向量与向量的线性运算

分析：∵点P在AB上，可知AP与AB共线，得AP = tAB.再用以O为起点的向量表示. 证明：∵P在AB上，∴AP与AB共线. ∴AP=tAB.∴OP－OA=t（OB－OA）. ∴OP=OA+tOB－tOA=（1－t）OA+t OB.设1－t=λ，t=μ，则OP=λOA+ μOB,且λ+μ=1，λ、μ∈R.
02
（4）平行向量（共线向量）
方向相同或相反的非零向量.任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a∥b.由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量.
03
（5）相等向量
长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为a=b.
变式探究
1.设a0为单位向量①若a为平面内的某个向量，则|a|·a0;②若a与a0平行，则a=|a|·a0；③若a与a0平行且|a|=1，则a=a0.上述命题中，假命题个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D. 3
变式探究
2.（2009年福州模拟)已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA+OB+OC=0，那么 ( ) Ａ．AO=OD Ｂ．AO=2OD Ｃ．AO=3OD Ｄ． 2AO=OD
解析：
A
对共线向量、平面向量的基本定理的考查
设OA、OB不共线，点P在AB上，求证：OP=λOA+μOB，且λ+μ=1，λ、μ∈R.试问：其逆命题成立吗？试证之.
知识体系构建
备考方略
向量是数学中的重要概念，它广泛应用于生产实践和科学研究中，其重要性逐渐加强.
01
在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用．平面向量的考查要求：第一，主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，考查学生掌握平面向量的和、差、数乘和数量积的运算法则，理解其直观的几何意义，并能正确地进行运算；第二，考查向量的坐标表示，及坐标形式下的向量的线性运算；第三，和函数、曲线、数列等知识结合，考查综合运用知识能力．
解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB=DC，∴|AB|=|DC|且AB∥DC， 又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则,AB∥DC且|AB|=|DC|，因此，AB=DC．③正确．∵a=b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c．
（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. （4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 4.平面向量的数量积 （1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义. （2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系. （3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个 平面向量的垂直关系. 5.向量的应用 （1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. （2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
（3）单位向量
模为1个单位长度的向量，向量a0为单位向量｜a0｜＝1.
01
2．向量的运算 （1）向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法. 设AB=a,BC=b，则a+b= AB+BC=AC.规定： ①0+a=a+0=a； ②向量加法满足交换律与结合律. 向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” a用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量. b三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点. 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则.
第八章 平面向量
考纲分解解读
1.平面向量的实际背景及基本概念 （1）了解向量的实际背景. （2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义. （3）理解向量的几何表示. 2.向量的线性运算 （1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. （2）掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义. （3）了解向量线性运算的性质及其几何意义. 3.平面向量的基本定理及坐标表示 （1）了解平面向量的基本定理及其意义. （2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
解析：向量是既有大小又有方向向量，a与|a|·a0模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则有a与a0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时，a=-|a|·a0，故②，③也是假命题。综上所述，答案选D.
D
向量加、减法法则的运用
如右图所示，G是△ABC的重心（三角形的三条中线的交点），求证：GA+GB+GC=0.
复习本章时要注意
向量的运算与实数的运算有异同点，学习时要注意这一点，如数量积不满足结合律.
要注意向量在几何、三角、物理学中的应用.
平面向量的数量积及坐标运算是高考的重点，复习中要注意培养准确的运算能力和灵活运用知识的能力.
02
01
03
第一节 向量与向量的线性运算
课前自主学案
知识梳理
分析：要证GA+GB+GC=0，只需证GA+GB=－GC，即只需证 GA+GB与GC互为相反的向量. 证明：以向量GB,GC为邻边作平行四边形GBEC，则GB+GC= GE=2GD，又由G为△ABC的重心知AG=2GD，从而 GA=－2GD，∴GA+GB+GC=－2GD+2GD=0. 点评：向量的加法可以用几何法进行.正确理解向量的各种运算 的几何意义，能进一步加深对“向量”的认识，并能体会用 向量处理问题的优越性.
（2）向量的减法 ①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量.记作－a,零向量的相反向量仍是零向量.关于相反向量有： a.－(－a)=a； b.a+(－a)=(－a)+a=0； c.若a、b是互为相反向量，则a=－b,b=－a,a+b=0. ②向量减法： 向量a加上b的相反向量叫做a与b的差， 记作：a－b=a+(－b).求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
向量具有大小和方向两个要素.用线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量.
共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础.
向量的加、减、数乘是向量的线性运算，其结果仍是向量.向量的数量积结果是一个实数.向量的数量积可以计算向量的长度、平面内两点间距离、两个向量的夹角，判断相应的两条直线是否垂直.
这个命题的逆命题是： “设OA、OB不共线，若OP＝λOA+μOB且λ+μ=1,λ、μ∈R，求证：A、B、P三点共线”.它是真命题. ∵λ+μ=1,λ、μ∈R,∴μ=1－λ, ∴OP＝λOA+(1－λ)OB, ∴OP-OB＝λOA－λOB=λ(OA－OB), 而OP-OB=BP,OA－OB=BA,∴BP=λBA, ∴BP与BA共线.所以A、B、P三点共线. 点评： （1）本例的重点是考查平面向量的基本定理，及对共线向量的理解及应用. （2）当λ=μ=1/2时，OP＝1/2(OA+OB)，此时P为AB的中点，这是向量的中点公式.
A
B
C
D
E
解析：
课堂互动探究
对向量及其相关概念的理解
给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a=b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a=b，b=c，则a=c;④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确的序号是_____________.
(2009年安徽卷)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC=λAE+μAF，其中λ,μ∈R，则λ+μ=_________
0.(2009年湖南卷)如右图所示，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD=xAB+y,则 x= _____ ,y=_____
向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB+BC+CD+…+PQ+QR=AR，但这时必须“首尾相连”.
③作图法：a－b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）. （3）实数与向量的积 ①实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下： a.Iλa I=IλI·I a I b.当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0，方向是任意的. ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律. 3．两个向量共线定理 向量b与非零向量a共线有且只有一个实数λ，使得b=λa. 4．平面向量的基本定理 如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2使：a=λ1e1+λ2e2.其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
A
解析：
A
D
B
F
E
C
解析：
A
2．(2009年湖南卷)如图所示，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则 （ ） A.AD+BE+CF=0 B.BD-CF +DF=0 C.AD+ CE-CF =0 D.BD-BE-FC =0
（1）平面向量 平面内既有大小又有方向的量叫做向量. 向量一般用a,b,c……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：.向量 的大小即向量的模（长度），记作| |.即向量 a 的大小，记作｜a |. 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. （2）零向量 长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行.零向量a＝0｜a｜＝0. 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.（注意与0的区别）
02
在近几年的高考中，每年都有两道题目．其中小题以填空题或选择题形式出现，考查了向量的性质和运算法则，数乘、数量积、共线问题与轨迹问题．大题则以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题． 具体来说，本章试题的常见类型有 平面向量的加减法运算及其几何意义； 平面向量的数量积及运算律，平面向量的坐标运算，用向量的知识解决几何问题； 平面向量与三角的交汇； 平面向量与解几的交汇.
不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|=|b|，也不能得到a=b，故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件． 不正确．考虑b=0这种特殊情况．
综上所述，正确命题的序号是②③．
答案：②③
点评：本题主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，正确理解向量的有关概念.另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想．
基础自测
1.（2008年全国卷Ⅰ）在△ABC中，AB=c，AC=b．若点D足BD=2DC，则AD= ( ) A． 2/3b+ 1/3c B． 5/3c－ 2/3b C．2/3 b－ 1/3c D． 1/3b+ 2/3c