由tan(α＋2β)＝－1得
3 2 . 4
1 13 , 且0 , 2.已知cos ,cos( ) 7 14 2
求证: tan 2 x
观察左、右两边式子间的差异，若选择“从左
证到右”，则“切化弦”的方法势在必行；若选择
“从右证到左”，则倍角公式应是必用公式.
【证明】法一：左边
法二：右边
=左边.
3.求证：
证明：左边
=右边. 故原等式成立
从近几年高考试题来看，本节内容主要灵活运用公 式，利用恒等变换进行三角函数的化简与求值，其考查
或具有某种关系.
3.“给值求角”：实质上是转化为“给值求值”，关键也是变 角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值 结合该函数的单调区间求得角.
(2008· 江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中， 以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆 交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为 (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值.
故原式=
1.化简
解：原式
1.“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看 是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关
系.解题时，要利用观察得到的关系，结合三角公式转化
为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.
2.“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一 些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同
故函数f(x)的最大值为
，最小正周期为π.
C 1 1 3 1 (1)由 f ( ) , 即 sin C , 2 4 2 2 4 3 解得 sin C . 2
又C为锐角，所以
由cosB＝
所以β＝
三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条
件恒等式.
1.证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左 右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两 边化异为同.
2.条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证
等式之间的联系，选择适当途径对条件等式进行变形，
直到得到所证等式，或者将欲证等式及条件进行变式， 创造机会代入条件，最终推导出所证等式.
由三角函数的定义可得cosα、cosβ，从而可求得 tanα、tanβ的值，所求问题可以求解.
【解】
(1)由已知条件及三角函数的定义可知，
cos
cos
因α为锐角，故sinα＞0，从而sinα＝ 5 1 同理可得 sin .因此 tan 7, tan . 5 2
.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析： sinθ=
即cosθ
cosθ－sinθ+1<0
3 24 ∴ cosθ= , sin 2 2sin cos . 5 25
答案：
进行三角化简的几种解题思路
1.角的变换：观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少
角的种类，化异角为同角. 2.函数名称的变换：观察、比较题设与结论之间，在等号 左右两边的函数名称的差异，化异名为同名. 3.常数的变换常用方式有：
3 2 2 cos . 5
答案：D
4
4
2
3.已知
则
等于
(
)
解析：
2 2 tan 3.
答案：A
4.已知α、β均为锐角，且 ＝ .
则tan(α＋β)
解析：tan ∵ α、β均为锐角， ∴α+β= 答案：1 tan(α+β)=1.
5.已知 sinθ=
且cosθ－sinθ＋1＜0，则sin2θ＝
3 1 sin cos tan , sin 等. 4 2 3
2 2
4.次数的变化：常用方式是升次或降次；主要公式是二倍 角的余弦公式及其逆向使用. 5.结构变化：对条件、结论的结构进行调整，或重新分组， 或移项，或变除为乘，或求差等.
(1)f(α)＝2tanα－
求f (
的热点是借助三角变换研究三角函数的性质、解三角形
有关的问题.2009年山东卷就考查了这一问题
(2009· 山东高考)设函数f(x)＝cos(2x＋ △ABC的三个内角，若cosB＝ ＝ ，且C为锐角，求sinA.
)＋sin2x.
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期； (2)设A，B，C为
[解] (1) f ( x ) cos 2 x cos
(1)求tan2α的值； (2)求β.
1 , 0 ,得 解：(1)由cosα＝ 7 2
sin
tan
于是tan2α＝
(2)由0<β<α< ∴sin(α－β)＝
，得0<α－β<
.
又∵cos(α－β)＝
由β＝α－(α－β)，得
cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
3
sin 2 x sin
3
1 cos 2 x 2
1 3 1 1 cos 2 x sin 2 x cos 2 x 2 2 2 2 1 3 sin 2 x . 2 2
所以当 2 x
3 2k ，即 x
4
k ( k Z) 时，
f(x)取得最大值，[f(x)]最大值 f(x)的最小正周期
12
);
(2)已知tan2θ 2
2, 2 2 , 求
的值.
要先化简再求值，将所给关系式尽可能化成最简式或化
成含有已知式子的形式，运用整体代入的方法求值.
【解】
(1)f(α)＝2tanα－
(2)原式＝
又tan2θ＝
解得tanθ=
∵π＜2θ＜2π，∴
＜ θ＜ π ，
∴tanθ＝