2-4定积分与微积分基本定理(理)[严选课资]

n f(ξi)·b－n a.
i＝1
(3)定积分bf(x)dx 的值只与被积函数 f(x)及积分区间 a
[a，b]有关，而与积分变量所用的符号无关．
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2．定积分的几何意义 当 f(x)≥0 时，定积分b f(x)dx 的几何意义：表示由
a
直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲 边梯形的面积．当 y<0 时，即曲边梯形在 x 轴的下方时b
n32(i－1)＝nli→m∞
32·n－n 1＝32.
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[点评] 要熟练掌握用定义求定积分的步骤． 你能利用定积分的定义求直线 x＝1，x＝2，y＝0 和 曲线 y＝x3 围成的图形的面积吗？答案：145.
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定积分的几何意义
[例 2] 利用积分的几何意义计算：1 16－x2dx＝ -4
________. 分析：用积分的几何意义计算，关键是弄清被积函数
所对应的几何图形，画好草图．
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解析：由积分的几何意义知：1 16－x2dx 表示以 -4
(0,0)点为圆心，r＝4 为半径的圆在 x 轴上方部分的面
积，所以1 -4
16－x2dx＝12×π×42＝8π.
答案：8π
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kbf(x)dx
(1)b kf(x)dx＝
a
(k 为常数)；
a
(2)b[f1(x)±f2(x)]dx＝
bf1(x)dx±bf2(x)dx
a
a
；
a
bf(x)dx
(3)c f(x)dx＋b f(x)dx＝
a
(其中 a<c<b)
a

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4．微积分基本定理
一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F ′(x)＝f(x)，那么b f(x)dx＝ F(b)－F(a)．这个结论叫
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(3)公式法：套用公式求定积分，避免繁琐的运算， 是求定积分常用的方法．
(4)定义法：用定义求定积分是最基本的求定积分方 法．
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二、解题技巧 1．(1)用定义求定积分的方法：分割、近似代替、求 和、取极限，可借助于求曲边梯形的面积、变力作功等 案例，体会定积分的基本思想方法． (2)用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足 f ′(x)＝f(x)的函数 F(x)，利用求导运算与求原函数运算互 为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的 四则运算法则从反方向上求出 F(x)．
a
f(x)dx 在几何上表示这个曲边梯形面积的相反数．
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一般情况下(如下图)，定积分bf(x)dx 的几何意义是 a
介于 x 轴、函数 f(x)的图象以及直线 x＝a、x＝b 之间各 部分面积的代数和，在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴 下方的面积取负号．
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3．定积分的性质
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利用定义求定积分
[例 1] 用定积分的定义求由 y＝3x，x＝0，x＝1，y ＝0 围成的图形的面积．
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[解析] (1)分割：把区间[0,1]等分成 n 个小区间 i－n 1，ni (i＝1,2，…，n)．其长度为 Δx＝n1，把曲边梯形 分成 n 个小曲边梯形，其面积记为 ΔSi(i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面 积，ΔSi＝fi－n 1Δx＝3·i－n 1·n1＝n32(i－1)，(i＝1,2，…，n)．
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n
n
(3)作和：ΔSi＝
i＝1
i＝1
n32(i－1)＝n32[1＋2＋…＋(n－1)]
＝32·n－n 1.
n
(4)求极限：S＝lim n→∞i＝1
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对定义的几点说明： (1)定积分bf(x)dx 是一个常数．
a
(2)用定义求定积分的一般方法是： ①均匀分割：n 等分区间[a，b]； ②近似代替：取点 ξi∈[xi－1，xi]；
③求和： n f(ξi)·b－n a；
i＝1
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④取极限：bf(x)dx＝li m
a
n→∞
(2010·深圳市调研)曲线 y＝sinx，y＝cosx 与直线 x ＝0，x＝π2所围成的平面区域的面积为( )
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解析：当 x∈[0，π2]时，y＝sinx 与 y＝cosx 的图象的 交点坐标为π4， 22，作图可知曲线 y＝sinx，y＝cosx 与 直线 x＝0，x＝π2所围成的平面区域的面积可分为两部分： 一部分是曲线 y＝sinx，y＝cosx 与直线 x＝0，x＝π4所围
这是一节正式课
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第四节
定积分与微 积分基本定理(理)
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重点难点 重点：了解定积分的概念，能用定义法求简单的定 积分，用微积分基本定理求简单的定积分． 难点：用定义求定积分
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知识归纳
1．定积分的定义
如果函数 f(x) 在区间[a， b]上连续 ，用分点 a＝
x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b，将区间[a，b]等分成 n 个小 区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点 ζi(i＝1,2，…，
a
做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼兹公式．为了
方便，我们常常把 F(b)－F(a)记成 F(x)|ab，
即b
f(x)dx＝F(x)|ab＝
F(b)－F(a)．
a
其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数．
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一、思想方法 (1)数形结合思想：求曲线围成图形的面积，要画出 草图，寻找积分上限和积分下限，以及被积函数的形式． (2)极限的思想：求曲边梯形的面积时，分割，近似 代替，求和，取极限，采用的是以直代曲，无限逼近的 极限思想．
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(3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简， 再积分．
(4)利用定积分求所围成平面图形的面积，要利用数 形结合的方法确定被积函数和积分上下限．
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2.由两条直线 x＝a、x＝b(a＜b)、两条曲线 y＝f(x)、 y＝g(x)(f(x)≥g(x))围成的平面图形的面积：
S＝b[f(x)－g(x)]dx(如下图)． a
n
n
n)，作和式f(ζi)Δx＝
i＝1
i＝1
b－n af(ζi)，当
n→∞时，此和式
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无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]
上
的
定
积
分
，
记
作
b
a
f(x)dx，
即
b
a
n
f(x)dx＝ lim
n→∞ i＝1
b－a n
f(ζi)，这里 a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a， b]叫做积分区间，函数 f(x) 叫做被积函数，x 叫做积分变 量，f(x)dx 叫做被积式．此时称函数 f(x)在区间[a，b]上 可积．