2016考研数三答案

2016考研数三答案
【篇一：2016年考研数学三试题解析超详细版】
txt>一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案
填在题中横线上）
(1) 若limxx?0sinx(cosx?b)?5，则a =______，b =______. e?a . ?2f(2) 设函数f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中
函数g(y)可微，且g(y) ? 0，则??u?v
11?x2xe,??x??22，则12f(x?1)dx?(3) 设f(x)???21??1,x?2?.
(4) 二次型f(x1,x2,x3)?(x1?x2)2?(x2?x3)2?(x3?x1)2的秩为.
22n2?n1???(xi?x)??(yj?y)?
i?1j?1?? e???n1?n2?2??????.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出
的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题
后的括号内）
(7) 函数f(x)?|x|sin(x?2)在下列哪个区间内有界. 2x(x?1)(x?2)
(b) (0 , 1). (c) (1 , 2). (d) (2 , 3). [ ] (a) (?1 , 0).
1??f(),x?0(8) 设f (x)在(?? , +?)内有定义，且limf(x)?a， g(x)??x，则 x????0,x?0
(a) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (b) x = 0必是g(x)的第二类间
断点.
(c) x = 0必是g(x)的连续点.
(d) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. [ ]
(9) 设f (x) = |x(1 ? x)|，则
(a) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点.
(b) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.
(c) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.
(d) x = 0不是f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点.[ ]
(10) 设有下列命题：
(1) 若
n?1
?(u2n?1?u2n)收敛，则?un收敛. n?1- 1 - ??
??
(2) 若un收敛，则.
n??1?un?1000收敛n?1
?
(3) 若limu?1，则n??un?un发散.
n?1
???
(4) 若(un?vn)收敛，则vn都收敛.
n??1?un，n?1?n?1
则以上命题中正确的是
(a) (1) (2). (b) (2) (3). (c) (3) (4). (d) (1) (4). [ ]
(11) 设f?(x)在[a , b]上连续，且f?(a)?0,f?(b)?0，则下列结论中错误的是
(a) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0) f (a).
(b) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0) f (b).
(c) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f?(x0)?0.
(d) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)= 0. [ d ]
(12) 设n阶矩阵a与b等价, 则必有
(a) 当|a|?a(a?0)时, |b|?a.(b) 当|a|?a(a?0)时, |b|??a.
(c) 当|a|?0时, |b|?0. (d) 当|a|?0时, |b|?0. [ ]
互不相等的解，则对应的齐次线性方程组ax?0的基础解系
(a) 不存在. (b) 仅含一个非零解向量.
(c) 含有两个线性无关的解向量. (d) 含有三个线性无关的解向量. [ ] 22
三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15) (本题满分8分)
求xlim1cos2x?0(sinx?x).
(16) (本题满分8分)
- 2 -
求??(x2?y2?y)d?，其中d
2222?1所围成的
d
平面区域(如图).
(17) (本题满分8分)
设f (x) , g(x)在[a , b]上连续，且满足
?xx
af(t)dt??g(t)dt，x ? [a , b)，?bf(t)dt??b
aaag(t)dt.
证明：?bxf(x)dx??b
aaxg(x)dx.
(18) (本题满分9分)
设某商品的需求函数为q = 100 ? 5p，其中价格p ? (0 , 20)，q为需求量.
(i) 求需求量对价格的弹性ed(ed 0)；
(ii) 推导dr
dp?q(1?ed)(其中r为收益)，并用弹性ed说明价格在何范围内变化时，
降低价格反而使收益增加.
(19) (本题满分9分)
设级数
2?4?2?4?6?2?4?6?8??(???x???)
的和函数为s(x). 求：
(i) s(x)所满足的一阶微分方程；
(ii) s(x)的表达式.
(20)(本题满分13分)
(21) (本题满分13分)
设n阶矩阵
- 3 -
??1b?b??
a??b1?b
?? .
?????
??bb?1???
(Ⅰ) 求a的特征值和特征向量;
(Ⅱ) 求可逆矩阵p, 使得p?1ap为对角矩阵.
(22) (本题满分13分)
设a，b为两个随机事件,且p(a)?1
4, p(b|a)?11
3, p(a|b)?2, 令
x???1,a发生， ?1,b发生，
?0，a不发生，y??
?0，b不发生.
求
(Ⅰ) 二维随机变量(x,y)的概率分布;
(Ⅲ) z?x2?y2的概率分布.
(23) (本题满分13分)
设随机变量x的分布函数为
?
??x
- 4 -
2016年考研数学（三）真题解析
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
(1) 若limsinx
x?0ex?a(cosx?b)?5，则a =1，b =?4.
【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.
【详解】因为sinx
e?a(cosxlim?0xx?b)?5，且limsinx?(cosx?b)?0，所以 x?0
xlim?0(ex?a)?0，得a = 1. 极限化为
limsinx
?0ex?a(cosx?b)?xlimx?0x(cosx?b)?1?b?5，得b = ?4. x
因此，a = 1，b = ?4.
【评注】一般地，已知limf(x)
g(x)＝ a，
(1) 若g(x) ? 0，则f (x) ? 0；
(2) 若f (x) ? 0，且a ? 0，则g(x) ? 0.
(2) 设函数f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y) ? 0， ?2
则f?g?(v)
?u?v?g2(v).
【分析】令u = xg(y)，v = y，可得到f (u , v)的表达式，再求偏导数即可.
【详解】令u = xg(y)，v = y，则f (u , v) =u
g(v)?g(v)，
2
所以，?f1?fg?(v)
?u?g(v)，?u?v??g2(v).
?xex2,?1?x1
(3) 设f(x)???2?2，则?2
1f(x?1)dx??1
??1,x1.
??22
【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x ? 1 = t，再利
用对称区间上奇偶函数
的积分性质即可.
【详解】令x ? 1 = t，?2
1f(x?1)dx??1
?1f(t)dt??1
?1f(x)dt
222
1
＝?2x211
?1xedx??1(?1)dx?0?(???1
222)2.
- 5 -
【篇二：2016考研数学一真题及答案解析(完整版)】=txt>一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题
给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．（1）若反常积分
?
??
a
1x?1?x?
b
dx收敛，则（）
?a?a?1且b?1?b?a?1且b?1?c?a?1且a?b?1?d?a?1且a?b?1（2）已知函数f?x???
??2?x?1?,x?1
，则f?x?的一个原函数是（）
??lnx,x?1
2
???x?1?,x?1
?b?f?x???
??x?lnx?1??1,x?1
2
???x?1?,x?1
?a?f?x???
??x?lnx?1?,x?1
22????x?1?,x?1??x?1?,x?1
?c?f?x????d?f?x???
???x?lnx?1??1,x?1?x?lnx?1??1,x?1
（3）若y?1?x2
?
?
2
y??
1?x2?是微分方程y??p?x?y?q?x?的两
2
个解，则q?x??（）
?a?3x?1?x2??b??3x?1?x2??c?
x
1?x2
?d??
x1?x2
?x,x?0?
（4）已知函数f?x???11，则（） 1
,?x?,n?1,2,??n?nn?1
（a）x?0是f?x?的第一类间断点（b）x?0是f?x?的第二类间断
点（c）f?x?在x?0处连续但不可导（d）f?x?在x?0处可导（5）设a，b是可逆矩阵，且a与b相似，则下列结论错误的是（）（a）a与b相似（b）a与b相似（c）a?a与b?b相似（d）a?a与
b?b相似
（6）设二次型f?x1,x2,x3??x1?x2?x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3，则f?x1x,2x,3
2
2
2
t
t
?1
?1
t
t
?1
?1
2??
空间直角坐标下表示的二次曲面为（）
（a）单叶双曲面（b）双叶双曲面（c）椭球面（c）柱面
（7）设随机变量x~n
??,?????0?，记p?p?x?????，则（）
2
2
（a）p随着?的增加而增加（b）p随着?的增加而增加（c）p随着?的增加而减少（d）p随着?的增加而减少（8）随机试验e有三种两两不相容的结果a1,a2,a3，且三种结果发生的概率均为
1
，将3
试验e独立重复做2次，x表示2次试验中结果a1发生的次数，y 表示2次试验中结果a2发生的次数，则x与y的相关系数为（）二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．
tln?1?tsint?dt??__________（9）lim
0x?0
x
1?cosx2
（10）向量场a?x,y,z???x?y?z?i?xyj?zk的旋度
rota?_________
（11）设函数f?u,v?可微，z?z?x,y?由方程?x?1?z?y?xf?x?z,y?确定，则
2
2
dz
?0,1?
?_________
（12）设函数f?x??arctanx?
x
，且f?0??1，则a?________ 2
1?ax
??100??1
（13）行列式
00?
4
2
00?1
?____________.
??1
2
（14）设x1,x2,...,xn为来自总体n?,?的简单随机样本，样本均值x?9.5，参数?的
??
置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则?的置信度为
0.95的双侧置信区间为______.
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）已知平面区域
d???r,??2?r?2?1?cos??,?
??
?
2
???
??
?，
2?
计算二重积分
??xdxdy.
d
（16）（本题满分10分）设函数y(x)满足方程y?2y?ky?0,其中0?k?1.
???证明：反常积分?0
??
y(x)dx收敛；
??
????若y(0)?1,y(0)?1,求?0
y(x)dx的值.
（17）（本题满分10分）设函数f(x,y)满足
?f(x,y)
?(2x?1)e2x?y,且f(0,y)?y?1,lt
?x
是从点(0,0)到点(1,t)的光滑曲线，计算曲线积分i(t)?
?f(x,y)?f(x,y)
dx?dy，并?lt?x?y
求i(t)的最小值
（18）设有界区域?由平面2x?y?2z?2与三个坐标平面围成，?为?整个表面的外侧，计算曲面积分i?
???x
?
2
?1dydz?2ydzdx?3zdxdy
?
（19）（本题满分10分）已知函数f(x)可导，且f(0)?1，0?f(x)?满足xn?1?f(xn)(n?1,2...)，证明：（i）级数
1
，设数列?xn?2
?(x
n?1
?
n?1
?xn)绝对收敛；
（ii）limxn存在，且0?limxn?2.
n??
n??
?1?1?1??2???
a1?,b??1（20）（本题满分11分）设矩阵a??2
??11a???a?1???
当a为何值时，方程ax?b无解、有唯一解、有无穷多解？
2?
?a? ?2??
?0?11?
??
（21）（本题满分11分）已知矩阵a??2?30?
?000???
（i）求a
（ii）设3阶矩阵b?(?,?2,?3)满足b?ba，记b100?(?1,?2,?3)将?1,?2,?3分别表示为?1,?2,?3的线性组合。

（22）（本题满分11分）设二维随机变量(x,y)在区域d?
2
99
??x,y?
0?x?1,x
2
?y?
上服从均匀分布，令
?1,x?y
u??
?0,x?y
（i）写出(x,y)的概率密度；
（ii）问u与x是否相互独立？并说明理由；（iii）求z?u?x的分布函数f(z).
?3x2
,0?x???
（23）设总体x的概率密度为f?x,?????3，其中???0，???为未知参数，
?0,其他?x1,x2,x3为来自总体x的简单随机样本，令
t?max?x1,x2,x3?。

（1）求t的概率密度
（2）确定a，使得at为?的无偏估计
参考答案：
【篇三：2016考研数学一真题-后附答案】
研数学（一）真题完整版
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．（1）若反常积分
?
??
a
1x?1?x?
b
收敛，则（）
（a）a与b相似（b）a与b相似（c）a?a与b?b相似（d）a?a 与b?b相似
（6）设二次型f?x1,x2,x3??x1?x2?x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3，则f?x1x,2x,3
2
2
t
t
?1
?1
t
t
?1
?1
2??
在
空间直角坐标下表示的二次曲面为（）
（a）单叶双曲面（b）双叶双曲面（c）椭球面（c）柱面
耶鲁考研
2
（7）设随机变量x~n
??,?????0?，记p?p?x?????，则（）
2
（a）p随着?的增加而增加（b）（c）p随着?的增加而减少（d）p随着?的增加而增加 p随着?的增加而减少
1
，将
3
（8）随机试验e有三种两两不相容的结果a1,a2,a3，且三种结果
发生的概率均为
2
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）已知平面区域
d???r,??2?r?2?1?cos??,?
??
?
2
???
??
?，
计算二重积分
??xdxdy.
d
（16）（本题满分10分）设函数y(x)满足方程y?2y?ky?0,其中0?k?1.
??
耶鲁考研
???证明：反常积分?0
y(x)dx收敛；
??0
????若y(0)?1,y(0)?1,求?
y(x)dx的值.
（17）（本题满分10分）设函数f(x,y)满足
?f(x,y)
?(2x?1)e2x?y,且f(0,y)?y?
1,lt
?x
?
（i）求a
（ii）设3阶矩阵b?(?,?2,?3)满足b?ba，记b100?(?1,?2,?3)将?1,?2,?3分别表示为?1,?2,?3的线性组合。

（22）（本题满分11分）设二维随机变量(x,y)在区域d?
2
99
??x,y?0?x?1,x
2
?y?
耶鲁考研
上服从均匀分布，令
?1,x?y
u??
0,x?y?
（i）写出(x,y)的概率密度；
（ii）问u与x是否相互独立？并说明理由；（iii）求z?u?x的分布函数f(z).
耶鲁考研。