正切函数的性质与图象
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03 课 后 案 学 业 评 价
01
课前案 自主学习
[教材梳理] 导学 1 正切函数的性质
正切函数 y＝tan x 的定义域是什么？
[提示]
x
x≠kπ＋π2，k∈Z.
诱导公式 tan(π＋x)＝tan x 说明了正切函数的什么性质？tan(kπ＋x)(k∈Z) 与 tan x 的关系怎样？
[提示] 周期性．tan(kπ＋x)＝tan x(k∈Z)．
函数 y＝|tan x|的单调递增区间kπ，kπ＋π2(k∈Z)，
单调递减区间为kπ－π2，kπ(k∈Z)．
[规律方法] 1. 熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是 被相互平行的直线 x＝π2＋kπ，k∈Z 隔开的无穷多支曲线组成，y＝tan x 的对称中心为 k2π，0，k∈Z. 2．作函数 y＝|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤 (1)保留函数 y＝f(x)图象在 x 轴上方的部分； (2)将函数 y＝f(x)图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴向上翻折． 3．若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定 义域上即可．
画出正切函数 y＝tan x，x∈－π2，π2的简图吗？怎样画？
[提示] 能，三个关键点：π4，1，(0,0)，－π4，－1，两条平行线：x＝π2，x＝－π2.
◎结论形成 1．正切函数的图象
2．正切函数的图象叫做__正__切__曲__线____ . 3．正切函数的图象特征 正切曲线是被与 y 轴平行的一系列直线____x_＝__π2_＋__k_π_，__k_∈__Z_____所隔开的无穷多支 形状相同的曲线组成的．
(2)比较大小：tan－74π________tan－95π.
[自主解答] (1)y＝tan－12x＋π4＝－tan12x－π4， 由 kπ－π2<12x－π4<kπ＋π2(k∈Z)，得 2kπ－π2<x<2kπ＋32π(k∈Z)， 所以函数 y＝tan－12x＋π4的单调递减区间是2kπ－π2，2kπ＋32π， k∈Z，周期 T＝－π12＝2π.
(2)∵tan－74π＝－tan2π－π4＝tan π4，
tan－95π＝－tan2π－π5＝tan
π 5.
又 0＜π5＜π4＜π2，y＝tan x 在0，π2内单调递增，
∴tan π5＜tan π4，∴tan－74π＞tan－95π.
[答案] (1)略 (2)＞
[规律方法] 1．求函数 y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ 都是常数)的单调区间的方法 (1)若 ω>0，由于 y＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的 思想，令 kπ－π2<ωx＋φ<kπ＋π2，求得 x 的范围即可． (2)若 ω<0，可利用诱导公式先把 y＝Atan(ωx＋φ)转化为 y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－ Atan(－ωx－φ)，即把 x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得 x 的范围即 可．
[触类旁通] 1．(1)函数 y＝3tan(π＋x)，－π4<x≤π6的值域为________． (2)函数 y＝lg( 3－tan x)的定义域为________．
解析 (1)函数 y＝3tan(π＋x)＝3tan x，因为正切函数在－π4，π6上是增函数， 所以－3<y≤ 3，所以值域为(－3， 3]．
[母题变式] 把例 3 中的函数换为“y＝|tan x|”，并根据其图象判断其单调区间、奇偶性、周期 性．
解析
由 y＝|tan x|得，y＝t－antaxn，xk，π≤－xπ2＜＋kkππ＋<xπ2<kkπ∈kZ∈，Z
其图象如图：
由图象可知，函数 y＝|tan x|是偶函数．
函数 y＝|tan x|的周期 T＝π，
诱导公式 tan(－x)＝－tan x 说明了正切函数的什么性质？ [提示] 奇偶性．
从正切线上观察，正切函数值是有界的吗？ [提示] 不是，正切函数没有最大值和最小值．
π 从正切线上观察，正切函数值在0，2上是增大的吗？ [提示] 是．
◎结论形成 函数
定义域
值域 最小正周期
奇偶性
单调性
y＝tan x
________x_|_x≠ __k_π_＋__π2_，__k_∈__Z__ ______ ___R____
T＝___π____ ___奇__函__数___ 在每个开区间__ (k∈Z)上都是增函数
导学 2 正切函数的图象 我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地
(2)因为 3－tan x＞0，所以 tan x＜ 3.
又因为 tan x＝ 3时，x＝π3＋kπ(k∈Z)，根据正切函数图象，
得 kπ－π2＜x＜kπ＋π3(k∈Z)．
答案
(1)(－3， 3]
(2)x
kπ－π2＜x＜kπ＋π3，k∈Z
题型二 正切函数的单调性及应用 (1)求函数 y＝tan－12x＋π4的单调区间及最小正周期．
4．比较大小：tan12________tan52.
解析
因为
tan12>0，tan52<0，所以
15 tan2>tan2.
答案 ＞
02
课堂案 题型探究
题型一 正切函数的定义域、值域问题 (1)函数 y＝tan2x－π4的定义域是________．
(2)函数 y＝tan2x＋4tan x－1 的值域是________．
03
课后案 学业评价
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[基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是 R.( ) (2)正切函数在整个定义域上是增函数．( ) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( ) (4)存在某个区间，使正切函数为减函数．( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．函数 y＝2tan3x＋π4的最小正周期是(
易错警示：在例 2(1)中容易出现的失误为直接令 kπ－π2<－12x＋π4<kπ＋π2求解函数的 单调区间．
2．运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系．
[触类旁通] 2．比较 tan 1，tan 2，tan 3 的大小． 解析 ∵1<π2<2<3<π，根据 y＝tan x 的性质可得： y＝tan x 在0，π2上单调递增且大于 0， 在π2，π上单调递增且小于 0， ∴tan 2<tan 3<0，tan 1>0， ∴tan 2<tan 3<tan 1.
(2)令2x－π3＝0，则 x＝23π； 令2x－π3＝π4，则 x＝76π； 令2x－π3＝－π4，则 x＝π6； 令2x－π3＝π2，则 x＝53π； 令2x－π3＝－π2，则 x＝－π3.
∴函数 y＝tan2x－π3的图象与 x 轴的一个交点坐标是23π，0，在这个交点左，右两 侧相邻的两条渐近线方程分别是 x＝－π3，x＝53π，从而得到函数 y＝f(x)在一个周期 －π3，53π内的简图(如图)．
)
A．π6
B．π3
C．π2
D．π
解析 T＝π3.
答案 B
3．函数 f(x)＝tanx＋π4的单调增区间是(
)
A．kπ－π2，kπ＋π2，k∈Z
B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z
C.kπ－34π，kπ＋π4，k∈Z
D.kπ－π4，kπ＋34π，k∈Z
解析 由－π2＋kπ<x＋π4<π2＋kπ，k∈Z， 得－34π＋kπ<x<π4＋kπ，k∈Z， 故 f(x)的单调增区间是－34π＋kπ，π4＋kπ，k∈Z. 答案 C
题型三 正切函数综合问题 一题多变 设函数 f(x)＝tan2x－π3.
(1)求函数 f(x)的最小正周期，对称中心； (2)作出函数 f(x)在一个周期内的简图．
[自主解答] (1)∵ω＝12， ∴最小正周期 T＝ωπ＝π1＝2π.
2 令2x－π3＝k2π(k∈Z)，得 x＝kπ＋23π(k∈Z)， ∴f(x)的对称中心是kπ＋23π，0(k∈Z)．
[素养聚焦] 在求解正切函数的定义域和值域的过程中，培养了数学抽象、数学运 算核心素养．
[规律方法] 求正切函数定义域的方法及求值域的注意点
求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证 正切函数 y＝tan x 有意义，即 x≠π2＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角 函数的图象求解．解形如 tan x>a 的不等式的步骤：
第五章 三角函数 §5.4 三角函数的图象与性质 §5.4.3 正切函数的性质与图象
学业标准 1．能画出正切函数的图象．(重点) 2．掌握正切函数的奇偶性、周期性．(重点) 3．掌握正切函数的单调性，并能利用单调性解决相应的问题．(重点、难点)
01 课 前 案 自 主 学 习
栏目 02 课 堂 案 题 型 探 究
[自主解答] (1)因为 2x－π4≠π2＋kπ(k∈Z)⇒x≠38π＋k2π(k∈Z)，
所以定义域为x
x≠k2π＋38π，k∈Z.
(2)令 t＝tan x，则 t∈R，
故 y＝t2＋4t－1＝(t＋2)2－5≥－5，
所求的值域为[－5，＋∞)．
[答案]
(1)x
x≠k2π＋38π，k∈Z
(2)[－5，＋∞)
01
课前案 自主学习
[教材梳理] 导学 1 正切函数的性质
正切函数 y＝tan x 的定义域是什么？
[提示]
x
x≠kπ＋π2，k∈Z.
诱导公式 tan(π＋x)＝tan x 说明了正切函数的什么性质？tan(kπ＋x)(k∈Z) 与 tan x 的关系怎样？
[提示] 周期性．tan(kπ＋x)＝tan x(k∈Z)．
函数 y＝|tan x|的单调递增区间kπ，kπ＋π2(k∈Z)，
单调递减区间为kπ－π2，kπ(k∈Z)．
[规律方法] 1. 熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是 被相互平行的直线 x＝π2＋kπ，k∈Z 隔开的无穷多支曲线组成，y＝tan x 的对称中心为 k2π，0，k∈Z. 2．作函数 y＝|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤 (1)保留函数 y＝f(x)图象在 x 轴上方的部分； (2)将函数 y＝f(x)图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴向上翻折． 3．若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定 义域上即可．
画出正切函数 y＝tan x，x∈－π2，π2的简图吗？怎样画？
[提示] 能，三个关键点：π4，1，(0,0)，－π4，－1，两条平行线：x＝π2，x＝－π2.
◎结论形成 1．正切函数的图象
2．正切函数的图象叫做__正__切__曲__线____ . 3．正切函数的图象特征 正切曲线是被与 y 轴平行的一系列直线____x_＝__π2_＋__k_π_，__k_∈__Z_____所隔开的无穷多支 形状相同的曲线组成的．
(2)比较大小：tan－74π________tan－95π.
[自主解答] (1)y＝tan－12x＋π4＝－tan12x－π4， 由 kπ－π2<12x－π4<kπ＋π2(k∈Z)，得 2kπ－π2<x<2kπ＋32π(k∈Z)， 所以函数 y＝tan－12x＋π4的单调递减区间是2kπ－π2，2kπ＋32π， k∈Z，周期 T＝－π12＝2π.
(2)∵tan－74π＝－tan2π－π4＝tan π4，
tan－95π＝－tan2π－π5＝tan
π 5.
又 0＜π5＜π4＜π2，y＝tan x 在0，π2内单调递增，
∴tan π5＜tan π4，∴tan－74π＞tan－95π.
[答案] (1)略 (2)＞
[规律方法] 1．求函数 y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ 都是常数)的单调区间的方法 (1)若 ω>0，由于 y＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的 思想，令 kπ－π2<ωx＋φ<kπ＋π2，求得 x 的范围即可． (2)若 ω<0，可利用诱导公式先把 y＝Atan(ωx＋φ)转化为 y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－ Atan(－ωx－φ)，即把 x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得 x 的范围即 可．
[触类旁通] 1．(1)函数 y＝3tan(π＋x)，－π4<x≤π6的值域为________． (2)函数 y＝lg( 3－tan x)的定义域为________．
解析 (1)函数 y＝3tan(π＋x)＝3tan x，因为正切函数在－π4，π6上是增函数， 所以－3<y≤ 3，所以值域为(－3， 3]．
[母题变式] 把例 3 中的函数换为“y＝|tan x|”，并根据其图象判断其单调区间、奇偶性、周期 性．
解析
由 y＝|tan x|得，y＝t－antaxn，xk，π≤－xπ2＜＋kkππ＋<xπ2<kkπ∈kZ∈，Z
其图象如图：
由图象可知，函数 y＝|tan x|是偶函数．
函数 y＝|tan x|的周期 T＝π，
诱导公式 tan(－x)＝－tan x 说明了正切函数的什么性质？ [提示] 奇偶性．
从正切线上观察，正切函数值是有界的吗？ [提示] 不是，正切函数没有最大值和最小值．
π 从正切线上观察，正切函数值在0，2上是增大的吗？ [提示] 是．
◎结论形成 函数
定义域
值域 最小正周期
奇偶性
单调性
y＝tan x
________x_|_x≠ __k_π_＋__π2_，__k_∈__Z__ ______ ___R____
T＝___π____ ___奇__函__数___ 在每个开区间__ (k∈Z)上都是增函数
导学 2 正切函数的图象 我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地
(2)因为 3－tan x＞0，所以 tan x＜ 3.
又因为 tan x＝ 3时，x＝π3＋kπ(k∈Z)，根据正切函数图象，
得 kπ－π2＜x＜kπ＋π3(k∈Z)．
答案
(1)(－3， 3]
(2)x
kπ－π2＜x＜kπ＋π3，k∈Z
题型二 正切函数的单调性及应用 (1)求函数 y＝tan－12x＋π4的单调区间及最小正周期．
4．比较大小：tan12________tan52.
解析
因为
tan12>0，tan52<0，所以
15 tan2>tan2.
答案 ＞
02
课堂案 题型探究
题型一 正切函数的定义域、值域问题 (1)函数 y＝tan2x－π4的定义域是________．
(2)函数 y＝tan2x＋4tan x－1 的值域是________．
03
课后案 学业评价
点击进入Word
谢谢观看
[基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是 R.( ) (2)正切函数在整个定义域上是增函数．( ) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( ) (4)存在某个区间，使正切函数为减函数．( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．函数 y＝2tan3x＋π4的最小正周期是(
易错警示：在例 2(1)中容易出现的失误为直接令 kπ－π2<－12x＋π4<kπ＋π2求解函数的 单调区间．
2．运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系．
[触类旁通] 2．比较 tan 1，tan 2，tan 3 的大小． 解析 ∵1<π2<2<3<π，根据 y＝tan x 的性质可得： y＝tan x 在0，π2上单调递增且大于 0， 在π2，π上单调递增且小于 0， ∴tan 2<tan 3<0，tan 1>0， ∴tan 2<tan 3<tan 1.
(2)令2x－π3＝0，则 x＝23π； 令2x－π3＝π4，则 x＝76π； 令2x－π3＝－π4，则 x＝π6； 令2x－π3＝π2，则 x＝53π； 令2x－π3＝－π2，则 x＝－π3.
∴函数 y＝tan2x－π3的图象与 x 轴的一个交点坐标是23π，0，在这个交点左，右两 侧相邻的两条渐近线方程分别是 x＝－π3，x＝53π，从而得到函数 y＝f(x)在一个周期 －π3，53π内的简图(如图)．
)
A．π6
B．π3
C．π2
D．π
解析 T＝π3.
答案 B
3．函数 f(x)＝tanx＋π4的单调增区间是(
)
A．kπ－π2，kπ＋π2，k∈Z
B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z
C.kπ－34π，kπ＋π4，k∈Z
D.kπ－π4，kπ＋34π，k∈Z
解析 由－π2＋kπ<x＋π4<π2＋kπ，k∈Z， 得－34π＋kπ<x<π4＋kπ，k∈Z， 故 f(x)的单调增区间是－34π＋kπ，π4＋kπ，k∈Z. 答案 C
题型三 正切函数综合问题 一题多变 设函数 f(x)＝tan2x－π3.
(1)求函数 f(x)的最小正周期，对称中心； (2)作出函数 f(x)在一个周期内的简图．
[自主解答] (1)∵ω＝12， ∴最小正周期 T＝ωπ＝π1＝2π.
2 令2x－π3＝k2π(k∈Z)，得 x＝kπ＋23π(k∈Z)， ∴f(x)的对称中心是kπ＋23π，0(k∈Z)．
[素养聚焦] 在求解正切函数的定义域和值域的过程中，培养了数学抽象、数学运 算核心素养．
[规律方法] 求正切函数定义域的方法及求值域的注意点
求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证 正切函数 y＝tan x 有意义，即 x≠π2＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角 函数的图象求解．解形如 tan x>a 的不等式的步骤：
第五章 三角函数 §5.4 三角函数的图象与性质 §5.4.3 正切函数的性质与图象
学业标准 1．能画出正切函数的图象．(重点) 2．掌握正切函数的奇偶性、周期性．(重点) 3．掌握正切函数的单调性，并能利用单调性解决相应的问题．(重点、难点)
01 课 前 案 自 主 学 习
栏目 02 课 堂 案 题 型 探 究
[自主解答] (1)因为 2x－π4≠π2＋kπ(k∈Z)⇒x≠38π＋k2π(k∈Z)，
所以定义域为x
x≠k2π＋38π，k∈Z.
(2)令 t＝tan x，则 t∈R，
故 y＝t2＋4t－1＝(t＋2)2－5≥－5，
所求的值域为[－5，＋∞)．
[答案]
(1)x
x≠k2π＋38π，k∈Z
(2)[－5，＋∞)