九年级数学下册 第28章 知识整合深度解析(教材知识详析 拉.

时需要添加辅助线构造直角三角形;③当已知中涉及到圆的 知 识 时,注 意 同 弧 或 等
弧、直 径 所 对 的 圆 周 角 是 直 角 等 知 识 的 应 用;④ 当 在 网 格 中 求 三 角 函 数 值 时,注 意
结合勾股定理的知识求三角函数值．
例
１
如
图
２８Ｇ１,已
知
△ABC,∠C＝９０°,tanA＝
修 路 筑 堤 等 ．题 型 多 种 多 样 ,但 多 为 解 答 题 ．
解题思路梳理:本专题解题 时 要 抓 住 以 下 几 点:① 能 结 合 图 形 正 确 理 解 仰 角、
俯角、坡 度、坡 角 等 名 词;② 注 意 结 合 图 形 找 出 问 题 中 的 已 知 边 和 角 以 及 未 知 的 边
格、三角形、圆等)来考查,主要考查求锐角的正切、正弦和 余 弦,题 型 以 选 择 题 和 填
空 题 为 主 ,难 度 中 等 ．
解题思路梳理:本专题解题时要抓住以下几点:①各三角 函 数 值 与 边 之 间 的 对
应关系;②三角函数是在直角三角形中定义的,因此当已知三 角 形 不 是 直 角 三 角 形
和角,应 用 三 角 函 数 的 定 义 求 解;③ 注 意 把 实 际 问 题 转 化 成 数 学 问 题,找 出 问 题 中
的 直 角 三 角 形 ,运 用 直 角 三 角 形 的 知 识 解 决 ．
例４ 某市正在进行商业 街 改 造,商 业 街 起 点 在 古 民 居 P 的 南 偏 西 ６０ 度 方
向上的 A 处,现已改造至古民居 P 的南偏西３０度 方 向 上 的 B 处,A 与B 相 距 １５０ 米,且 B 在A 的正东方向．为 了 不 破 坏 古 民 居 的 风 貌,按 有 关 规 定,在 古 民 居 的 周 围１００米内不得修建现代化 商 业 街,若 工 程 队 继 续 向 正 东 方 向 修 建 ２００ 米 商 业 街 到 C 处,则对于从 B 到C 的商业街改造是否违反有关规定?
图 ２８Ｇ４
精析:本题实质上是要求出点 P 到 直 线 AB 的 距 离,故 需 过 点 P 作 直 线 AB
的垂线,利用直角三角形中 的 边 角 关 系 求 解 即 可,再 将 所 求 数 据 与 １００ 比 较 大 小, 若 此 数 据 比 １００ 小 ,则 违 反 有 关 规 定 ;若 此 数 据 比 １００ 大 ,则 不 违 反 有 关 规 定 ．
关
键
．设
AB＝x
米
,在
Rt△ABC
中
,由 tanα＝BxC ＝
３ ４
,可 求
得
BC,然
后
在
Rt△ABD 中,由tan２６．６°＝BC＋x２００,以及题中已知条件可求得答案．
解答:设 AB＝x 米,
在
Rt△ABC
中
,∵
tanα＝BxC ＝
３ ４
,
∴ BC＝ ４３x．
在 Rt△ABD 中,∵ tan２６．６°＝BC＋x２００＝ ４３xx＋２００＝０．５０,
图 ２８Ｇ９
A．３４
B．４３
C．３５
D．４５
精析:连接 BD,因为 EF 是△ABD 的中位线,所以 BD＝２EF＝４,由 于 CD２＋
BD２
＝BC２
,所
以
∠BDC＝９０°,所
以tanC＝CBDD
＝
４ ３
．
解 答 :B．
例５ (２０１１������山东东营)河堤横断面 如 图 ２８Ｇ１０ 所 示,堤 高 BC＝５ 米,迎 水 坡
知识结构串联
锐 角
— 特殊角的三角函数值
三 角
→
锐角三角函数 的计算
—→
一般锐角的三角函数值
函 数
— 由三角函数值求锐角
ùú
解 直
实
ú ú
→
角 三
→
际 应
ûú
角 形
用
中考专题透析
专 题 １ 几 何 图 形 与 求 解 三 角 函 数 值 的 整 合
命题热点趋向:在中考试卷 中,三 角 函 数 的 知 识 通 常 借 助 一 定 的 背 景 图 形 (网
,sinB＝
２２．解
得
∠A＝
６０°,∠B＝４５°．
所 以 ∠C＝１８０°－ ∠A－ ∠B＝１８０°－６０°－４５°＝７５°．
解 答 :７５° ．
点拨:几个非负数的和等于０,那么每个 非 负 数 都 等 于 ０．初 中 阶 段 的 三 大 非
负 数 :绝 对 值 、算 术 平 方 根 、偶 次 方 ．
１ ２
,D
是
AC
上
一
点
,∠CBD
＝∠A,则sin∠ABD 等于( )．
A．３５
B．
１０ ５
C．１３０
图 ２８Ｇ１
D．３１０１０
精析:首先设出 BC 的长,根 据 三 角 函 数 值 求 出 BC、AC、CD 的 长,进 而 根 据
勾股定理求出 AB、BD,最后根据相似三角形的性质求出 AB 边上的高．
数值．
专 题 ２ 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 与 运 算 的 整 合
命题热点趋向:中考常将特 殊 角 的 三 角 函 数 与 实 数 相 混 合,设 置பைடு நூலகம்运 算 题,考 查
同学们对特殊角的三角函数值的掌握情况,以及实数的运算 能 力 和 数 感．在 本 知 识 的 考 查 上 ,中 考 试 卷 多 数 是 以 简 单 的 解 答 题 的 形 式 出 现 ,有 时 也 会 出 现 选 择 题 ．
解答:如图２８Ｇ５,过点 P 作PM 垂直AB 于点 M ,
∵ ∠APM ＝６０°,∠BPM ＝３０°,∠AMP＝９０°, ∴ ∠A＝３０°,∠APB＝３０°． ∴ BP＝AB＝１５０．
在 Rt△BPM 中,PM＝BP×cos∠BPM＝１５０× ２３≈１３０＞１００, 所以从 B 到C 的商业街改造不违反有关规定．
图 ２８Ｇ２
∴ DE＝３５５x．
∴
sin∠ABD＝３５５x＝ ５x
３ ５
．故
选
A．
解 答 :A
点拨:要求一个锐 角 的 三 角 函 数 值 时,要 把 这 个 锐 角 放 到 一 个 直 角 三 角 形
中,因此需要构造直角 三 角 形．根 据 锐 角 三 角 函 数 的 定 义 可 求 某 个 锐 角 的 三 角 函
解题思路梳理:本专题解题时要抓住以下几点:①在记忆 特 殊 角 的 三 角 函 数 值
时,可以结合直角三角形图形定义法也可以根据口诀记忆特 殊 角 的 三 角 函 数 值;②
注意sin２A 表示的意思为sinA 的平方;③要 注 意 运 算 顺 序、运 算 法 则、运 算 规 律 的
正确应用．
例２ 在 △ABC 中,若 ∠A、∠B 满 足
例 ３ 如 图 ２８Ｇ３,菱
形
ABCD
的
周
长
为
２０cm,且
tan∠ABD ＝
４ ３
,则
菱
形
ABCD 的面积为 cm２．
图 ２８Ｇ３
精析:连接 AC 交BD 于点O,则 AC⊥BD．
∵ 菱 形 的 周 长 为 ２０cm, ∴ 菱 形 的 边 长 为 ５cm．
在
Rt△ABO
中
,tan∠ABD＝
求解．
最新三年真题
例１ (２０１０������广西钦州)如图２８Ｇ７,为 测 量 一 幢 大 楼 的 高 度,在 地 面 上 距 离 楼
底 O 点２０m 的点 A 处,测 得 楼 顶 B 点 的 仰 角 ∠OAB＝６５°,则 这 幢 大 楼 的 高 度 为 ( )．(结 果 保 留 ３ 个 有 效 数 字 )．
cosA－
１ ２
＋
æ ç èsinB－
２
ö２
÷
２ø
＝０,则
∠C＝ ．
精
析
:由
绝
对
值
与
平
方
的和
等
于
０,所
以
可
以
得
到
cosA－
１ ２
＝０,sinB－
２２＝
０．解得∠A、∠B 的大小．利用三角形的内角和求出∠C 的度数．
由
题
意得
cosA－
１ ２
＝０,sinB－
２２＝０,所
以
cosA＝
１ ２
图 ２８Ｇ８
A．１２
B．１３
C．１４
D．４２
精析:旋转后的三角形与原三角形 全 等,得 ∠B′＝ ∠B;然 后 将 ∠B 放 在 以BC
为斜边,直角边在网 格 线 上 的 直 角 三 角 形 中,∠B 的 对 边 为 １,邻 边 为 ３,tanB′＝
tanB＝
１ ３
,故
选
B．
解 答 :B．
( ) 例３ (２０１１������广西百色)计算
４ ３
,故 可
设
OA＝３x,OB＝４x．
又 AB＝５,因此根据勾股定理可得 AO＝３,BO＝４．
∴ AC＝６,BD＝８．
∴
菱形
ABCD
的
面
积
为
１ ２
×６×８＝２４．
解 答 :２４．
点拨:本 题 要 注 意:１．菱 形 的 面 积 等 于 两 条 对 角 线 乘 积 的 一 半,也 等 于 底 ×
高 ;２．在 直 角 三 角 形 中 ,两 条 直 角 边 的 平 方 和 等 于 斜 边 的 平 方 ．
专 题 ４ 三 角 函 数 与 实 际 问 题 的 整 合
命题热点趋向:在中考试卷中,应用三角函数解决实际问 题 的 知 识 一 直 是 历 年
来中考的热点,涉及面比较 广,常 以 下 列 背 景 考 查:测 量 建 筑 物 的 高 度、航 海 行 程、
专 题 ３ 运 用 三 角 形 中 边 角 关 系 解 直 角 三 角 形 知 识 的 整 合
命题热点趋向:在中 考 试 卷 中,考 查 利 用 锐 角 三 角 函 数 求 直 角 三 角 形 的 边 和
角 ,题 目 的 难 度 不 大 ,一 般 是 以 选 择 题 和 填 空 题 的 形 式 出 现 ．
∴ x＝３００． 故小山岗的高 AB 为３００米．
点拨:这类包括两个直角三角形的解直 角 三 角 形 应 用 题,通 常 都 是 直 接 设 所
求的线段,然后在其中一个直角三角形中利用三角函数表示 出 另 一 条 线 段 的 长 度,
再在另一个直角三角形中,利用三角函数或者勾股定理建立 等 量 关 系,通 过 解 方 程
图 ２８Ｇ５
点拨:在利用锐角 三 角 函 数 解 决 实 际 问 题 时,许 多 问 题 中 并 不 见 直 角 三 角
形,而是通过构造直角三角形,寻找直角三角形中的边角关系 或 利 用 一 个 直 角 三 角
形中的边角关系探索另一个直角三角形中的边角关系进行转化求解．
例
５
如
图
２８Ｇ６,小
山
岗
的
斜
坡
AC
的
坡
度
是
tanα＝
３ ４
,在
与
山
脚
C
距
离
２００米的 D处,测得山顶 A 的仰角为２６．６°,求 小 山 岗 的 高 AB．(结 果 取 整 数,参 考
数 据 :sin２６．６°≈０．４５,cos２６．６°≈０．８９,tan２６．６°≈０．５０)
图 ２８Ｇ６
精析:本题考查了解直角三角形的应用．掌 握 解 直 角 三 角 形 的 方 法 是 解 题 的
AB 的坡比１∶ ３(坡 比 是 坡 面 的 铅 直 高 度 BC 与 水 平 宽 度 AC 之 比),则 AC 的 长 是 ( )．
图 ２８Ｇ１０
A．５ ３米
B．１０ 米
C．１５ 米
D．１０ ３米
精 析 :因 为ABCC＝
１ ,所以 ３
AC＝
３BC＝５
３．
解 答 :A．
例６ (２０１２������四川乐山)如图 ２８Ｇ１１,在 Rt△ABC 中,∠C＝９０°,AB＝２BC,则
sinB 的值为( )．
A．４２．８m
B．４２．８０m
C．４２．９m
D．４２．９０m
精析:在 Rt△OAB 中,OB＝tan６５°������OA＝４２．９(m)．
解 答 :C．
例２ (２０１１������甘肃兰州)如图２８Ｇ８,A、B、C 三 点 在 正 方 形 网 格 线 的 交 点 处,若
将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′,则tanB′的值为( )．
π－
１ ２
０
－sin３０°等 于 ( )．
A．１２
B．π－１
C．３２
D．１－
３ ２
精
析
:原
式
＝１－
１ ２
＝
１ ２
．
解 答 :A．
例４ (２０１１������江苏苏州)如 图 ２８Ｇ９,在 四 边 形 ABCD 中,E、F 分 别 是 AB、AD
的中点．若 EF＝２,BC＝５,CD＝３,则tanC 等于( )．
如图２８Ｇ２,过点 D 作DE⊥AB,垂足为 E,设 BC＝２x．
∵
∠C＝９０°,tanA＝
１ ２
,
∴ AC＝４x,由勾股定理可知 AB＝２ ５x．
∵
∠C＝９０°,tan∠CBD＝
１ ２
,
∴ CD＝x,由勾股定理可知 BD＝ ５x． ∵ ∠CBD＝ ∠A, ∴ △ABC∽ △ADE, ∴ BDCE＝AABD．
解题思路梳理:本专题 解 题 时 要 抓 住 以 下 几 点:① 直 角 三 角 形 中 两 锐 角 的 关
系;② 直 角 三 角 形 中 三 条 边 满 足 勾 股 定 理;③ 直 角 三 角 形 中 正 弦、余 弦 和 正 切 与 直
角 三 角 形 的 各 边 之 间 的 对 应 关 系 ;④ 直 角 三 角 形 的 面 积 公 式 ．