21.1 二次根式(课件)华东师大版数学九年级上册

；
21.1 二次根式
考
点
清
单
解
读
■考点三
性质
返目录
二次根式的性质
文字叙述
应用
① ≥0（a≥0）的最
≥0
（a≥0）
一个非负数的算术平 小值是 0；②二次根式
方根是一个非负数
具有双重非负性，利用
二次根式的非负性解题
21.1 二次根式
考
点
清
单
解
读
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续表
性质
文字叙述
应用
①正用公式：如（ ）2
母不能为零，例如要使
+

有意义，除了满足
被开方数x+1≥0外，还要满足分母x≠0
注意
（3）如果一个式子中含有负整数指数幂或零指
数幂，那么底数不能为零，例如要使 + +x0
有意义，除了满足被开方数x+1≥0外，还要满足
底数x≠0
21.1 二次根式
考
点
清
单
解
读
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归纳总结
求使二次根式（或含二次根式的式子）有意义的步骤
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21.1 二次根式
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典例4 若 ( − )=3 -x，则 x 的取值范围是
考
点
清 _______.
单
［解题思路］∵ ( − 3)2 =|x-3|=3-x，∴3-x≥0，x≤3.
解
读
［答案］x≤3
21.1 二次根式
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的双重非负性的应用
重 ■题型一
难
2+ − + =0，则
清
单 ；
解
读
（2）二次根式的定义是从形式上界定的，必须含有
“
”；
（3）形如 b （a≥0）的式子也是二次根式，它表示
b 与 的积.
尤其要注意当 b 是带分数时要写成假分数.
21.1 二次根式
考
点
清
单
解
读
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对点典例剖析
典例1 下列各式中，是二次根式的是 ____________.
① ； ② − ；
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解题通法
根据非负性解题的常见类型：
重
难
2 是三种常见的具有非负性
已知
（a≥0），|b|，c
题
型
突 的式子.
破
（1）若 +|b|=0，则 a=b=0；
（2）若 +c2=0，则 a=c=0；
（3）若 +|b|+c2=0，则 a=b=c=0.
21.1 二次根式
重 ■题型二 利用二次根式的性质进行化简
=|a|=
a（a≥0）
-a（a＜0
平方的算术平
=π-3；
方根等于它本
②逆用公式：|a|= ，如
身的绝对值


=

±

21.1 二次根式
考
点
清
单
解
读
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归纳总结
与（ ）2 的区别与联系如下表所示

名称
取值范
区 围不同
别 意义
不同
a 为任意实数
（ ）2
a≥0
实数 a 的平方的算 非负实数 a 的算
被开方数a为非负数，即a≥0；反之，若
解
读 意义的条件
无意义，其前提是a为负数，即a<0
（1）如果一个式子中含有多个二次根式，
注意
那么需每个二次根式的被开方数都是非负数，
例如要使
+
a≥0，且a-1≥0
− 有意义，则需满足
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续表
考
点
清
单
解
读
（2）如果一个式子的分母中含有字母，那么分
21.1 二次根式
● 考点清单解读
● 重难题型突破
● 易错易混分析
21.1 二次根式
考
点
清
单
解
读
■考点一
定义
二次根式
形如 （a≥0）的式子叫做二次根式
①是否含有二次根号
识别
方法
“
”；②被开方
数是否大于或等于 0
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21.1 二次根式
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归纳总结
考
点
（1）a 可能是整式，也可能是分式，但必须保证 a≥0
=3，（ + ）2=a+1；
（ ）2
=a（a≥0）
一个非负数的算
术平方根的平方
等于它本身
②逆用公式 ：若 a≥0，则
a =（ ）2，如 2=（ ）
2 ，

=


2
21.1 二次根式
考
点
清
单
解
读
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续表
性质
文字叙述
应用
①正用公式：如
（ − ） =|3-π|
一个任意数的

（2）由题意，得 x≥0，且 2x-1≠0，
解得 x≥0 且 x≠


；
− ≥ ,
（3）由题意，得ቊ
解得 x＝1；
− ≥ ,
− ≥ ,
（4）由题意，得 ቊ
解得 2≤x＜5；
− > ,
（5）由题意，得 ቊ
− > ,
解得 x>1 且x≠2．
− ≠ ,
21.1 二次根式
考
点
清
单
解
读
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对点典例剖析
典例2
x 为何值时，下列各式有意义？
（1） −
； （2）
（3） − + − ；
（4） − +
（5）
1
；
−
1
+（x-2）0．
−

−
；
21.1 二次根式
考
点
清
单
解
读
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［答案］解：（1）由题意，得 3-5x≥0，解得 x≤

= a
清
单 计算.注意π≠3.14.
解
读
21.1 二次根式
考
点
清
单
解
读
［答案］解：（1）（ . ）2=0.3；
（2）


2
=


；
（3） (−) = |-8|=8；
（4）-

(− )

=-|-


|=

；
（5）∵3.14＜π，∴3.14-π＜0，
∴
(. − ) =|3.14-π| =π-3.14.
还要保证分母有意义.
③ + ； ④

.
21.1 二次根式
考
点
清
单
解
读
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［解题思路］
含有二次根
序号
号“
”
被开方数a≥0
判断
①
√
√
√
②
√
被开方数＜0
×
③
√
√
√
④
根指数是 3
√
×
［答案］ ①③
21.1 二次根式
■考点二
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二次根式有意义的条件
考
点
有意义，也可称为 成立，其前提是
清
单 二次根式有
21.1 二次根式
考
点
清
单
解
读
对点典例剖析
典例3
计算：
（1）（ . ）2；
（2）


2；
（3） (−) ；
（4）-

(− ) ；

（5） (. − ) .
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21.1 二次根式
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［解题思路］（1）和（2）可直接利用性质（ ）2
考
点

=a（a≥0）计算；（3）（4）（5）运用性质
难
例
一个三角形的三边长分别为 3，4，x，则化简
题
型
+|x-7|的结果为 _________.
（
−
）
突
破
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21.1 二次根式
重
难
题
型
突
破
［解析］
［答案］
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21.1 二次根式
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变式衍生
实数 a 在数轴上对应点的位置如图所示
重
难
D
）
题 ， 则 （ − ） - （ − ）化简后为（
［答案］ x≥-5 且 x≠2
［易错］ x≥-5
［错因］ 没有考虑分母 x-2≠0.
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21.1 二次根式
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易错警示 既要保证二次根式的被开方数（式）为非负
易
错
易 数，又要保证分母不为 0.
混
分
领悟提能 若所给式子是整式，只需保证式子本身有意
析
义即可；若所给式子是分式，在保证分子有意义的前提下
术平方根
术平方根的平方
21.1 二次根式
考
点
清
单
解
读

名称
运算结
区 果不同
（ ）2
2=a
（
）
a（a≥0）
=|a|=
-a（a＜0 （a≥0）
别 运算顺 对实数 a 先平方再
序不同 开方
联系
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对非负实数 a 先
开方再平方
与（ ）2 都是非负数，且当 a≥0
时，
=（ ）2
例
若实数
a，b
满足（a+b-2）
题
型
突 a=____，b=_____.
破
21.1 二次根式
重
难
题
型
突
破
［解析］由二次根式的性质，知 − + ≥0.
又因为（a+b-2）2≥0，
所以 a+b-2=0，b-2a+3=0，
解得 a=


［答案］
，b=






.
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21.1 二次根式
型
A. 7
B. -7
突
破
C. 15-2a
D. 2a-15
21.1 二次根式
易 ■确定复合型式子有意义的条件时，未考虑分母不为 0
错
+
易
例 若式子
有意义，则 x 的取值范围是
−
混
分
析 _________.
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21.1 二次根式
易
错
易
混
分
析
［解析］
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21.1 二次根式
易
错
易
混
分
析