2013北京西城区高考一模文数答案试卷

北京市西城区2013年高三一模试卷
高三数学（文科）参考答案及评分标准
2013.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．B；2．A；3．D；4．B；5．C；6．C；7．A；8．B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．0；10．
7
4
-
；11．
1
2
x=-
，2；
12．80%；13．24；14．5，722
n+．
注：11、14题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：依题意，得
3π
()0
4
f=
，………………
1分
即
3π3π
sin cos0
44
a
+==
， (3)
分
解得1
a=． (5)
分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得
()sin cos
f x x x
=+．………………
6分
22
()[()]2sin
g x f x x
=-
22
(sin cos)2sin
x x x
=+-
sin2cos2
x x
=+ (8)
分
π
)
4
x
=+
．………………10分
由
πππ2π22π242k x k -
≤+≤+，
得 3ππππ88k x k -
≤≤+，k ∈Z ． (12)
分
所以 ()g x 的单调递增区间为3ππ
[π,π]88k k -
+，k ∈Z ． (13)
分
16．（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：在△ABC 中， 因为
AC =
，2AB =，1BC =，
所以 BC AC ⊥． ………………2分 又因为 AC FB ⊥，
所以 ⊥AC 平面FBC ． ………………4分 （Ⅱ）解：因为⊥AC 平面FBC ，所以FC AC ⊥．
因为FC CD ⊥，所以⊥FC 平面ABCD ． ………………6分 在等腰梯形ABCD 中可得 1==DC CB ，所以1=FC ．
所以△BCD 的面积为 43
=
S ． (7)
分
所以四面体FBCD
的体积为：
13F BCD V S FC -=⋅=
． ………………9分
（Ⅲ）解：线段AC 上存在点M ，且M 为AC 中点时，有EA // 平面FDM ，证明如下： ………………10分
连结CE ，与DF 交于点N ，连接MN ．
因为 CDEF 为正方形，所以N 为CE 中点． ………………
11
分
所以 EA //MN ． ………………12分 因为 ⊂MN 平面FDM ，⊄EA 平面FDM ， ………………13分
所以 EA //平面FDM ．
所以线段AC 上存在点M ，使得EA //平面FDM 成立． ………………14分 17．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A ， ………………1分
则
41
)12531(1)(=
+-=A P ． 所
以
甲
临
时
停
车
付
费
恰
为
6
元的概率是
41
． ………………4分
（Ⅱ）解：设甲停车付费a 元，乙停车付费b 元，其中,6,14,22,30a b =． ………………6分
则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：
(6,6),(6,14),(6,22),(6,30),(14,6),(14,14),(14,22),(14,30),(22,6),(22,14),(22,22), (22,30),(30,6),(30,14),(30,22),(30,30)
，共
16
种情
形． ………………10分
其中，(6,30),(14,22),(22,14),(30,6)这4种情形符合题意． ………………12分
故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为41
164P =
=
． (13)
分
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：()f x 的定义域为R ， 且 ()e x
f x a '=+． ………………
2分
① 当0a =时，()e x
f x =，故()f x 在R 上单调递增．
从而
)
(x f 没有极大值，也没有极小
值． ………………4分
② 当0a <时，令()0f x '=，得ln()x a =-． ()f x 和()f x '的情况如下：
故()f x 的单调减区间为(,ln())a -∞-；单调增区间为(ln(),)a -+∞．
从而)(x f 的极小值为(ln())ln()f a a a a -=-+-；没有极大值． ………………6分
（Ⅱ）解：()g x 的定义域为(0,)+∞，且
11
()ax g x a x x -'=-
=． ………………
8分
③ 当0a =时，()f x 在R 上单调递增，()g x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意． (9)
分
④ 当0a <时，()0g x '<，()g x 在(0,)+∞上单调递减．
当10a -≤<时，ln()0a -≤，此时()f x 在(ln(),)a -+∞上单调递增，由于()g x 在(0,)
+∞上单调递减，不合
题
意． ………………11分
当1a <-时，ln()0a ->，此时()f x 在(,ln())a -∞-上单调递减，由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，符合题意．
综上，a 的取值范围是(,1)-∞-． ………………13分 19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：依题意，直线AB 的斜率存在，设其方程为(1)y k x =+． ………………1分
将其代入22
143x y +=，整理得
2222
(43)84120k x k x k +++-=． ………………3分
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以
2122
843k x x k -+=+． ………………4分
故点G 的横坐标为2
122
42
43x x k k +-=+． 依题意，得22
41
43
4k k -=-+， ………………6分
解得
1
2k =±
． ………………7分
（Ⅱ）解：假设存在直线AB ，使得
12S S =，显然直线AB 不能与,x y 轴垂直．
由（Ⅰ）可得
22243(,)
4343k k G k k -++．
8分
因为 DG AB ⊥，
所以 22
23431443D
k
k k k x k +⨯=---+，
解得 2243D k x k -=+， 即 22(,0)
43k D k -+． (10)
分
因为 △GFD ∽△OED ， 所以 12||||S S GD OD =⇔=． ………………11分
所以 2243
k k -=+， (12)
分
整理得 2
890k +=． ………………13分
因为此方程无解，
所以不存在直线AB ，使得 12S S =． (14)
分 20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：当5n =时，由
5
1
(,)||
i i i d A B a b ==-∑，
得 (,)|12||24||12||21||53|7d A B =-+-+-+-+-=，
所以 (,)7d A B =． ………………3分
（Ⅱ）证明：设
12(,,
,)n A a a a =，12(,,,)n B b b b =，12(,,,)n C c c c =．
因为 0∃>λ，使AB BC λ=，
所以 0∃>λ，使得 1
1221122(,,)((,,
)n n n n b a b a b a c b c b c b ---=---λ,,，
所以 0∃>λ，使得 ()i
i i i b a c b λ-=-，其中1,2,,i n =．
所以
i i b a -与(1,2,
,)i i c b i n -=同为非负数或同为负数．
………………6分
所以
1
1
(,)(,)||||
n
n
i i i i i i d A B d B C a b b c ==+=-+-∑∑
1(||||)
n
i i i i i b a c b ==-+-∑
1
||(,)
n
i i i c a d A C ==-=∑． ………………8分
（Ⅲ）解法一：20
1
(,)||
i i i d A B b a ==-∑．
设
(1,2,
,20)i i b a i -=中有(20)m m ≤项为非负数，20m -项为负数．不妨设
1,2,
,i m =时0i i b a -≥；1,2,
,20i m m =++时，0i i b a -<．
所以 20
1
(,)||
i i i d A B b a ==-∑
121212201220[()()][()()]
m m m m m m b b b a a a a a a b b b ++++=++
+-+++++++-+++
因为 (,)(,)13d I A d I B ==，
所以
2020
1
1
(1)(1)
i
i
i i a b ==-=-∑∑， 整理得
2020
1
1
i i
i i a b
===∑∑．
所以 20
12121
(,)||2[()]
i i m m i d A B b a b b b a a a ==-=++
+-+++∑．……………10分
因为
1212201220()()m m m b b b b b b b b b +++++=+++-++
+
(1320)(20)113m m ≤+--⨯=+； 又
121m a a a m m ++
+≥⨯=，
所以
1212(,)2[()]m m d A B b b b a a a =++
+-++
+
2[(13)]26m m ≤+-=．
即 (,)26d A B ≤． ……………12分
对于 (1,1,
,1,14)A =，(14,1,1,
,1)B =，有 A ，20B S ∈，且(,)(,)13d I A d I B ==，
(,)26d A B =．
综上，(,)d A B 的最大值为26． ……………13分
解法二：首先证明如下引理：设,x y ∈R ，则有||||||x y x y +≤+． 证明：因为 ||||x x x -≤≤，||||y y y -≤≤， 所以 (||||)||||x y x y x y -+≤+≤+，
即 ||||||x y x y +≤+．
所以
2020
1
1
(,)|||(1)(1)|
i i i i i i d A B b a b a ===-=-+-∑∑
20
1
(|1||1|)
i i i b a =≤-+-∑
2020
1
1
|1||1|26
i i i i a b ===-+-=∑∑． ……………11分
上式等号成立的条件为
1i a =，或1i b =，
所以 (,)26d A B ≤． ……………
12分 对于
(1,1,
,1,14)A =，(14,1,1,
,1)B =，有 A ，20B S ∈，且
(,)(,)13d I A d I B ==，(,)26d A B =．
综上，(,)d A B 的最大值为26． ……………13分。