数学人教B版必修4：第三章 三角恒等变换 综合检测 Word版含解析

综合检测(三) 第三章 三角恒等变换
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2019·新余高一检测)cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°的值是( ) A ．－3
2 B.12 C.32 D ．－12
【解析】 原式＝cos 43°sin 13°－sin 43°cos 13°＝sin(13°－43°)＝sin(－30°)＝－12.
【答案】 D
2．已知tan(π－α)＝2，则1
sin αcos α等于( ) A.5
2 B.75 C ．－52
D ．－75 【解析】 由tan(π－α)＝2，得tan α＝－2， ∴1sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝tan 2α＋1tan α＝－5
2. 【答案】 C
3．(2019·德州高一检测)函数f (x )＝2sin(π
4－x ) cos(π
4＋x )－1是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数
D ．最小正周期为π的偶函数
【解析】 f (x )＝2sin(π4－x )cos(π
4＋x )－1 ＝2cos[π2－(π4－x )]·cos(π
4＋x )－1
＝2cos(π4＋x )·cos(π4＋x )－1＝2cos 2(π
4＋x )－1 ＝cos 2(π4＋x )＝cos(π
2＋2x )＝－sin 2x . ∴T ＝π，且f (x )是奇函数．故选B. 【答案】 B
4．(2019·合肥高一检测)tan(α＋β)＝25，tan(α＋π4)＝322，那么tan(β－π
4)＝( ) A.15 B.1318 C.14
D.1322
【解析】 tan(β－π4 )＝tan[(α＋β)－(α＋π
4 )]＝tan (α＋β)－tan (α＋π
4)
1＋tan (α＋β)tan (α＋π4
)
＝
25－3221＋25×322
＝1
4. 【答案】 C
5．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( ) A ．[－π，－5π
6] B ．[－5π6，－π
6] C ．[－π
3，0]
D ．[－π
6，0]
【解析】 f (x )＝2sin(x －π
3)，x ∈[－π，0]， 由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2，得2k π－π6≤x ≤2k π＋5
6π ∴递增区间为[－π
6，0]．
【答案】 D
6．(2019·江西高考)若sin α2＝3
3，则cos α＝( ) A ．－23 B ．－13 C.13
D.23
【解析】 cos α＝1－2sin 2α
2＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫332
＝1－23＝13. 【答案】 C
7．(2019·洋浦高一检测)在△ABC 中，若sin C ＝2cos A sin B ，则此三角形必是( )
A ．等腰三角形
B ．正三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
【解析】 △ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2cos A sin B ，
∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0， ∴A ＝B . 【答案】 A
8．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A sin B ，y ＝cos A cos B ，则x ，y 的大小关系为( )
A ．x ≤y
B ．x ＞y
C ．x ＜y
D ．x ≥y
【解析】 x －y ＝sin A sin B －cos A cos B ＝－cos(A ＋B )，因为△ABC 是锐角三角形，故π
2＜A ＋B ＜π，
∴－cos(A ＋B )＞0，∴x ＞y . 【答案】 B
9．已知sin(π4－θ)＋cos(π4－θ)＝1
5，则cos 2θ的值为( ) A ．－725
B.725
C ．－2425 D.2425
【解析】 将sin(π4－θ)＋cos(π4－θ)＝15两边平方得，1＋2sin(π4－θ)cos(π
4－θ)＝125，
即1＋sin(π2－2θ)＝125，cos 2θ＝－24
25. 【答案】 C
10．若cos α＝－4
5，α是第三象限的角，则1＋tan α2
1－tan α2
＝( ) A ．－12 B.12 C ．2
D ．－2
【解析】 α是第三象限的角且cos α＝－4
5， ∴sin α＝－3
5.
tan α2＝sin α1＋cos α
＝－35
15＝－3，
∴1＋tan α2
1－tan α2＝－24＝－
1
2. 【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．若cos α＝45，α∈(0，π2)，则cos(α－π
3)＝________. 【解析】 由题意知sin α＝3
5， cos(α－π3)＝cos α·cos π3＋sin α·sin π
3.
＝45·12＋35·32＝4＋3310. 【答案】
4＋33
10
12．tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π
6＋θ)的值是________． 【解析】 ∵tan π3＝tan(π6－θ＋π
6＋θ) ＝
tan (π6－θ)＋tan (π6＋θ)
1－tan (π6－θ)tan (π
6＋θ)
＝3，
∴3＝tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π
6＋θ)． 【答案】
3
13．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝1
3，那么log 5
tan αtan β＝________.
【解析】 由题意有sin αcos β＋cos αsin β＝1
2， sin αcos β－cos αsin β＝1
3
，
两式相加得sin αcos β＝512，两式相减得cos αsin β＝1
12. 则tan α
tan β＝5，故log 5
tan α
tan β＝2.
【答案】 2
14．(2019·四川高考)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π，则tan 2α的值是________．
【解析】 ∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π，sin α≠0，
∴cos α＝－12.
又∵α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，π，∴α＝23π，
∴tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫π＋π3＝tan π3＝ 3.
【答案】 3
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)化简：3tan 12°－3
sin 12°(4cos 212°－2)
.
【解】 原式＝
3(sin 12°
cos 12°－3)
sin 12°×2(2cos 212°－1)
＝3(sin 12°－3cos 12°)2sin 12°cos 12°cos 24°
＝23(sin 12°cos 60°－cos 12°sin 60°)sin 24°cos 24°
＝2×23sin (12°－60°)2sin 24°cos 24° ＝
－43sin 48°
sin 48°＝－4 3.
16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A cos(x 4＋π6)，x ∈R ，且f (π
3)＝ 2. (1)求A 的值；
(2)设α，β∈[0，π2]，f (4α＋43π)＝－3017，f (4β－23π)＝8
5，求cos(α＋β)的值． 【解】 (1)由f (π3)＝2得A cos(π12＋π
6)＝2， 即A ·cos π
4＝2，∴A ＝2. (2)由(1)知f (x )＝2cos(x 4＋π
6)． 由⎩⎪⎨⎪⎧
f (4α＋43π)＝－3017，f (4β－23π)＝85
得⎩⎪⎨⎪⎧
2cos (α＋π3＋π6)＝－3017，2cos (β－π6＋π6)＝8
5，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
sin α＝15
17，cos β＝4
5.
∵α，β∈[0，π2]，∴cos α＝1－sin 2α＝8
17， sin β＝1－cos 2β＝3
5.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－13
85.
17．(本小题满分12分)(2019·辽宁高考)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2.
(1)若|a|＝|b|，求x 的值；
(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 【解】 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋sin 2 x ＝4sin 2x ， |b |2＝cos 2x ＋sin 2x ＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.
又x ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.
(2)f (x )＝a·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为3
2.
18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin 2(π
4－x )－3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和单调递减区间；
(2)若f (x )＜m ＋2在x ∈[0，π
6]上恒成立，求实数m 的取值范围． 【解】 (1)∵f (x )＝1－cos(π
2－2x )－3cos 2x ＝－(sin 2x ＋3cos 2x )＋1 ＝－2sin(2x ＋π
3)＋1，
∴f (x )的最小正周期T ＝2π
2＝π，
由2kπ－π
2≤2x＋
π
3≤2kπ＋
π
2，k∈Z可得kπ－
5π
12≤x≤kπ＋
π
12，k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间为[kπ－5
12π，kπ＋
π
12](k∈Z)．
(2)∵x∈[0，π
6]，
∴π
3≤2x＋
π
3≤
2
3π，∴
3
2≤sin(2x＋
π
3)≤1，
∴当sin(2x＋π
3)＝
3
2时，f(x)取得最大值为1－3，即f(x)max＝1－ 3.
要使f(x)＜m＋2恒成立，需f(x)max＜m＋2，∴1－3＜m＋2，解得m＞－1－3，
∴m的取值范围是(－1－3，＋∞)．。