2023年重庆市渝中区巴蜀中学保送生数学试卷

一、填空题（8'×7＝56分）
1．（8分）如图是某建筑物的侧面图形．已知AB建筑物坡度为3：1总长为米．斜坡AC和平台CD形成∠ACD为135°，从E点看D点的仰角为30°，AC斜坡长15米．求DE长度为米．（结果保留根号）
2．（8分）如图，点Q为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处．柱柱同学操控机器人以每秒1个单位长度的速度在图1中给出的线段路径上运行，柱柱同学将机器人运行时间设为t秒，机器人到点A距离设为y，得到函数图象如图2．通过观察函数图象，可以得到下列推断：①该正六边形的边长为1；②当t＝3时，机器人一定位于点Q；③机器人一定经过点D；④机器人一定经过点E；
其中正确的有．
3．（8分）已知如图，矩形纸片ABCD，CD＝3，AD＝8，点E、F分别在AD和BC上，将纸片按照如图所示的方式沿EF折叠，点C、D的对应点是C'和D'，连接CC'并延长交线段AB于G，G点恰好是AB的三等分点（BG＜AG），则线段EF长为．
4．（8分）若关于y的不等式组有且仅有三个非负整数解，且关于x的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数m的和为．
5．（8分）将一枚六个面编号分别为1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x、y的方程组只有正数解的概率为．
6．（8分）若a、b、c均为整数，且满足（a﹣b）2+（a﹣c）2＝1，则|a﹣b|+|b﹣c|+|a﹣c|＝．7．（8分）已知有数列：a1，a2，…，a n，和c1，c2，…，c n且满足：a n+a n+1＝n，c n＝a n a n+1，b n＝c2n﹣1，已知a1＝1，则下列说法正确的有：．
①a5＝a8
②a10＝5
③b2023＝2022×2023
④b1+b2+…+b100＝33300
二、解答题：（16'+18'+20'+20'+20'＝94'）
8．（16分）先化简再求值：，其中x是方程x2+x﹣6＝0的解．
9．（18分）广阳岛原称广阳坝、广阳洲，位于重庆市南岸区明月山、铜锣山之间，距离市中心11公里，面积6.44平方公里，是长江上游最大的江心绿岛，市政府邀请国内一流的智库力量和设计团队，开展各项规划和城市设计，着力将广阳岛建设成“回归五百年前的生态，引领五十年后的生活”的智创生态城．2022年8月经历重新打造的广阳岛景区重新面对游客开放．游客可以选择从朝天门码头乘轮渡登岛游览或者在岛外乘坐摆渡车进入岛内游玩．据了解，9月试营业期间轮渡票价和摆渡车票价之比为5：2，预计试营业期间一个月登岛观光人数达到18000人，摆渡车票销售总额20万元，轮渡票销售总额是摆渡车票销售总额的两倍．
（1）求轮渡票价格和摆渡车票价格每张多少元？
（2）为了庆祝国庆佳节，提升市民生活品质，景区管理处决定，十月份降低轮渡票价和摆渡车票价．轮渡票价在试运行单价的基础上降低0.2a%（a＞0），摆渡车票价比试运行单价降低元，这样轮渡票销售量和九月一样，摆渡车票的销售量比九月减少了a%，轮渡船票和摆渡车票的销售总额比预计减少了4550a元．求a的值．
10．（20分）若一个各位数字都不为0的三位正整数满足：十位数字与个位数字之和减去百．位数字的差为4，则称这个三位数为“顺利数”，例如：123，因为2+3﹣1＝4，所以123是“顺利数”；同时定义任何一个顺利数t＝（1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9且a、b、c均为整数）的F（t）＝．（1）判断326与875是否为“顺利数”，并说明理由；
（2）已知数S＝100m+20n+p（1≤m≤6，1≤n≤4，1≤p≤9）是“顺利数”，且3F（S）﹣10p能被11整除，求所有符合题意的S的值．
11．（20分）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，∠BAC的平分线与y轴交于点D，与抛物线交于点Q，点P是线段AB上一点，过点P作x轴的垂线，分别交AD，AC于点E、F，连接OE，OF．
（1）当△OEF面积最大时，求P点的坐标．
（2）在（1）的条件下，在直线PF上取点M，在y轴上取点N，当BN+MN+MQ最小时，求出N的坐标．
（3）如图2，将抛物线y沿着射线AC方向平移得到y'，y'的图象恰好经过点C，在抛物线y'的对称轴上取点G，在抛物线y'上取点K，在（2）的条件下，是否存在以P、N、K、G为顶点的平行四边形，如果存在直接写出k点坐标，如果不存在请说明理由．
12．（20分）如图，已知四边形ABCD，AB∥CD，且BC⊥CD，过C点作CF⊥AD交AD于F，点E在AF上且EF＝CF，点H在BA延长线上且BC＝BH，连接EH．
（1）如图1，若∠HAE＝60°，AH＝10，S△AEH＝5，CD＝2，求BC的长度．
（2）如图2，取EH中点G，连接BG、FG，求证：BG＝FG．
（3）如图3，在（2）条件下，连接HF，若∠AHE＝30°，BH＝4，将△GEF绕着G点旋转，GF
所在直线与直线BC交于Q，N是△BHQ内部一点，当HF最大时，直接写出HN+4NQ+3NB的最小值．。