最新人教版九年级数学下册《第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似》优质教学课件

求证：△ABC ∽△AED. 证明：∵ AB ·AD = AE·AC，
∴ AB AC . AE AD
又∵ ∠DAB =∠CAE，
A D
∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE，
即∠DAE =∠BAC．
E
∴ △ABC ∽△AED.
B
C
拓展提升
6. 如图，已知 △ABC 中，D 为边 AC 上一点，P 为边
∠A = 120°，AB = 7 cm，AC = 14 cm， ∠A′ = 120°，A′B′ = 3 cm ，A′C′ = 6 cm．
解：∵ AB 7， AC 14 = 7 , ∴ AB AC .
A' B' 3 A'C' 6 3
A' B' A' C'
又 ∠A′ = ∠A，∴△ABC∽△A′B′C′.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． A'
符号语言：
在 △ABC 和 △A′B′C′ 中，
∵ AB AC ，∠A =∠A′，
B'
A' B' A' C'
A C'
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
B
C
思考： 对于△ABC和 △A′B′C′，如果 AB AC ，∠C = A' B' A' C'
∠C′，这两个三角形一定会相似吗？试着画画看.
练一练
1. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC = 3.5 cm，
BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm.
C
求证：△DEF∽△ABC.
证明：∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，
DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm， ∴ DF EF 3 .
当堂练习
1. 判断
(1) 两个等边三角形相似．
(√)
(2) 两个直角三角形相似．
(×)
(3) 两个等腰直角三角形相似．
(√)
(4) 有一个角是 50° 的两个等腰三角形相似． (×)
2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使
△ABC ∽ △DBA 的条件是
( D)
A. AC : BC = AD : BD
∴ AD AE . AB AC
D E
又 ∵∠DAB = ∠CAE，
B
C
∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，
即 ∠DAE =∠BAC．∴△ABC∽△ADE.
例3 如图，= 1.5，AC = 2，BC = 3，且 AD 3 ，求 DE 的长. AB 4
B
C
∵ A′D=AB， AB AC ， A' B' A' C'
∴ A' D A' E = AC . A' B' A' C' A' C'
∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A， ∴ △A′DE≌△ABC， ∴ △A′B′C′∽△ABC.
D B'
B
A' E
A C'
C
归纳：
由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
∴ 6 : 12 = AP : 8，解得 AP = 4.
D P
∴ 答案为 4 或 9．
C B
课堂小结
两边成比例且 夹角相等的两 个三角形相似
利用两边及夹角判定三角形相似
A'
A
B'
C' B
C
相似三角形的判定定理的运用
课后研讨
1.说一说本节课的收获。 2.谈谈在解决实际问题中有哪些需要 注意或不太懂的地方。
AB AC . 求证：△ABC∽△A′B′C′. A' B' A' C'
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上取点 D，
使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′， D
交 A′C′ 于点 E.
B'
∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.
A'
E A C'
∴ A' D A' E . A' B' A' C'
证明： ∵ CD 是边 AB 上的高，
∴ ∠ADC =∠CDB =90°.
AD
B
∵ AD CD，∴ △ADC∽△CDB. ∴ ∠ACD =∠B.
CD BD
∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
方法总结：解题时需注意挖掘隐含条件，如垂直关系 （三角形的高）可转化为 90° 角等.
∠A =∠A′， AB AC k. 量出 BC 及 B′C′ 的长，它
A' B' A' C'
们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的两个
角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关系？
改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？
如图，在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，已知∠A = ∠A′，
导入新课
复习引入 1. 回忆我们学习过的判定三角形相似的方法. 类比证 明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有 哪些方法？
2. 类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过 两边和夹角来判定两个三角形相似呢？
讲授新课
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
合作探究
两个三角形相似
利用刻度尺和量角器画 △ABC 和 △A′B′C′，使
不一定，如下图，因为不能证明构造的三角形和
原三角形全等.
A′
A
B
C
B′ B″
C′
结论： 如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角
不是两条对应边的夹角，那么这两个三角形不一定 相似，相等的角一般应是两条对应边的夹角.
典例精析 例 1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相
似，并说明理由：
九年级数学下（RJ） 教学课件
第二十七章 相 似
27.2.1 相似三角形的判定
第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的 判定定理.
2. 会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进 行相关计算. (重点、难点)
AB 上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长
度为 4 或 9 时，△ADP 和 △ABC 相似.
A
解析：当△ADP ∽△ACB 时，AP : AB = AD : AC，
∴ AP : 12 = 6 : 8，解得 AP = 9；
当 △ADP ∽△ABC 时，AD : AB = AP : AC， P
= 6，BC = 4，AC = 5，CD = ，求 AD 的长．
解：∵AB
=
6，BC
=
4，AC
=
5，CD
=
，
∴ AB BC 4 . CD AC 5
A
D
又∵∠B=∠ACD，
∴ △ABC ∽ △DCA．
∴ AC BC 4 ．∴ AD 25 . B
C
AD AC 5
4
5. 如图，∠DAB =∠CAE，且 AB ·AD = AE·AC，
A
B. AC : BC = AB : AD
C. AB2 = CD·BC D. AB2 = BD·BC → AB BC B
BD AB
DC
3. 如图，△AEB 和 △FEC 相似 (填 “相似” 或 “不 相似”) .
B
45
A
54
E 36 F
30
C
4. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，AB
提示：解题时要找准对应边.
解：∵ AE = 1.5，AC = 2，∴ AE 3 AD . 又∵∠EAD =∠CAB， AC 4 AB E
∴ △ADE∽△ABC．
B
A
D C
∴ DE AD 3 . ∴ DE 3 BC 9 .
BC AB 4
44
例4 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 AD = CD ，求证：∠ACB = 90°． C CD BD
请以课堂反思的方式写 一写你的收获。
课后作业
1.基础型作业：梳理本节课知识点。 2.发展型作业：完成本课时练习。
总结点评 同学们，我们今天的探索很成
功，但探索远还没有结束，让我们 在今后的学习生涯中一起慢慢去发 现新大陆吧！
再见
AC BC 5
A
FB
又 ∵∠C =∠F = 70°，∴△DEF∽△ABC. D
E
例 2 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD =
AE，AB = AC，∠DAB =∠CAE. 求证：△ABC∽△ADE.
证明：∵ △ABC 与 △ADE 都是等腰三角形， A
∴ AD = AE，AB = AC．