材料力学 05扭转

由
τρ
=
T ⋅ρ Ip
知：当
ρ =R= D 2
,
τ ρ → τ max
∴
τ max
T⋅D =2
Ip
=
T
Ip
D 2
=T Wp
(令 W p = I p
D) 2
τ max
=
T Wp
Wp — 扭转截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。
对于实心圆截面： 对于空心圆截面：
Wp = I p R = πD3 16 WP = I p R = πD3 (1− α 4 ) 16 29
τ´
a
γb
τ dz
τ
τ´
c
d
dx
x
dy
在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出 现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则 共同指向或共同背离该交线。
单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这
种应力状态称为纯剪切应力状态。
35
M
´
36
§5–1 圆轴扭转时的应力和变形计算
1 圆轴扭转的变形特征 2 圆轴扭转时的应力 3 薄壁圆筒的切应力 4 剪应力互等定理 5 圆轴扭转时斜截面上的应力 6 扭转时的变形
A
11.14
T(kN`m)
–
m1
m3 m4
n
C
B
D
6.37 ⊕
x
4.78
12
第5章 扭转杆件的强度与刚度计算
§2–2 扭转杆的内力、扭矩图 §5–1 圆轴扭转时的应力和变形计算 §5–2 圆轴扭转时的强度和刚度计算 §5–3 扭转的超静定问题 §5–4 非圆截面杆的自由扭转简介
13
§5–1 圆轴扭转时的应力和变形计算
W1 = W2
Me
=
P ×1000× 60 2π n
P M e N⋅m = 9549 n kW (N ⋅ m)
rpm
rpm—revolutions per minutes
5
二、扭矩及扭矩图
1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。
2 截面法求扭矩
∑mx = 0 T −m=0 T =m
3 扭矩的符号规定：
=
∫A
Gρ 2
dϕ dx
dA
=
G
dϕ dx
∫A
ρ 2dA
令 I p = ∫ A ρ 2dA
有T
=
GI p
dϕ dx
代入物理关系式
τρ
=
ρ
G
dϕ dx
得：
dA ρ
O
dϕ dx
=
T GI p
τρ
=
T ⋅ρ Ip
24
(5) 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。 ② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
m
m
x
m
T
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则为
正，反之为负。
6
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
目 ①扭矩变化规律； 的 ②|T|max值及其截面位置
强度计算（危险截面）。
T
⊕
x
7
[例1]已知：一传动轴， n =300rpm，主动轮输入 P1=500kW，从
动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
解：①受力分析，作扭矩图；
②分段计算 τ max
③分段计算 ϕ
46
第5章 扭转杆件的强度与刚度计算
§2–2 扭转杆的内力、扭矩图 §5–1 圆轴扭转时的应力和变形计算 §5–2 圆轴扭转时的强度和刚度计算 §5–3 扭转的超静定问题 §5–4 非圆截面杆的自由扭转简介
47
§5-2 圆轴扭转时的强度和刚度计算
τρ
=
T ⋅ρ Ip
πD 4
Ip
=
32 πD 4
32
(1− α 4 )
τ max
=
T Wp
πD3
Wp
=
16 πD3
16
(1 − α
4)
30
§5–1 圆轴扭转时的应力和变形计算
1 圆轴扭转的变形特征 2 圆轴扭转时的应力 3 薄壁圆筒的切应力 4 剪应力互等定理 5 圆轴扭转时斜截面上的应力 6 扭转时的变形
一、强度计算
强度条件：
τ max ≤ [τ ]
ρ —该点到圆心的距离。
I p = ∫ A ρ 2dA , 极惯性矩，纯几何量，mm4,m4。
25
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
对于实心圆截面：
I p = ∫ A ρ 2dA
dρ
D
∫= 2 ρ 2 ⋅ 2ρ ⋅π ⋅ dρ 0
ρO
D
= πD4 32
26
对于空心圆截面：
44
6、扭转时的变形
由应力分析得到的公式
dϕ dx
=
T GI p
知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角ϕ 为
∫l
ϕ = ∫ dϕ =
T
dx = Tl
(若T 值不变）
0 GI p
GI p
GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。
∑ ϕ = Tili
GI Pi
45
例5-1 钢制圆轴，G = 80GPa，AC段实心，D = 100mm ，CD段 空心，内径 d = 50mm 。试求： (1) 实心轴的最大切应力，空心轴的最大、最小切应力； (2) A、D截面的相对扭转角。
1 圆轴扭转的变形特征 2 圆轴扭转时的应力 3 薄壁圆筒的切应力 4 剪应力互等定理 5 圆轴扭转时斜截面上的应力 6 扭转时的变形
14
1 圆轴扭转的变形特征
15
扭转后表面圆保持为圆形， 原半径直线仍保持为直线， 纵向直线变形后为螺旋线。
16
• 平截面假设/平面假设：
圆轴扭转变形后各个横截面仍为平面，而且其大小、 形状以及相邻两截面之间的距离保持不变，横截面半 径仍为直线
1
第5章 扭转杆件的强度与刚度计算
§2–2 扭转杆的内力、扭矩图 §5–1 圆轴扭转时的应力和变形计算 §5–2 圆轴扭转时的强度和刚度计算 §5–3 扭转的超静定问题 §5–4 非圆截面杆的自由扭转简介
2
§2–2 扭转杆的内力、扭矩图
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。
铸铁试件： 沿与轴线约成45°的螺旋 线断开，说明其抗拉性 能比抗压/剪性能差。
42
力学性能比较 低碳钢：抗剪<抗拉<抗压 铸 铁：抗拉<抗剪<抗压
低碳钢试件
45° ´
铸铁试件 43
§5–1 圆轴扭转时的应力和变形计算
1 圆轴扭转的变形特征 2 圆轴扭转时的应力 3 薄壁圆筒的切应力 4 剪应力互等定理 5 圆轴扭转时斜截面上的应力 6 扭转时的变形
m2 = m3 = 4.78(kN ⋅ m)
–
m4 = 6.37 (kN ⋅ m)
4.78
m3
m1 m4
n
B
C
D
– 9.56
6.37 ⊕
x
11
变更从动轮B与主动轮C的位置，作出扭矩图。
m1 = 15.92(kN ⋅ m)
m2
m2 = m3 = 4.78(kN ⋅ m)
m4 = 6.37 (kN ⋅ m)
m2
m3
m1 m4
解：①计算外力偶矩
m1
=
9549
P1 n
=
9549 ⋅
500 300
A
= 15.92(kN ⋅ m)
n
B
C
D
m2
=
m3
= 9549
P2 n
=
9549⋅ 150 300
=
4.78(kN ⋅ m)
m4
= 9549
P4 n
= 9549⋅ 200 300
=
6.37 (kN ⋅ m)
8
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
´
当α = 90°， σ 90° = 0 , τ90° = −τ max = −τ
由此可见：圆轴扭转时，在横截
45°面和纵截面上的切应力为最大值；在 方向角α = ± 45°的斜截面上作用有最
大压应力和最大拉应力。根据这一结
´
论，就可解释前述的破坏现象。
41
低碳钢试件：
沿横截面断开，说明 其抗剪性能比抗拉/压 性能差。
33
4、切应力互等定理：
微小单元体如图所示：
①无正应力
τ´
a
γb
②横截面上各点处，只产
τ
dy
τ
生垂直于半径的均匀分布的切
τ´
应力τ ，沿周向大小不变，方
c
d
向与该截面的扭矩方向一致。
dx
34
∑ mx = 0
τ ⋅ dxdz ⋅ dy = τ ′⋅ dydx ⋅ dz ⇒ τ =τ′
切应力互等定理:
3
扭转：杆件受到大小相等、方向相反、作用面垂直于杆轴的 两个力偶作用下，杆会发生扭转变形。
A
B O
A
γ
O ϕB
m
m
扭转角（ϕ）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。
剪应变（γ）：直角的改变量。
4
一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
传动轴传递的功： W1 = P ×1000× 60(N ⋅ m) 外力偶所作的功： W2 = 2π n ⋅ M e (N ⋅ m)
I p = ∫ A ρ 2dA
D
∫=
2 d
ρ
2
⋅ 2ρ
⋅π
⋅ dρ
d
2
= π (D4 − d4) 32
= πD4 (1−α 4 ) 32
(α = Dd )
dρ ρ
D O
27
④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
结构轻便，应用广泛。 28
⑤ 确定最大剪应力：
9
③作扭矩图
T = 9.56 kN ⋅ m max
BC段为危险截面。
m2
m3
m1
m4
n
A
B
C
D
T(kN`m)
– 4.78
– 9.56
6.37 ⊕
x
10
简易法作扭矩图：
m2
自左往右，遇到向下的外力 偶，扭矩减小；遇到向上的 外力偶，则扭矩增大。
A
m1 = 15.92(kN ⋅ m) T(kN`m)
推断结论：
v 横截面上各点无轴向变形， 故横截面上没有正应力。
v 横截面绕轴线发生了旋转式 的相对错动，故横截面上有 切应力存在。
v 各横截面半径不变，所以剪 应力方向与截面径向垂直
17
§5–1 圆轴扭转时的应力和变形计算
1 圆轴扭转的变形特征 2 圆轴扭转时的应力 3 薄壁圆筒的切应力 4 剪应力互等定理 5 圆轴扭转时斜截面上的应力 6 扭转时的变形
n
α ´
α
x
t
转角规定： 轴正向转至截面外法线 由平衡方程：
逆时针：为“+” 顺时针：为“–”
∑ Fn = 0 : σα dA + (τ dAcosα )sinα + (τ ′dAsinα )cosα = 0
∑ Ft = 0 : ταdA − (τ dAcosα )cosα + (τ ′dAsinα )sinα = 0
时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
τ = G⋅γ
21
τ = G⋅γ
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因γ 无量纲，故G的量纲与τ 相同，不同材料的G值可通过实验确定， 钢材的G值约为80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三
个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：
G
=
E 2(1 +
µ)
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
就可以推算出来。
22
(3) 物理关系与应力分布：
胡克定律：
τρ
= G⋅γρ
=G⋅ρ
dϕ dx
=
ρ
⋅
G
dϕ dx
τρ
=
ρ
G
dϕ dx
τ max
= G⋅γ
= G ⋅ R ⋅ dϕ dx
23
(4) 静力学关系：
T = ∫ A dA ⋅τ ρ ⋅ ρ
τ =τ′
解得： σα = −τ sin2α ; τα = τ cos2α 40
σα = −τ sin2α ; τα = τ cos2α
当α = 0°， σ 0° = 0 , τ0° = τ max = τ 当α = 45°， σ 45° = σ min = −τ , τ45° = 0
当α = – 45°，σ −45° = σ max = τ , τ −45° = 0
m2 1
∑m =0 , x
T1 + m2 = 0
T1 = −m2 = −4.78kN ⋅ m
T2 + m2 + m3 = 0 ,
A1
m3 2 m1 B2 C
T2 = −m2 − m3 = −(4.78 + 4.78) = −9.56kN ⋅ m
3 m4 n 3D
T3 − m4 = 0 , T3 = m4 = 6.37kN ⋅ m
37
5、等直圆杆扭转时斜截面上的应力
低碳钢试件： 沿横截面断开。
铸铁试件： 沿与轴线约成45°的 螺旋线断开。 讨论扭转轴的破坏规律，需要研究斜截面上的应力。
38
M (a)
´ (b)
1. 点M的应力单元体如图(b)： 2. 斜截面上的应力；
取分离体如图(d)：
´ d)
39
(d)
18
2 圆轴扭转时的应力
(1) 变形几何关系：
γρ
≈
tgγ ρ
=
G1G′ dx
=
ρ ⋅ dϕ dx
γ = R dϕ dx
距圆心为 ρ 任一点处的γρ与到圆心的距离ρ成正比。
dϕ —— 扭转角沿长度方向的变化率。 dx
19
(2) 剪切胡克定律：
20
T=m
τ
ϕ
γ
T ∝ϕ
τ ∝γ
剪切胡克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限
31
3、薄壁圆筒的切应力：
∫Aτ ⋅ dA ⋅ r0 = T
∴ τ ⋅ r0 ⋅ ∫ AdA = τ ⋅ r0 ⋅ 2π r0 ⋅ t = T τ
τ
∴
τ
=
T 2π r02
t
=
T 2 A0
t
A0：平均半径所作圆的面积。
32
§5–1 圆轴扭转时的应力和变形计算
1 圆轴扭转的变形特征 2 圆轴扭转时的应力 3 薄壁圆筒的切应力 4 剪应力互等定理 5 圆轴扭转时斜截面上的应力 6 扭转时的变形