2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(北京卷·理科)(附答案,完全word版)

2008年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）（北京卷）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9
页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合()
U
A B ð等于（ ） A ．{}
|24x x -<≤ B ．{}
|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤
D ．{}
|13x x -≤≤
2．若0.5
2a =，πlog 3b =，22π
log sin 5c =，则（ ） A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．b c a >>
3．“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ ） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，
的距离小1，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
5．若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩
，
，，≥≥≤则23x y
z +=的最小值是（ ）
A ．0
B ．1
C
D ．9
6．已知数列{}n a 对任意的*
p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ）
A ．165-
B ．33-
C ．30-
D ．21-
7．过直线y x =上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ，，当直线12l l ，关于y x =对称时，它们之间的夹角为（ ） A ．
30
B ．
45
C ．
60
D ．
90
8．如图，动点P 在正方体1111ABCD A BC D -的对角线1BD 上．过点
P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设B P x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）
A B
C D
M
N
P A 1
B 1
C 1
D 1
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2008年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）（北京卷）
第Ⅱ卷（共110分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．已知2()2a i i -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ．
10．已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么(2)+b a b 的值为 ．
11．若231n
x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭展开式的各项系数之和为32，则n = ，其展开式中的常数项
为 ．（用数字作答）
12．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，
，则((0))f f = ； 0
(1)(1)
lim
x f x f x
∆→+∆-=∆ ．（用数字作答）
13．已知函数2
()cos f x x x =-，对于ππ22
⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，上的任意12x x ，，有如下条件：
①12x x >； ②22
12
x x >； ③12x x >． 其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ．
14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点
()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，
111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝
⎭⎝⎭⎣⎦⎨
--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩
，． ()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．
按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）
已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的取值范围．
16．（本小题共14分）
如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥；
（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．
17．（本小题共13分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列．
A C
B P
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18．（本小题共13分）已知函数2
2()(1)
x b
f x x -=-，求导函数()f x '，并确定()f x 的单调区间． 19．（本小题共14分）
已知菱形ABCD 的顶点A C ，在椭圆2234x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线BD 过点(01)，
时，求直线AC 的方程； （Ⅱ）当60ABC ∠=时，求菱形ABCD 面积的最大值．
20．（本小题共13分）
对于每项均是正整数的数列12n A a a a ：，，，，定义变换1T ，1T 将数列A 变换成数列
1()T A ：12111n n a a a ---，，，，．
对于每项均是非负整数的数列12m B b b b ：，，，，定义变换2T ，2T 将数列B 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列2()T B ； 又定义22
2
1212()2(2)m m
S B b b mb b b b =++
++++
+． 设0A 是每项均为正整数的有穷数列，令121(())(012)k k A T T A k +==，，，． （Ⅰ）如果数列0A 为5，3，2，写出数列12A A ，；
（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A ，证明1(())()S T A S A =；
（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A ，存在正整数K ，当k K ≥时，
1()()k k S A S A +=．
2008年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷）参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．1- 10．0 11．5 10 12．2 2-
13．②
14．(12)， (3402)
， 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分） 解：
（Ⅰ）1cos 2()222x f x x ωω-=
+11
2cos 2222
x x ωω=-+
π1sin 262x ω⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭．
因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以
2π
π2ω
=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262
f x x ⎛⎫=-
+ ⎪⎝
⎭． 因为2π03
x ≤≤， 所以ππ7π2666
x --≤≤，
所以1πsin 2126x ⎛⎫-
- ⎪⎝⎭
≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛
⎫-
+ ⎪⎝
⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，． A
B
D
P
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16．（共14分） 解法一：
（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，． AP BP =， PD AB ∴⊥． AC BC =， CD AB ∴⊥． PD CD D =，
AB ∴⊥平面PCD ． PC ⊂平面PCD ， PC AB ∴⊥．
（Ⅱ）AC BC =，AP BP =， APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥， PC BC ∴⊥．
又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且AC
PC C =，
BC ∴⊥平面PAC ．
取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP =，BE AP ∴⊥．
EC 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥．
BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．
在BCE △中，90BCE ∠=，2BC =
，2
BE AB =
=
sin BC BEC BE ∴∠=
=． ∴二面角B AP C --
的大小为． （Ⅲ）由（Ⅰ）知AB ⊥平面PCD ，
∴平面APB ⊥平面PCD ．
过C 作CH PD ⊥，垂足为H ． 平面APB 平面PCD PD =，
CH ∴⊥平面APB ．
CH ∴的长即为点C 到平面APB 的距离． 由（Ⅰ）知PC AB ⊥，又PC AC ⊥，且AB AC A =，
PC ∴⊥平面ABC ． CD ⊂平面ABC ， PC CD ∴⊥．
A
B
E P A
B
D
P
H
在Rt PCD △
中，12CD AB =
=
2
PD PB ==
2PC ∴==．
233
PC CD CH PD ∴=
=
．
∴点C 到平面APB 的距离为
3
． 解法二：
（Ⅰ）AC BC =，AP BP =， APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥， PC BC ∴⊥． AC BC C =，
PC ∴⊥平面ABC ． AB ⊂平面ABC ， PC AB ∴⊥．
（Ⅱ）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -．
则(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，． 设(00)P t ，
，
． PB AB ==，
2t ∴=，(002)P ，，．
取AP 中点E ，连结BE CE ，．
AC PC =，AB BP =，
CE AP ∴⊥，BE AP ⊥．
BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．
(011)E ，，，(011)EC =--，，，(211)EB =--，，，
cos 26
EC EB BEC EC EB
∴∠=
=
=． ∴二面角B AP C
--的大小为arccos
3
．
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（Ⅲ）AC BC PC ==，
C ∴在平面APB 内的射影为正APB △的中心H ，且CH 的长为点C 到平面APB 的距离． 如（Ⅱ）建立空间直角坐标系C xyz -．
2BH HE =，
∴点H 的坐标为222333⎛⎫
⎪⎝⎭，，．
23
CH ∴=
． ∴点C
到平面APB 17．（共13分）
解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3
324541
()40
A A P E C A ==，
即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是
140
． （Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541
()10
A P E C A ==，
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10
P E P E =-=
． （Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位服务，
则23
5334541
(2)4
C A P C A ξ===．
所以3
(1)1(2)
P P ξξ==-==
，ξ的分布列是 18．（共13分）
解：24
2(1)(2)2(1)
()(1)
x x b x f x x ----'=-
3
222
(1)x b x -+-=
- 3
2[(1)]
(1)x b x --=-
-．
令()0f x '=，得1x b =-．
当11b -<，即2b <时，()f x '的变化情况如下表：
当11b ->，即2b >时，()f x '的变化情况如下表：
所以，当2b <时，函数()f x 在(1)b -∞-，上单调递减，在(11)b -，上单调递增， 在(1
)+∞，上单调递减． 当2b >时，函数()f x 在(1)-∞，
上单调递减，在(11)b -，上单调递增，在(1)b -+∞，上单调递减．
当11b -=，即2b =时，2
()1
f x x =-，所以函数()f x 在(1)-∞，
上单调递减，在(1)+∞，上单调递减．
19．（共14分）
解：
（Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为1y x
=+． 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥． 于是可设直线AC 的方程为y x n =-+．
由2234x y y x n
⎧+=⎨=-+⎩，得2246340x nx n -+-=． 因为A C ，在椭圆上，
所以2
12640n ∆=-+>，解得33
n -
<<．
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设A C ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，， 则1232n x x +=，212344
n x x -=，11y x n =-+，22y x n =-+． 所以122
n y y +=． 所以AC 的中点坐标为344n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，． 由四边形ABCD 为菱形可知，点344n n ⎛⎫
⎪⎝⎭，在直线1y x =+上， 所以3144
n n =+，解得2n =-． 所以直线AC 的方程为2y x =--，即20x y ++=．
（Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=， 所以AB BC CA ==．
所以菱形ABCD
的面积2S =． 由（Ⅰ）可得22
221212316()()2n AC x x y y -+=-+-=，
所以2316)S n n ⎛=-+<< ⎝
⎭． 所以当0n =时，菱形ABCD
的面积取得最大值
20．（共13分）
（Ⅰ）解：0532A ：，，，
10()3421T A ：，，，
， 1210(())4321A T T A =：，，，
； 11()43210T A ：，，，，，
2211(())4321A T T A =：，，，
．
（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列A 为12n a a a ，，，， 则1()T A 为n ，11a -，21a -，
，1n a -，
从而 112(())2[2(1)3(1)(1)(1)]
n S T A n a a n a =+-+-+++-222212(1)(1)(1)n n a a a ++-+-+
+-． 又2221212()2(2)n n S A a a na a a a =++
+++++， 所以1(())()S T A S A - 122[23(1)]2()n n n a a a =----+++++2122()n n a a a n +-++++ 2(1)0n n n n =-+++=，
故1(())()S T A S A =．
（Ⅲ）证明：设A 是每项均为非负整数的数列12n a a a ，，，． 当存在1i j n <≤≤，使得i j a a ≤时，交换数列A 的第i 项与第j 项得到数列B ， 则()()2()j i i j S B S A ia ja ia ja -=+--2()()0j i i j a a =--≤． 当存在1m n <≤，使得120m m n a a a ++==
==时，若记数列12m a a a ，，，为C ， 则()()S C S A =．
所以2(())()S T A S A ≤．
从而对于任意给定的数列0A ，由121(())(012)k k A T T A k +==，，， 可知11()(())k k S A S T A +≤．
又由（Ⅱ）可知1(())()k k S T A S A =，所以1()()k k S A S A +≤． 即对于k ∈N ，要么有1()()k k S A S A +=，要么有1()()1k k S A S A +-≤． 因为()k S A 是大于2的整数，所以经过有限步后，必有12()()()k k k S A S A S A ++===． 即存在正整数K ，当k K ≥时，1()()k k S A S A +=．。